查漏補缺：數(shù)列考點一：數(shù)列的概念與表示知識點1數(shù)列的有關(guān)概念1、數(shù)列的三種表示：列表法、圖象法和解析式法．2、數(shù)列的分類分類標準類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列其中n∈N*遞減數(shù)列常數(shù)列按其他標準分類有界數(shù)列存在正數(shù)M，使擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列周期數(shù)列對n∈N*，存在正整數(shù)常數(shù)k，使3、數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表達，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．4、數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列的首項(或前幾項)，且任一項與它的前一項(或前幾項)間的關(guān)系可用一個公式來表示，那么這個公式叫做數(shù)列的遞推公式．知識點2數(shù)列通項公式的求法1、觀察法：已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項．2、公式法（1）使用范圍：若已知數(shù)列的前項和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項可用公式構(gòu)造兩式作差求解．（2）用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一）．3、累加法：適用于an＋1＝an＋f(n)，可變形為an＋1－an＝f(n)要點：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解4、累乘法：適用于an＋1＝f(n)an，可變形為eq\f(an＋1,an)＝f(n)要點：利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解5、構(gòu)造法：對于不滿足an＋1＝an＋f(n)，an＋1＝f(n)an形式的遞推關(guān)系，常采用構(gòu)造法要點：對所給的遞推公式進行變形構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列進行求解類型一：形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時，數(shù)列{}為等比數(shù)列；（3）若且時，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：法一：設(shè)，展開移項整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項再轉(zhuǎn)化為累加法便可求出類型二：形如型的遞推式：（1）當為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：當?shù)墓顬闀r，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠求出，再用累加法便可求出（2）當為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：當?shù)墓葹闀r，由遞推式得：—①，，兩邊同時乘以得—②，由①②兩式相減得，即，構(gòu)造等比數(shù)列。法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q，r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：，再結(jié)合第一種類型。6、取倒數(shù)法：an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)(p，q，r是常數(shù))，可變形為eq\f(1,an＋1)＝eq\f(r,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(q,p)要點：①若p＝r，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，且公差為eq\f(q,p)，可用公式求通項；②若p≠r，則轉(zhuǎn)化為an＋1＝san＋t型，再利用待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列求解7、三項遞推構(gòu)造：適用于形如型的遞推式用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．8、不動點法（1）定義：方程的根稱為函數(shù)的不動點．利用函數(shù)的不動點，可將某些遞推關(guān)系所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項的數(shù)列，這種求數(shù)列通項的方法稱為不動點法．（2）在數(shù)列中，已知，且時，（是常數(shù)），=1\*GB3①當時，數(shù)列為等差數(shù)列；=2\*GB3②當時，數(shù)列為常數(shù)數(shù)列；=3\*GB3③當時，數(shù)列為等比數(shù)列；=4\*GB3④當時，稱是數(shù)列的一階特征方程，其根叫做特征方程的特征根，這時數(shù)列的通項公式為：；（3）形如，，（是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項，其特征方程為（*）．（1）若方程（*）有二異根、，則可令（、是待定常數(shù)）；（2）若方程（*）有二重根，則可令（、是待定常數(shù)）．(其中、可利用，求得)【題型1由an與Sn的關(guān)系求通項公式】在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項與其前n項和之間關(guān)系如下，在使用這個關(guān)系式時，要牢牢記住其分段的特點。當題中給出數(shù)列｛｝的與關(guān)系時，先令求出首項，然后令求出通項，最后代入驗證。解答此類題常見錯誤為直接令求出通項，也不對進行檢驗。已知Sn求an的三個步驟（1）利用a1＝S1求出a1.（2）當n≥2時，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表達式．（3）看a1是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；否則應寫成分段的形式，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個不同的方向轉(zhuǎn)化．（1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．（2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．1．（24-25高三下·重慶北碚·月考）數(shù)列的前項和，則數(shù)列的通項公式是.【答案】【解析】當時，，當時，，不滿足上式，所以數(shù)列的通項公式是.2．（24-25高三下·山西·開學考試）數(shù)列的前項和滿足，則．【答案】【解析】，則，，即，故為等比數(shù)列，且公比為2，時，，故．3．（24-25高三下·重慶·模擬預測）已知正項數(shù)列的前項和為，且，則.【答案】2500【解析】由，當?shù)?，解得；當時，由，得，兩式相減得，整理得.因為，所以，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，從而.4．（24-25高三下·山東臨沂·一模）設(shè)數(shù)列的前項和為，且，則滿足時，的最小值為（

）A．49 B．50 C．99 D．100【答案】D【解析】因為，所以，當時，，所以，即，此時，也滿足該式，故，若，解得，故所求為100.故選：D.5．（23-24高三下·四川內(nèi)江·專題練習）數(shù)列為正項數(shù)列，為數(shù)列的前項和，且，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題知①，則②，由①－②，可得：，即，，，在已知等式中令，得，則，顯然滿足上式，故有③，則④．由③－④，可得：，即，即，∵，∴，故為公差是2的等差數(shù)列，又由可解得，∴．故選：A.【題型2由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式】1、累加法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）構(gòu)造：2、累乘法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）構(gòu)造：3、構(gòu)造法：（1）形如（為常數(shù)，且）的遞推式，可構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．也可以與類比式作差，由，構(gòu)造為等比數(shù)列，然后利用疊加法求通項．（2）形如，）的遞推式，當時，兩邊同除以轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等差數(shù)列；當時，兩邊人可以同除以得，轉(zhuǎn)化為．（3）通過配湊轉(zhuǎn)化為，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得4、取倒數(shù)法：對于，取倒數(shù)得．當時，數(shù)列是等差數(shù)列；當時，令，則，可用待定系數(shù)法求解．1．（24-25高三下·福建廈門·二模）已知數(shù)列滿足，，則的前6項和為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，當時，，顯然，對于時也成立，所以，則的前6項和為.故選：C.2．（24-25高三上·廣東梅縣·期中）若數(shù)列滿足，則（

）A．2 B．6 C．12 D．20【答案】D【解析】由得，，.故選：D3．（24-25高三下·四川·模擬預測）已知數(shù)列中，，（，且），則通項公式（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當時，，即，而，所以，滿足上式，所以所求通項公式為.故選：C4．（24-25高三上·河北·模擬預測）已知函數(shù)滿足，且，設(shè)數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項和的表達式為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知，則，累加可得，且，即，滿足上式，所以，所以的前n項和的表達式為.故選：C5．（24-25高三上·寧夏銀川·月考）已知數(shù)列中，，，，為數(shù)列的前項和，則數(shù)列的通項公式；.【答案】574【解析】因為，，則，且，可知數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，則，即，可得，所以.【題型3數(shù)列的周期性及應用】1、周期數(shù)列的常見形式（1）利用三角函數(shù)的周期性，即所給遞推關(guān)系中含有三角函數(shù)；（2）相鄰多項之間的遞推關(guān)系，如后一項是前兩項的差；（3）相鄰兩項的遞推關(guān)系，等式中一側(cè)含有分式，又較難變形構(gòu)造出特殊數(shù)列．2、解決此類題目的一般方法：根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進而求有關(guān)項的值或者前項的和．1．（24-25高三下·內(nèi)蒙古呼和浩特·月考）若在數(shù)列中，，，則（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】因為，，所以，，，，所以是以為周期的周期數(shù)列，所以.故選：D2．（24-25高三下·重慶南岸·月考）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C．3 D．2【答案】C【解析】因為，所以，，，所以是以3為周期的數(shù)列，則.故選：C3．（24-25高三上·云南昆明·期末）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由知，則，又，所以，所以是以3為周期的數(shù)列，則.故選：C.4．（24-25高三上·貴州·月考）已知數(shù)列滿足，且，則（

）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】由題意數(shù)列滿足，由，得，，，，由此可知數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，所以.故選：C5．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期中）數(shù)列中，，，且（），則為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【解析】由，，且可得……,所以為周期數(shù)列，且周期為6，故，故選：A【題型4用函數(shù)研究數(shù)列的單調(diào)性和最值】求數(shù)列最大項或最小項的方法（1）將數(shù)列視為函數(shù)當x∈N*時所對應的一列函數(shù)值，根據(jù)的類型作出相應的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出的最值，進而求出數(shù)列的最大(小)項．（2）通過通項公式研究數(shù)列的單調(diào)性，利用確定最大項，利用確定最小項．（3）比較法：①若有（或時，），則，即數(shù)列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列的最小項為；②若有（或時，），則，即數(shù)列是遞減數(shù)列，所以數(shù)列的最大項為1．（24-25高三下·吉林通化·一模）數(shù)列{an}的通項公式為，該數(shù)列的前50項中最大項是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為所以當，即時，，所以.當，即時，，所以.且時，數(shù)列為遞減數(shù)列，所以該數(shù)列的前50項中最大項是.故選：C2．（24-25高三下·江西·模擬預測）已知數(shù)列滿足的前12項組成一組數(shù)據(jù)，其第90百分位數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，故一組12個數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)是將數(shù)據(jù)由小到大排序后的第11個數(shù)，又,則，，即數(shù)列前9項逐漸增大，從第10項開始又逐漸減小，且，由此可得和是數(shù)列的最大項，故將數(shù)列的前12項從小到大排序后，或?qū)⑴旁诘?1，12位所以第90百分位數(shù)為或.故選：B3．（24-25高三下·遼寧·一模）已知在數(shù)列中，，則的前項中的最大項為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以函數(shù)是減函數(shù)，因為，所以，即，由函數(shù)是減函數(shù)，，得，即，由函數(shù)是減函數(shù)，，得，即，由函數(shù)是減函數(shù)，，得，即，以此類推，可知數(shù)列的最大項為.故選：B.4．（24-25高三上·江蘇無錫·月考）已知數(shù)列的通項公式是（），若數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】為單調(diào)遞增的數(shù)列，故，解得，故選：C5．（24-25高三下·安徽銅陵·開學考試）已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（

）A．所有項恒大于等于 B．若，則是單調(diào)遞增數(shù)列C．若是常數(shù)列，則 D．若，則是單調(diào)遞增數(shù)列【答案】D【解析】對于A，因數(shù)列滿足，若，可推得，故A錯誤；對于B，當時，代入，解得，將代入，可得，易得，，故不是遞增數(shù)列，故B錯誤；對于C，若是常數(shù)列，即有，則得，解得，故C錯誤；對于D，若，可得，且，故有，又因，由對勾函數(shù)的單調(diào)性，可得是單調(diào)遞增數(shù)列，故D正確．故選：D.考點二：等差數(shù)列及其前n項和知識點1等差數(shù)列的概念及公式1、等差數(shù)列的定義（1）文字語言：一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)；（2）符號語言：(，為常數(shù))．2、等差中項：若三個數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項．3、通項公式與前n項和公式（1）通項公式：．（2）前項和公式：．（3）等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系=1\*GB3①通項公式：當公差時，等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且一次項系數(shù)為公差.若公差，則為遞增數(shù)列，若公差，則為遞減數(shù)列．=2\*GB3②前n項和：當公差時，是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.知識點2等差數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項和．1、等差數(shù)列通項公式的性質(zhì)：（1）通項公式的推廣：．（2）若，則．（3）若的公差為d，則也是等差數(shù)列，公差為．（4）若是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．2、等差數(shù)列前項和的性質(zhì)（1）；（2）；（3）兩個等差數(shù)列，的前n項和，之間的關(guān)系為.（4）數(shù)列，，，…構(gòu)成等差數(shù)列．（5）若項數(shù)為，則，；（6）若項數(shù)為，則，，，.【題型1等差數(shù)列的基本量求解】1、等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了方程思想．2、數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法．1．（24-25高三上·四川綿陽·模擬預測）等差數(shù)列的前n項和為，且，，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解析】設(shè)的公差為，則，解得，，所以，故.故選：C2．（24-25高三下·福建龍巖·月考）設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．132 B．88 C．44 D．33【答案】C【解析】根據(jù)是等差數(shù)列的前項和，由等差數(shù)列前項和公式可得.所以，化簡可得.，即.得.將代入中，解得.將代入，可得.可得：故選：C.3．（24-25高三上·甘肅武威·期末）已知為等差數(shù)列的前項和，若，，則（

）A．56 B．60 C．64 D．68【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為d，由為等差數(shù)列的前項和，，，，解得，則.故選：B4．（24-25高三下·山東泰安·月考）公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，且，則（

）A．8 B．10 C．12 D．13【答案】D【解析】因為是公差不為零的等差數(shù)列，由得，即，所以，解得.故選：D5．（24-25高三上·上海浦東新·期中）已知為等差數(shù)列的前n項和，若，則=（

）A．39 B．52 C．65 D．78【答案】B【解析】設(shè)公差為d，∵，∴由等差數(shù)列的通項公式得，整理得，解得.∴由等差數(shù)列前n項和公式得.故選：B．【題型2等差數(shù)列的性質(zhì)及應用】1、在等差數(shù)列{an}中，當m≠n時，d＝eq\f(am－an,m－n)為公差公式，利用這個公式很容易求出公差，還可變形為am＝an＋(m－n)d.2、等差數(shù)列{an}中，每隔相同的項抽出來的項按照原來的順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列．3、等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q，則an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特別地，若m＋n＝2p，則an＋am＝2ap.1．（24-25高三下·安徽合肥·月考）為等差數(shù)列的前項和，已知，則為（

）A．25 B．30 C．35 D．55【答案】D【解析】由題意及等差數(shù)列的性質(zhì)可得，解得，.故選：．2．（24-25高三下·廣東·模擬預測）在等差數(shù)列中，若，則的值為（

）A．18 B．15 C．12 D．9【答案】D【解析】在等差數(shù)列中，，則.故選：D.3．（24-25高三下·福建廈門·模擬預測）記等差數(shù)列的前項和為，公差為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由有，故A錯誤；由，，所以，故C正確；，故B錯誤；由，故D錯誤.故選：C.4．（24-25高三上·海南·月考）（多選）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，公差為，若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．當時，取得最大值C． D．使得成立的最大自然數(shù)是15【答案】ABC【解析】因為等差數(shù)列中，，，所以，，，A正確；當時，取得最大值，B正確；由A知，數(shù)列前8項都大于0，所以，C正確；，，故成立的最大自然數(shù)，D錯誤．故選：ABC．5．（24-25高三下·四川成都·二模）已知正項等差數(shù)列滿足，則（

）A．4050 B．2025 C．4048 D．2024【答案】B【解析】在等差數(shù)列中，，則，即，因此，數(shù)列是常數(shù)列，則，即，所以.故選：B【題型3等差數(shù)列的前n項和性質(zhì)及應用】1、等差數(shù)列的依次k項之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…組成公差為k2d的等差數(shù)列．2、數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))?數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列．3、若S奇表示奇數(shù)項的和，S偶表示偶數(shù)項的和，公差為d，①當項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②當項數(shù)為奇數(shù)2n－1時，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).1．（24-25高三下·山西·一模）設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，若，，則的公差（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】，，解得．故選:2．（24-25高三下·吉林長春·二模）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則的值為（

）A．0 B．3 C．6 D．12【答案】A【解析】因為是等差數(shù)列，所以成等差數(shù)列，又，所以成等差數(shù)列，則，則.故選：A.3．（24-25高三上·河北·期中）若兩個等差數(shù)列的前項和分別為，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為數(shù)列均為等差數(shù)列，所以.故選：A4．（24-25高三上·安徽六安·月考）（多選）已知等差數(shù)列的首項為，公差為，前項和為，若，則下列說法正確的是（

）A．當時，最大 B．使得成立的最小自然數(shù)C． D．數(shù)列中最小項為【答案】ABD【解析】根據(jù)題意：，即，兩式相加，解得，當時，最大，故A正確；由，可得，所以，故，所以，故C錯誤；由以上可得：，，而，當時，；當時，；所以使得成立的最小自然數(shù)，故B正確.當或時；當時；由，所以中最小項為，故D正確.故選：ABD5．（24-25高三上·山西呂梁·月考）（多選）記為等差數(shù)列的前n項和，則（

）A． B．若的公差不為，，則C．，，成等差數(shù)列 D．是等差數(shù)列【答案】ACD【解析】的首項為，公差為，對于A：，所以，故正確；對于B：，，又因為，所以，解得，故錯誤；對于C：，，，所以，，所以，所以，，成等差數(shù)列，故正確；對于D：因為，所以，所以是公差為的等差數(shù)列，故正確；故選：ACD.【題型4等差數(shù)列的單調(diào)性及最值】1、二次函數(shù)法：將Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n配方．轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題，但要注意n∈N*，結(jié)合二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值，更加直觀．2、鄰項變號法：當a1>0，d<0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))時，Sn取得最大值；當a1<0，d>0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))時，Sn取得最小值．特別地，若a1>0，d>0，則S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則S1是{Sn}的最大值．1．（24-25高三上·廣西貴港·月考）已知等差數(shù)列的前項和是，則數(shù)列中最小的項為第項.【答案】【解析】，，且，，故等差數(shù)列為遞減數(shù)列，即公差為負數(shù)，，且，，，所以數(shù)列中最小的項是第項.故答案為：．2．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎獰o窮等差數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且，則的最小值是.【答案】8【解析】若等差數(shù)列的各項均為正整數(shù)，則數(shù)列是嚴格遞增數(shù)列，于是公差，因此為正整數(shù)，因為關(guān)于單調(diào)遞減，而，則當時，取得最小值為.3．（24-25高三上·黑龍江齊齊哈爾·期中）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，，則取最小值時，的值為（

）A．15或16 B．13或14 C．16或17 D．14或15【答案】A【解析】由，，所以，數(shù)列的公差，且，所以，且數(shù)列單調(diào)遞增，故取最小值時，的值為15或16.故選：A4．（24-25高三上·云南昆明·月考）（多選）數(shù)列的前n項和為，已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為等差數(shù)列 B．不可能為常數(shù)列C．若為遞增數(shù)列，則 D．若為遞增數(shù)列，則【答案】AC【解析】當時，，當時，，顯然時，上式也成立，所以.對A，因為，所以是以為公差的等差數(shù)列，A正確；對B，由上可知，當時，為常數(shù)列，B錯誤；對C，若為遞增數(shù)列，則公差，即，C正確；對D，若為遞增數(shù)列，由函數(shù)性質(zhì)可知，解得，D錯誤.故選：AC5．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知是等差數(shù)列的前項和，且，，則（

）A．數(shù)列為遞增數(shù)列 B．C．的最大值為 D．【答案】C【解析】由題意，，，則，故B錯誤；數(shù)列的公差，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故A錯誤；由于時，，時，，所以的最大值為，故C正確；，故D錯誤.故選：C.【題型5等差數(shù)列的判定與證明】1、定義法：或是等差數(shù)列；2、定義變形法：驗證是否滿足；3、等差中項法：為等差數(shù)列；4、通項公式法：通項公式形如為常數(shù)為等差數(shù)列；5、前n項和公式法：為常數(shù)為等差數(shù)列．注意：（1）若判斷一個數(shù)列不是等差數(shù)列，只需找出三項，使得即可；（2）如果要證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項法．1．（24-25高三下·山東菏澤·一模）已知數(shù)列，則“，，”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】充分性：若對，，都有，則令,得,即，因為為常數(shù),所以數(shù)列為等差數(shù)列;必要性:等差數(shù)列不一定滿足,,,例如:當?shù)炔顢?shù)列通項公式為時,,,此時,所以,,”是“數(shù)列為等差數(shù)列的充分不必要條件.故選：A2．（24-25高三下·上海·月考）若數(shù)列滿足：，則的通項公式為．【答案】【解析】已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系（），且和，遞推式可變形為，則是一個常數(shù)列，即.所以數(shù)列是一個等差數(shù)列，，因此通項公式為.3．（24-25高三下·全國·專題練習）若數(shù)列的前n項和為，且滿足.(1)求證：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）證明：當時，且，即，可得，且.故數(shù)列是以首項為2，公差為2的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，即，當時，，當時，不符號上式，所以.4．（24-25高三下·陜西漢中·二模）設(shè)數(shù)列的前項和為，若，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求.【答案】(1)證明見解析；(2)210【解析】（1），當時，，兩式相減得，又，故，且，所以數(shù)列是以3為首項，公差為2的等差數(shù)列.（2）由（1）知，所以.【題型6含絕對值等差數(shù)列求和】含絕對值等差數(shù)列求和步驟：第一步，解不等式an≥0(或an≤0)尋找{an}的正負項分界點．第二步，求和：①若an各項均為正數(shù)(或均為負數(shù))，則{|an|}各項的和等于{an}的各項的和(或其相反數(shù))；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，這時數(shù)列{an}只有前面有限項為正數(shù)(或負數(shù))，可分段求和再相加．1．（24-25高三上·天津·月考）已知等差數(shù)列中，，，設(shè)，則（

）A．245 B．263 C．281 D．290【答案】C【解析】等差數(shù)列中，由，，得公差，則，顯然當時，，當時，，所以.故選：C2．（24-25高三上·重慶·月考）已知等差數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)或；(2)答案見解析.【解析】（1）設(shè)首項為，公差為，因，則或.則或；（2）當時，；當時，注意到時，，則此時；當時，，則.綜上，當時，當時，.3．（24-25高三上·遼寧·模擬預測）等差數(shù)列的前項和為，已知，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；(2)【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，∵，∴，∵，∴

?，∴公差為，∴，∴；（2）由已知，時，；時，；綜上.4．（24-25高三上·湖北·開學考試）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，；(2)，.【解析】（1）由，則當時兩式相減得，所以.將代入得，，所以對于，故是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以.（2）.，因為當時，當時，所以當時，，當時，.故.考點三：等比數(shù)列及其前n項和知識點1等比數(shù)列的概念及公式1、等比數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示。數(shù)學語言表達式：(，為非零常數(shù))．2、等比中項性質(zhì)：如果三個數(shù)，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項，其中.注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項。3、通項公式及前n項和公式（1）通項公式：若等比數(shù)列的首項為，公比是，則其通項公式為；通項公式的推廣：.（2）等比數(shù)列的前項和公式：當時，；當時，.知識點2等比數(shù)列的性質(zhì)已知是等比數(shù)列，是數(shù)列的前項和．1、等比數(shù)列的基本性質(zhì)（1）相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為.（2）若，(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列．（3）若，則有，推廣：（4）若是等比數(shù)列，且，則（且）是以為首項，為公差的等差數(shù)列。（5）若是等比數(shù)列，，則構(gòu)成公比為的等比數(shù)列。2、等比數(shù)列前項和的性質(zhì)（1）在公比或且為奇數(shù)時，，，，……仍成等比數(shù)列，其公比為；（2）對，有；（3）若等比數(shù)列共有項，則，其中，分別是數(shù)列的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和；（4）等比數(shù)列的前項和，令，則（為常數(shù)，且）【題型1等比數(shù)列的基本量求解】注意等比數(shù)列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比數(shù)列求和公式求和時要先判斷公比是否可能為1，，若公比未知，則要注意分兩種情況q＝1和q≠1討論.1、方程的思想：等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式中聯(lián)系著五個量：，已知其中三個量，可以通過解方程(組)求出另外兩個量；其中基本量是a1與q，在解題中根據(jù)已知條件建立關(guān)于a1與q的方程或者方程組，是解題的關(guān)鍵．2、分類討論思想：在應用等比數(shù)列前n項和公式時，必須分類求和，當時，；當時，；在判斷等比數(shù)列單調(diào)性時，也必須對與分類討論．1．（24-25高三下·河北滄州·一模）已知為等比數(shù)列的前項和，若，則（

）A．72 B． C．144 D．【答案】D【解析】依題意，，，，由為等比數(shù)列，得，即，解得或，由，得，則，所以.故選：D2．（24-25高三下·河南新鄉(xiāng)·月考）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，，則的值為（

）A．5 B．10 C．9 D．6【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，當時，不符合題意，故，又因為，所以，即，解得，所以，故選：A3．（24-25高三上·云南昭通·月考）設(shè)為正項遞增的等比數(shù)列的前項和，且，則（

）A．63 B． C．127 D．或127【答案】C【解析】依題意設(shè)等比數(shù)列的公比為，法一：由，得，則或（舍去），則；法二：，則，則或（舍去），，，故選：C.4．（24-25高三下·江蘇鎮(zhèn)江·開學考試）已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】因為等比數(shù)列的前n項和為，且，，成等差數(shù)列，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意知，，所以，化簡，得，解得或舍去，所以故選：5．（24-25高三上·湖南常德·期末）已知公比為的等比數(shù)列的前和為，，，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】公比為的等比數(shù)列中，因為，，所以，所以，所以，所以，，當時，；當時，；所以.故選：C.【題型2等比數(shù)列的性質(zhì)及應用】若成等比數(shù)列，則為和的等比中項。由定義可知只有同號的兩數(shù)才有等比中項，“”僅是“為和的等比中項”的必要不充分條件，在解題時務必要注意此點。1、等比數(shù)列性質(zhì)應用問題的解題突破口等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項公式的變形，三是前n項和公式的變形．根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．2、應用等比數(shù)列性質(zhì)解題時的2個注意點（1）在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若，則有”，可以減少運算量，提高解題速度．（2）在應用相應性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當變形．此外，解題時注意設(shè)而不求思想的運用．1．（24-25高三上·云南·月考）已知是公比為2的等比數(shù)列，若，則．【答案】【解析】記等比數(shù)列的公比為，則.因，故．故答案為：200.2．（24-25高三下·江蘇南通·開學考試）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，公比，則數(shù)列的前項積最大時，（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，公比，則，所以當時，；當時，，又是數(shù)列的前項積，則當時，取得最大值，故選：B.3．（24-25高三上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）設(shè)是等比數(shù)列的前項和，若，，則（

）A．48 B．84 C．90 D．112【答案】C【解析】因為是等比數(shù)列的前項和，因為，所以公比，所以，，，成等比數(shù)列，又，，所以，，所以.故選：C.4．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期中）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B．8 C．9 D．16【答案】B【解析】因為所以，則，由等比數(shù)列的前項和的性質(zhì)可知，數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以，即，，即，所以.故選：B.5．（24-25高三下·河南南陽·模擬預測）（多選）已知等比數(shù)列不是遞增數(shù)列，其前項和為，且，，成等差數(shù)列，，則（

）A．B．C．數(shù)列的最大項為D．數(shù)列的最小項為【答案】ACD【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為.對于A，由題意得，則，故A正確；對于B，由A項，可得，∴，當時，，此時可知數(shù)列為遞增數(shù)列，故舍去；故，∴，故B錯誤；對于C，，當為奇數(shù)時，，而指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴；當為偶數(shù)時，，而指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，故得，又∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，當時，時為最大項，故C正確，當時，為最小項，故D正確.故選：ACD.【題型3等比數(shù)列的判定與證明】1、定義法：為常數(shù)且數(shù)列是等比數(shù)列．2、等比中項法：數(shù)列是等比數(shù)列．3、通項公式法：數(shù)列是等比數(shù)列．4、前項和公式法：若數(shù)列的前項和，則該數(shù)列是等比數(shù)列．其中前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法，而后兩種方法一般用于選擇題、填空題中．注意：（1）若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可．（2）只滿足的數(shù)列未必是等比數(shù)列，要使其成為等比數(shù)列還需要.1．（24-25高三下·全國·專題練習）（多選）已知數(shù)列的前項和為，下列說法正確的是（

）A．若，則，，成等比數(shù)列B．若為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列C．若，則數(shù)列為等比數(shù)列D．若，，，則為等比數(shù)列【答案】BCD【解析】對于A，當時有，此時，，不成等比數(shù)列，故A錯誤；對于B，若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則此時有，且，所以數(shù)列為等比數(shù)列，故B正確；對于C，若，則，（），滿足，于是，則，且，所以數(shù)列為等比數(shù)列，故C正確；對于D：因為，所以，而，，，，因此數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，故D正確．故選：BCD.2．（24-25高三下·福建廈門·二模）已知數(shù)列的前項和為，滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記數(shù)列的前項和為，求滿足的最小正整數(shù)的值.【答案】(1)證明見解析；(2)11【解析】（1）由，①當時，，即；當時，，②則①②得，，則，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項為1，公比為.（2）由（1）得，，即，則，則，因為在為增函數(shù)，則數(shù)列為遞增數(shù)列，又，，所以滿足的最小正整數(shù)的值為11.3．（24-25高三下·山西·月考）數(shù)列滿足．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）因為，且，所以數(shù)列是等比數(shù)列．（2）由（1）得數(shù)列是等比數(shù)列，且公比，所以，故．所以．故,令,,兩式相減得,所以,即.4．（24-25高三下·吉林延邊·一模）已知數(shù)列的首項，且滿足.(1)求，；(2)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(3)求數(shù)列的通項公式.【答案】(1)，；(2)證明見解析；(3)【解析】（1），.（2）由得，且，所以數(shù)列是首項為2，公比為3的等比數(shù)列.（3）由（2）知數(shù)列是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，所以，即:.【題型4等差與等比數(shù)列綜合】解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題（即雙數(shù)列問題）的關(guān)鍵在于用好它們的有關(guān)知識，理順兩個數(shù)列間的關(guān)系。注意運用等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本量來表示數(shù)列中的所有項，還應注意等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的相關(guān)轉(zhuǎn)化。1．（24-25高三上·山東·月考）已知等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前50項之和.【答案】(1)；(2)1275【解析】（1）依題意，設(shè)公比為，由題意得，，解得或（舍去），，所以，（2）因為，所以，所以，所以數(shù)列是首項，公差等差數(shù)列.所以數(shù)列的前50項和為.2．（24-25高三下·廣東·開學考試）在數(shù)列中，，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列.(2)求的通項公式.(3)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)【解析】（1）證明：因為，所以，所以.因為，所以，所以數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列.（2）解：由（1）可得，則，故.（3）解：由（2）可得，則3．（24-25高三下·河南·模擬預測）已知項數(shù)為的數(shù)列滿足：且．(1)若為等比數(shù)列，求的值；(2)若是等差數(shù)列，求公差的值．【答案】(1)或；(2)或【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，顯然．由，得，解得．由，得，所以或．（2）由，得，所以，即．當時，，此時（舍去）；當時，則且，即解得；當時，則且，即解得．綜上所述，公差的值為或．4．（24-25高三上·山西·期末）數(shù)列的前項和為，，當時，.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的表達式；(2)設(shè)，求數(shù)列的最大項的值.【答案】(1)證明見解析，；(2)【解析】（1）當時，數(shù)列的前項和為，滿足，即，整理可得，因為，則，即，可得，假設(shè)當時，，則，所以對任意的，，在等式，兩邊同時除以可得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，且其首項為，公差為2，所以，得.（2）由（1）得，則，當時，；當時，，所以，故數(shù)列的最大項為，其值為.考點四：數(shù)列求和及其綜合應用知識點1幾種數(shù)列求和的常用方法1、公式法（1）等差數(shù)列的前n項和，推導方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列的前n項和，推導方法：乘公比，錯位相減法．2、分組轉(zhuǎn)化法求和：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論．3、并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．4、倒序相加法：如果一個數(shù)列{an}的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和公式即是用此法推導的．5、裂項相消法求和：如果一個數(shù)列的通項為分式或根式的形式，且能拆成結(jié)構(gòu)相同的兩式之差，那么通過累加將一些正、負項相互抵消，只剩下有限的幾項，從而求出該數(shù)列的前n項和．6、錯位相減法求和：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法來求.【題型1分組轉(zhuǎn)化法求數(shù)列的前n項和】分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型：=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列；=2\*GB3②通項公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列.1．（24-25高三下·甘肅白銀·月考）已知正項數(shù)列的前n項和為，且滿足．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)；(2)【解析】（1）因為，所以，即，又，所以，所以，即，當時，，當時，也適合上式，所以．（2）由（1）知，則，當n為偶數(shù)時，，當n為奇數(shù)時，為偶數(shù)，，所以.2．（24-25高三上·貴州貴陽·期末）已知數(shù)列的前項和為，對一切正整數(shù)，點在函數(shù)的圖象上．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)；(2).【解析】（1）由題設(shè)，知，當時，，當時，，經(jīng)驗證，滿足，．（2），數(shù)列是以首項為1，公比為2的等比數(shù)列，，．3．（24-25高三上·云南昭通·月考）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，且為等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求的前項和.【答案】(1)；(2).【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，即，所以，即，當時，，當時，，滿足上式，所以.（2）由（1）知則，所以數(shù)列的前項和為.4．（24-25高三下·黑龍江大慶·模擬預測）設(shè)為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．令，為數(shù)列的前n項和．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：當時，．【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】（1）由題意得，

①，當時，

②由①②得：，即．又時，滿足.（2）由得，.①當n為偶數(shù)時，此時，，故②當n為奇數(shù)時，綜上，當時，．【題型2裂項相消法求數(shù)列的前n項和】1、用裂項法求和的裂項原則及規(guī)律（1）裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．（2）消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．【注意】利用裂項相消法求和時，既要注意檢驗通項公式裂項前后是否等價，又要注意求和時，正負項相時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項．2、裂項相消法中常見的裂項技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）1．（24-25高三下·湖南永州·開學考試）已知函數(shù)，點在曲線上，且．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，記，求．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）因為點在曲線上，所以，且，，故數(shù)列是首項為1，公差為4的等差數(shù)列．（2）由（1）知，則．因為，所以，則，故．2．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，是和的等差中項.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2025項和【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，，因為是和的等差中項，所以，即，因為,所以解得，或（舍）所以（2）由知，則，所以，所以，故的前2025項和3．（24-25高三下·河北保定·一模）記數(shù)列的前項和為，已知.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）因為，所以，當時，，兩式相減得，①則，②②①得，所以.因為，又，所以當時，；當時，，則，所以，滿足，所以，故數(shù)列為等差數(shù)列.（2）由（1）可知數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，，則，所以.4．（24-25高三上·天津河東·月考）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，、、成等差數(shù)列，且滿足，等差數(shù)列數(shù)列的前項和，，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設(shè)，，的前項和，求．【答案】(1)，；(2)【解析】（1）由題，設(shè)數(shù)列的公比為，的公差為，由，即，解得，所以，，又，即，解得，所以，．所以數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）得，所以.【題型3錯位相減法求數(shù)列的前n項和】1、錯位相減法解題步驟2、注意解題“3關(guān)鍵”①要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形．②在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式．③在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比q＝1和q≠1兩種情況求解．3、等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯位相減法．①②得：．整理得：．1．（24-25高三下·江蘇鹽城·月考）已知數(shù)列的前n項和，數(shù)列的前n項和．(1)求，的通項公式；(2)若，求的前n項和．【答案】(1)，；(2)【解析】（1）因為數(shù)列的前n項和，所以當時，；當時，，此時滿足上式，故．因為數(shù)列的前n項和，所以當時，；當時，，此時滿足上式，故．（2）因為，所以，則，兩式相減得，化簡得．2．（24-25高三下·全國·專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，，．(1)求的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由，得（，），，（，）．又，，，整理得．數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）得，．，即，，兩式相減，得，．3．（24-25高三下·青海玉樹·開學考試）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求它的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和【答案】(1)證明見解析，；(2).【解析】（1）由題設(shè)，則，整理得，又，所以是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，則.（2）由，則，所以，所以，所以.4．（24-25高三上·安徽蕪湖·月考）已知數(shù)列的首項為且.(1)求的通項公式；(2)若求數(shù)列的前項和．【答案】(1)；(2)【解析】（1）兩邊同時除以可得則累加可得則經(jīng)檢驗也適合上式，所以（2）由（1）可知數(shù)列的前項和則①②由兩式相減①-②可得：故．【題型4數(shù)列與不等式證明問題】數(shù)列與不等式是高考的熱點問題，其綜合的角度主要包括兩個方面：一是不等式恒成立或能成立條件下，求參數(shù)的取值范圍：此類問題常用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來求解；二是不等式的證明：常用方法有比較法、構(gòu)造輔助函數(shù)法、放縮法、數(shù)學歸納法等。1．（24-25高三下·甘肅·一模）數(shù)列滿足，數(shù)列滿足.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項公式；(2)若數(shù)列滿足是數(shù)列的前項和，對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析，；(2)【解析】（1），且由題，，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，，，又，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，；（2）由（1）可知，，，，由于對恒成立，所以.2．（24-25高三下·四川德陽·二模）已知數(shù)列前項和為，滿足，且(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，討論與的大小關(guān)系；(3)對任意正整數(shù)恒成立，求正整數(shù)的最小值．【答案】(1)；(2)；(3)2.【解析】（1）時，，所以，因為，所以時，，，又成立，所以對成立，所以數(shù)列為以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，即.（2）因為，，令，，則，所以，故，所以所以當時，，當時，，，單調(diào)遞增，.（3）令，則，令，則，令，則，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則，所以（當且僅當時取等號），則，所以，所以，，，設(shè)，則，則單調(diào)遞增，又因為，所以正整數(shù)的最小值為2．3．（24-25高三下·重慶·一模）已知等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若等差數(shù)列的公差不為零，且數(shù)列滿足：，記數(shù)列的前n項和為，求證：；【答案】(1)或；(2)證明見解析【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，依題意：成等比數(shù)列，所以，解得：或當時，，當時，所以數(shù)列的通項公式為或（2）因為等差數(shù)列的公差不為零，由（1）知則所以，故而隨n的增大而增大，則，故成立4．（24-25高三上·重慶沙坪壩·開學考試）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：.【答案】(1)，；(2)證明見解析【解析】（1）已知，當時，；當時，，則，顯然時，，滿足上式，綜上，；（2）由上知:，故，易知單調(diào)遞增，時，，又，即，證畢.【題型5數(shù)列中的探究問題】數(shù)列中的探究性問題實際上就是不定方程解的問題，對于此類問題的求解，通常有以下三種常用的方法：①利用等式兩邊的整數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)的方法來加以判斷是否存在；②利用尋找整數(shù)的因數(shù)的方法來進行求解；③通過求出變量的取值范圍，從而對范圍內(nèi)的整數(shù)值進行試根的方法來加以求解．對于研究不定方程的解的問題，也可以運用反證法，反證法證明命題的基本步驟：①反設(shè)：設(shè)要證明的結(jié)論的反面成立．作反設(shè)時要注意把結(jié)論的所有反面都要寫出來，不要有遺漏．②歸謬：從反設(shè)出發(fā)，通過正確的推理得出與已知條件或公理、定理矛盾的結(jié)論．③存真：否定反設(shè)，從而得出原命題結(jié)論成立．1．（24-25高三下·廣東廣州·月考）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列.在數(shù)列中是否存在項、、（其中、、成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的項；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)不存在，理由見解析【解析】（1）當時，由①，得②.由①②得，，即.當時，，解得.所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.所以.（2）不存在項、、（其中、、成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.理由如下：依題意得，即，解得.假設(shè)存在項、、成等比數(shù)列（其中），則，即，整理得.聯(lián)立，解得，這與已知條件矛盾.所以不存項、、（其中、、成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.2．（24-25高三上·山東泰安·月考）已知等差數(shù)列的前項和為，且(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，問：是否存在，使得成等比數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由【答案】(1)；(2)不存在，理由見解析【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，，可得，解得，故.（2），故,則，兩式相減可得，故，因此，假若存在，使得，，成等比數(shù)列，則，即，即，故，進而，即，由于為奇數(shù)，而為偶數(shù)，因此不存在使得，故不存在，使得，，成等比數(shù)列，3．（24-25高三上·湖南長沙·期末）已知數(shù)列滿足．(1)求的通項公式．(2)記，數(shù)列的前項和為，是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)；(2)存在，【解析】（1）在①中，令得，，解得，當時，②，①②得，，故，當時，，滿足要求，綜上，的通項公式為.（2）由，則，則，假設(shè)存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列，故當時，，只有當，即時，為常數(shù)，其他值均不合要求，故當時，是等差數(shù)列．4．（24-25高三上·江蘇揚州·期末）對于一個數(shù)列，定義，其中．(1)若，求的值；(2)若，且對任意的，都有．（ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出的值，并確定滿足的等量關(guān)系；若不存在，請說明理由．【答案】(1)4；(2)（?。唬?/p>