9.2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)

用數(shù)據(jù)透視世界，以統(tǒng)計(jì)智構(gòu)人生汕頭市新溪第一中學(xué)

李庭洲引

入為了了解總體的情況，前面我們研究了如何通過(guò)樣本的分布規(guī)律估計(jì)總體的分布規(guī)律。但在實(shí)際問(wèn)題中，我們有時(shí)更關(guān)注總體的某一方面特征，而非整個(gè)分布規(guī)律。例如，在2025年全國(guó)兩會(huì)中，大家更關(guān)注經(jīng)濟(jì)發(fā)展、民生改善等主要指標(biāo)的改善情況，而非所有細(xì)節(jié)數(shù)據(jù)的分布；對(duì)于直播帶貨，我們更關(guān)注帶貨主播的中位數(shù)銷(xiāo)售額或平均銷(xiāo)售額，而不是銷(xiāo)售額的分布。對(duì)于電影《哪吒2》，我們可能更關(guān)注其總票房或平均每場(chǎng)的票房，而不是票房的分布。在中美貿(mào)易中，我們更關(guān)注關(guān)稅調(diào)整對(duì)主要商品價(jià)格的影響，而不是所有商品價(jià)格的分布。

指標(biāo)《哪吒2》《慶余年2》票房（億）豆瓣評(píng)分討論量（萬(wàn)）思考：如何用一個(gè)數(shù)值衡量影視作品的熱度差異？1588.6235.6108.9187.2商品類(lèi)別基礎(chǔ)稅率加征關(guān)稅綜合稅率市場(chǎng)影響汽車(chē)整車(chē)15%125%140%特斯拉

Cybertruck終端價(jià)格上漲59萬(wàn)元（以100萬(wàn)元基礎(chǔ)車(chē)價(jià)計(jì)算）

半導(dǎo)體設(shè)備0%豁免0%倒逼國(guó)產(chǎn)替代加速，中微公司

5nm刻蝕機(jī)實(shí)現(xiàn)量產(chǎn)3醫(yī)療器械（CT）3%34%37%聯(lián)影醫(yī)療市場(chǎng)份額提升至

28%，國(guó)產(chǎn)替代率突破60%3大豆3%125%128%巴西、阿根廷進(jìn)口量占比升至

85%，美國(guó)對(duì)華出口同比下降42%3(2)中位數(shù)：(1)眾數(shù)：(3)平均數(shù)：下面我們通過(guò)具體實(shí)例進(jìn)一步了解這些量的意義，探究它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并根據(jù)樣本的集中趨勢(shì)估計(jì)總體的集中趨勢(shì).一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．一組數(shù)據(jù)按大小依次排列后處在最中間位置的數(shù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)).

一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).

1.概念講解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)——數(shù)據(jù)的“集中代言人”例：《哪吒2》首周7天票房（億元）：23.5,18.2,15.7,12.3,10.8,9.6,8.4時(shí)間票房123.5218.2315.7412.3510.869.678.4平均值提問(wèn)：如果第8天票房為50億，平均數(shù)會(huì)如何變化？說(shuō)明平均數(shù)受極端值影響大14.07平均數(shù)—最“全面”的代言人美國(guó)對(duì)華關(guān)稅鋼鐵電子紡織機(jī)械化工

關(guān)稅稅率（%）1215182225中國(guó)反制關(guān)稅農(nóng)產(chǎn)品汽車(chē)醫(yī)療器械能源科技產(chǎn)品消費(fèi)品關(guān)稅稅率（%）101215182022中位數(shù)18中位數(shù)16.5中位數(shù)是數(shù)據(jù)排序后的中間值提問(wèn)：若美國(guó)對(duì)華關(guān)稅加入數(shù)據(jù)30到奇數(shù)序列，中位數(shù)如何變化？序列變?yōu)閇12,15,18,22,25,30]，中位數(shù)變?yōu)椋?0中位數(shù)—最“穩(wěn)健”的代言人思考：若36歲以上觀眾人數(shù)變?yōu)?5，眾數(shù)如何變化？問(wèn)題：隨機(jī)抽100人調(diào)查觀看《哪吒2》觀眾年齡分布（人數(shù)）如下：12歲以下：15

13-18歲：32

19-25歲：28

26-35歲：18

36歲以上：7眾數(shù)—最“受歡迎”的代言人平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的特點(diǎn)平均數(shù)vs中位數(shù)：直播數(shù)據(jù)中的“異常訂單”陷阱為什么平臺(tái)“平均銷(xiāo)售額”可能誤導(dǎo)商家？【思考】某直播帶貨紅人“七七”統(tǒng)計(jì)了近期5場(chǎng)直播的銷(xiāo)售額（單位：元），但在錄入數(shù)據(jù)時(shí)，誤將第三場(chǎng)銷(xiāo)售額

7000元

錄成了

70000元。已知真實(shí)數(shù)據(jù)的平均為

7000元，中位數(shù)為

7000元。請(qǐng)回答以下問(wèn)題：數(shù)據(jù)表格場(chǎng)次真實(shí)數(shù)據(jù)錯(cuò)誤數(shù)據(jù)15000500026000600037000480008000590009000（1）計(jì)算錯(cuò)誤錄入后的平均數(shù)和中位數(shù)。（2）與真實(shí)數(shù)據(jù)（平均數(shù)7000元，中位數(shù)7000元）對(duì)比，說(shuō)明哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量的值變化更大？平均數(shù)：700019800

中位數(shù)：70008000（+12800元）（僅+1000元）與中位數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息，對(duì)樣本中的極端值更加敏感?！叭サ粢粋€(gè)最高分和一個(gè)最低分”的原因？“我們企業(yè)員工的年平均收入為20萬(wàn)元”可信嗎？70000統(tǒng)計(jì)量的選擇：平均數(shù)：適用于數(shù)據(jù)分布均勻、無(wú)極端值的情況。中位數(shù)：對(duì)異常值不敏感，適用于偏態(tài)分布。眾數(shù)：反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)，適用于分類(lèi)數(shù)據(jù)或明顯峰值的數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)清洗：處理異常值（如截尾平均數(shù)）可提高結(jié)果的代表性。數(shù)據(jù)解讀：需結(jié)合多個(gè)統(tǒng)計(jì)量和分布特征，避免單一指標(biāo)誤導(dǎo)結(jié)論。去掉極端值是為減少異常值干擾，提高評(píng)分公平性；僅憑平均數(shù)20萬(wàn)元不可信，需結(jié)合中位數(shù)、分布形態(tài)等進(jìn)一步分析。直播平臺(tái)中，若存在異常高銷(xiāo)售額（如誤錄或刷單），平均數(shù)會(huì)嚴(yán)重虛高，而中位數(shù)更能反映常態(tài)水平。企業(yè)評(píng)估主播表現(xiàn)時(shí)，應(yīng)結(jié)合中位數(shù)或剔除極端值，避免誤導(dǎo)決策。結(jié)論：既要會(huì)用數(shù)據(jù)說(shuō)話，又要防止被數(shù)據(jù)誤導(dǎo)針對(duì)練習(xí)練習(xí)1：在統(tǒng)計(jì)5種進(jìn)口商品的加征關(guān)稅時(shí)，錯(cuò)把某商品加征關(guān)稅25%輸成52%，已知原來(lái)5種商品加征關(guān)稅的平均數(shù)為30%，那么由此求出的平均數(shù)與實(shí)際平均數(shù)的差為多少？變式：統(tǒng)計(jì)8部影視作品的豆瓣評(píng)分時(shí)，錯(cuò)將其中一部作品的評(píng)分8.0輸入為80（假設(shè)評(píng)分范圍合理擴(kuò)大），已知原來(lái)8部作品的平均評(píng)分為7.5，那么由此求出的平均數(shù)與實(shí)際平均數(shù)的差是多少？平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì),它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)(如下圖），平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系？(1)直方圖形狀對(duì)稱(chēng)：平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多；(2)直方圖右邊“拖尾”：平均數(shù)大于中位數(shù)；(3)直方圖左邊“拖尾”：平均數(shù)小于中位數(shù).與中位數(shù)相比，平均數(shù)總在直方圖的“長(zhǎng)尾巴”那邊平均數(shù)、中位數(shù)的大小與數(shù)據(jù)分布形態(tài)如果一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)相差較大，那么可以推斷這組數(shù)據(jù)一定是不對(duì)稱(chēng)的.如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)，說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在較大的極端值；反之，說(shuō)明數(shù)據(jù)中不存在較大的極端值.平均數(shù)、中位數(shù)的大小與數(shù)據(jù)分布形態(tài)例5.我校要了解高一年級(jí)學(xué)生對(duì)不同類(lèi)型課外活動(dòng)的喜好情況，以便更好地組織相關(guān)活動(dòng)。學(xué)生根據(jù)自己的興趣愛(ài)好選擇喜歡的課外活動(dòng)類(lèi)型。統(tǒng)計(jì)樣本發(fā)現(xiàn)，高一（3）班的學(xué)生對(duì)不同課外活動(dòng)類(lèi)型喜好的頻數(shù)如下表所示。音樂(lè)類(lèi)型搖滾古典流行民謠其他合計(jì)頻數(shù)22353850如果用一個(gè)量來(lái)代表該校高一年級(jí)學(xué)生喜歡的音樂(lè)類(lèi)型，在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個(gè)量比較合適？試討論用表中的數(shù)據(jù)估計(jì)全國(guó)高一年級(jí)學(xué)生喜歡音樂(lè)類(lèi)型的合理性。解：為更直觀地觀察數(shù)據(jù)特征，可用條形圖表示上述數(shù)據(jù)。從表中可發(fā)現(xiàn)，喜歡“流行”音樂(lè)類(lèi)型的學(xué)生頻數(shù)最高。因此，用眾數(shù)“流行”作為我校高一（3）班學(xué)生喜歡音樂(lè)類(lèi)型的代表比較合適。然而，由于高一年級(jí)學(xué)生的喜好存在地域、文化等多方面差異，僅用一個(gè)班級(jí)的數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)全高一年級(jí)學(xué)生喜歡的音樂(lè)類(lèi)型是不合理的，樣本缺乏廣泛代表性。分析：音樂(lè)類(lèi)型屬于分類(lèi)數(shù)據(jù)，雖然以文字形式呈現(xiàn)，但本質(zhì)是不同類(lèi)別。對(duì)于這類(lèi)分類(lèi)數(shù)據(jù)，眾數(shù)更適合作為數(shù)據(jù)代表。眾數(shù)只利用了出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)值的信息.眾數(shù)只能告訴我們它比其他值出現(xiàn)的次數(shù)多,但并未告訴我們它比別的數(shù)值多的程度.因此，眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少的一部分，對(duì)極端值也不敏感.對(duì)數(shù)值型數(shù)據(jù)（如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等）集中趨勢(shì)的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；對(duì)分類(lèi)型數(shù)據(jù)（如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)等）集中趨勢(shì)的描述，可以用眾數(shù).【小結(jié)】眾數(shù)的特點(diǎn)在頻率分布直方圖中，我們無(wú)法知道每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的.此時(shí)，通常假設(shè)它們?cè)诮M內(nèi)均勻分布.探究2樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)可以分別作為總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的估計(jì)，但在某些情況下我們無(wú)法獲知原始的樣本數(shù)據(jù)．

如何由頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？

你能以圖9.2-1中頻率分布直方圖提供的信息為例，給出估計(jì)方法嗎?由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)眾數(shù)常用在描述分類(lèi)型數(shù)據(jù)中，眾數(shù)5.7讓我們知道月均用水量在區(qū)間[4.2，7.2)的居民用戶(hù)最多.

這個(gè)信息具有實(shí)際意義.在頻率分布直方圖中，月均用水量在區(qū)間[4.2，7.2)內(nèi)的居民最多，可以將這個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)5.7作為眾數(shù)的估計(jì)值.——最高矩形的中點(diǎn)①估計(jì)眾數(shù)1.根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算樣本平均數(shù)：②估計(jì)平均數(shù)假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.分組小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)頻率（小矩形面積）頻數(shù)…………↑小矩形面積↓小矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)于是平均數(shù)的近似值為這個(gè)結(jié)果與根據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算的樣本平均數(shù)8.79相差不大.——每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和↑小矩形面積↓小矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)②估計(jì)平均數(shù)

根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，有50％的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50％的個(gè)體大于或等于中位數(shù).因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.∴中位數(shù)落在區(qū)間[4.2,7.2)內(nèi)設(shè)中位數(shù)是x，則這個(gè)結(jié)果與根據(jù)原始數(shù)據(jù)求得的中位數(shù)6.8相差不大.——中位數(shù)左邊的直方圖面積和右邊的直方圖面積相等x-4.2③估計(jì)中位數(shù)表格中是我班學(xué)生在國(guó)家中小學(xué)智慧平臺(tái)調(diào)查問(wèn)卷的結(jié)果，根據(jù)問(wèn)卷數(shù)據(jù),計(jì)算使用手機(jī)時(shí)間的平均數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。（提示：可以將每個(gè)選項(xiàng)的中心值作為代表值，如A.選項(xiàng)的中心值為0小時(shí)，B選項(xiàng)的中心值為0.5小時(shí)，C選項(xiàng)的中心值為2小時(shí)，D選項(xiàng)的中心值為4小時(shí)，）實(shí)例分析你平常玩游戲（手機(jī)）的時(shí)間選項(xiàng)小計(jì)比例A.平常不玩游戲36.38%B.0—1小時(shí)817.02%C.1—3小時(shí)2553.19%D.3小時(shí)以上1123.40%結(jié)果分析：平均數(shù)為2.09小時(shí)，表明平均每個(gè)人玩游戲的時(shí)間略超過(guò)2小時(shí)。中位數(shù)為2小時(shí)，說(shuō)明一半的人玩游戲時(shí)間少于2小時(shí)，一半的人多于2小時(shí)。眾數(shù)為1—3小時(shí)，表明大多數(shù)人每天玩游戲的時(shí)間集中在1到3小時(shí)之間。眾數(shù)=2——找眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

眾數(shù)：最高矩形的中點(diǎn)由頻率分布直方圖估計(jì)總體的集中趨勢(shì)中位數(shù)：中位數(shù)左邊的直方圖面積和右邊的直方圖面積相等平均數(shù)：每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和【小結(jié)】辯論：中美貿(mào)易戰(zhàn)對(duì)民眾生活的影響正方觀點(diǎn)：從大數(shù)據(jù)總體趨勢(shì)來(lái)看，貿(mào)易戰(zhàn)對(duì)民眾生活影響顯著反方觀點(diǎn)：從大數(shù)據(jù)總體趨勢(shì)來(lái)看，貿(mào)易戰(zhàn)對(duì)民眾生活影響有限王詩(shī)涵林炘妤紀(jì)麗瑩謝鍶婷謝創(chuàng)杰卓建謝梓帆謝沛暄對(duì)不隊(duì)炸天幫__________課堂小結(jié)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)各自的含義、特點(diǎn)及優(yōu)缺點(diǎn)：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)在頻率分布直方圖中的含義特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)每個(gè)小矩形面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和與每一個(gè)數(shù)據(jù)有關(guān)，任何一個(gè)數(shù)的改變都會(huì)引起它的改變把頻率分布直方圖劃分左右兩個(gè)面積相等的分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個(gè)或兩個(gè)值，并未利用其他數(shù)據(jù)最高矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)只利用了出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)值的信息受極端數(shù)據(jù)的影響較大.代表了樣本數(shù)據(jù)更多的信息.只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息.容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響.求一組n個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)的方法1.算術(shù)平均數(shù)：2.加權(quán)平均數(shù)：4.組中值法(由頻率分布直方圖求平均數(shù))推論：3.分層抽樣的樣本平均數(shù)：攜數(shù)據(jù)浪潮，逐熱點(diǎn)之光

是人生電影的唯一主角爾由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)[練習(xí)2]已知200輛汽車(chē)通過(guò)某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖，如圖所示，該圖的眾數(shù)為_(kāi)___，平均數(shù)為_(kāi)___，中位數(shù)為_(kāi)____．

656262.5平均數(shù)為45×0.1+55×0.3+65×0.4+75×0.2=62設(shè)中位數(shù)為m，則0.1+0.3+(m－60)×0.04=0.5，解得m=62.5由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)[練習(xí)3]某城市交通部門(mén)為了對(duì)該城市共享單車(chē)加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了100人就該城市共享單車(chē)的推行情況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將問(wèn)卷中的這100人根據(jù)其滿意度評(píng)分值(