2025—2026學(xué)年三晉聯(lián)盟山西名校高三12月聯(lián)合考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在

答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容(概率、統(tǒng)計(jì)除外)。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.1+2i2—i3=

A.3+iB.3—iC.-1—iD.-1+i

2.已知集合A={x2+1,x},B={1,2,3},若A∩B={1},則x=

A.2B.1C.0D.0或1

3.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且f'(x)的圖象如圖所示，則f(x)的極大值點(diǎn)為

A.a

B.b

C.c

D.d

4.sin15°cos45°—cos165°sin45°=

BCD

5.已知l,m是兩條不同的直線，α,β是兩個(gè)不同的平面，若ICa,α∩β=m,則“L//m”是“L//3”的

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

6.某品牌酒產(chǎn)自山西省.一般來(lái)說(shuō)，年份越久的該品牌酒，其收藏價(jià)值越高.已知一箱原價(jià)

800元的該品牌酒，儲(chǔ)存x(x≥0)年后的收藏價(jià)值f(x)(單位：元)滿足函數(shù)關(guān)系式f(x)=

800×2(m為常數(shù)).若儲(chǔ)存6年的此種品牌酒整箱的收藏價(jià)值為1200元，則此種品牌酒

儲(chǔ)存12年后整箱的收藏價(jià)值為

A.2800元B.2400元C.1800元D.1600元

【高三數(shù)學(xué)第1頁(yè)(共4頁(yè)】

7.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線與該拋物線交于A,B兩點(diǎn)，記直線OA,OB(O

為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率分別為k?,k?,,則|AB|=

A.144B.148C.152D.156

8.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x)>0,且3f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=9,則f(x)十

f(2—x)的最小值為

A.18B.16C.12D.9

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知雙曲線C:I(a>0,b>0)的焦距為4,則下列條件能使C的方程

的是

A.C的離心率B.C的漸近線方程為y=±√3x

C.C的實(shí)軸長(zhǎng)為√3D.(3,√2)是C上的點(diǎn)

10.已知函數(shù)f(x)=2coswx-1(w>0)的最小正周期為π,則

A.直線.是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸

B.點(diǎn)是f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

C.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間(k∈Z)

D.f(x)在(0,3π)內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)

11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，M,N分別是線段A?B,AC上的動(dòng)點(diǎn)

(不含端點(diǎn)),且A?M=AN=a,則下列結(jié)論正確的是

A.AB⊥MN

B.三棱錐M-ABN體積的最大值為

C.若a=√2,則三棱錐M-ABN外接球的表面積為8π

D.存在a∈(0,2√2),使得MN//平面B?CD?

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量a,b滿足a=(1,2),a·b=5,且a⊥(a+mb),則m=▲_.

13.已知遞增的等比數(shù)列{an}滿足a?+ag=10,a?a1=9,則{an}的公比q=▲·

14.若對(duì)任意的z∈[1,2],不等恒成立，則2b-4a的取值范

圍為▲_.

【高三數(shù)學(xué)第2頁(yè)(共4頁(yè))】

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(13分)

在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

(1)求tanC;

(2)若a=√5,b=3,求△ABC的周長(zhǎng).

16.(15分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥AB,AD=2,AB=1,PB=√3,PD

=√6.

(1)證明：平面PAD⊥平面PCD.

(2)求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.

【高三數(shù)學(xué)第3頁(yè)(共4頁(yè)】

17.(15分)

記S,為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a?=9,S?=51.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

18.(17分)

已知橢圓C(a>b>0)的離心率為,C的左頂點(diǎn)為M,上、下頂點(diǎn)分別為

A(0,1),B(0,一1).

(1)求C的方程.

(2)記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)P是C上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PM與y軸交于點(diǎn)D,直線

PB與x軸交于點(diǎn)E.

(i)記△ADM的面積為S?,△BDE的面積為S?,證明：S?=S?.

(ii)若點(diǎn)P在△ODE外接圓的圓外，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍.

19.(17分)

已知函數(shù)f(x)=|lnx|—ax.

(1)若曲線y=f(x)在x=e處的切線與在：處的切線的傾斜角互補(bǔ)，求a的值.

(2)設(shè)x1,x2,x?(x?<x?<x?)是f(x)的三個(gè)零點(diǎn).

(i)求a的取值范圍；

(ii)證明：x2x3x3>e2.

【高三數(shù)學(xué)第4頁(yè)(共4頁(yè)】

2025—2026學(xué)年三晉聯(lián)盟山西名校高三12月聯(lián)合考試

數(shù)學(xué)參考答案

1.D1+2i2—i3=1-2+i=-1+i.

2.C因?yàn)锳∩B={1},所以x2+1=1或x=1,則x=0或x=1.若x=0,則A={1,0},符合

題意.若x=1,則A={1,2},不符合題意.

3.C由圖可知，f(x)在(一∞,a)和(c,d)上單調(diào)遞減，在(a,c)和(d,十∞)上單調(diào)遞增，所以

f(x)的極大值點(diǎn)為c.

5.B當(dāng)l//m時(shí)，因?yàn)閘Cβ,所以L//β;當(dāng)l//β時(shí)，因?yàn)棣痢搔?m,LCa,所以L//m.故“L//m”是

“L//3”的充要條件.

6.C由題意可得f(6)=800×2”=1200,即,所以此種品牌酒儲(chǔ)存12年后整

箱的收藏價(jià)值為元

7.B設(shè),則,則y?+y?=24,直線

,

AB的斜率).由題可知F(1,0),所以直線AB的方程為

1),代入y2=4x,得x2—146x+1=0,得|AB|=146+2=148.

8.A令x=y=1,則3f(2)=f(1)f(1),所以f(2)=27.

令y=2—x,則3f(2)=f(x)f(2—x)=81,

故f(x)+f(2—x)≥2√f(x)f(2-x)=18,當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=f(2—x)時(shí)，等號(hào)成立.

9.AD由題可知c=2.若C的離心率,則,得a=√3,b2=c2—a2=1,C的方程

符合題意.若C的漸近線方程為則,得a=1,b=√3,C的

方程為,B不符合題意.若C的實(shí)軸長(zhǎng)為/3,則2a=√3,

的方程不符合題意.若(3,√2)是上的點(diǎn)，則

C1,CC,又a2+b2=

4,所以a2=3,b2=1,則C的方程符合題意.

10.ACD因?yàn)閒(x)的最小正周期為π,所得w=2,則f(x)=2cos2x-1,f(x)圖

【高三數(shù)學(xué)·參考答案第1頁(yè)(共6頁(yè))】

象的對(duì)稱軸方程為2x=kπ,k∈Z,令k=1,可知直線是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，A

正確.令,k∈Z,得,k∈Z,令k=0,可得f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中

心為),B不正確.令2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z,得,k∈Z,故

的單調(diào)遞減區(qū)間

f(x)(k∈Z),C正確由f(z)=0,可得,則2x

或,k∈Z,得或,k∈Z..由0<x<3π,可得

,恰有6個(gè)零點(diǎn)，D正確.

11.ABD以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AA?所在直線分別為x,y,z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

),A(0,0,0),B(2,0,0),,AB=(2,0,

0),MN·AB=0,則AB⊥MN,A正確.三棱錐M-ABN的體積V=

,B正確.當(dāng)a=

√2時(shí)，M,N分別是線段A?B,AC的中點(diǎn)，取AB的中點(diǎn)O,連接OM,ON(圖略),易得OA

=OB=OM=ON=1,則三棱錐M-ABN外接球的半徑為1,表面積為4π,C不正確.連接

AC?(圖略).由圖可知平面B?CD?的一個(gè)法向量為AC?=(2,2,2).由MN//平面B?CD?,

可得MN·AC?=2√2a-4=0,解得a=√2,此時(shí)M,N分別是線段A?B,AC的中點(diǎn)，則

MN丈平面B?CD?,從而MN//平面B?CD?,D正確.

12.-1因?yàn)閍⊥(a+mb),所以a·(a+mb)=a2+ma·b=5+5m=0,解得m=-1.

13.3由a?ag=a?a=9,a?+a?=10,解得或因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列，所以

則q2=9,q=3(負(fù)根舍去).

14.[-3,3]因?yàn)閷?duì)任意的x∈[1,2],不等式恒成立，所以

恒成立令函數(shù),易得f(x)在[1,2]上單調(diào)遞

增，則f(x)∈[1,6],則又2b—4a=2(a+2b)—(6a+2b),所以一3≤2b

一4a≤3.

【高三數(shù)學(xué)·參考答案第2頁(yè)(共6頁(yè))】

15.解：(1)由及正弦定理………3分

所以2sinC=cosC……………4分

所以……………………6分

(2)由(1)知,則………………8分

由余弦定理，得c2=a2+b2—2abcosC=5+9-12=2……11分

則c=√2………………………12分

所以△ABC的周長(zhǎng)為√5+3+√2……………13分

16.(1)證明：因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以AD⊥CD…………1分

又PA⊥AB,AB//CD,所以PA⊥CD………………2分

又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD……………4分

又CDC平面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD…5分

(2)解：由PA⊥AB,AB=1,PB=√3,可得PA=√2………………6分

因?yàn)锳D=2,PD=√6,所以PA2+AD2=PD2,則PA⊥ADA-

…………………7分

由AB∩AD=A,可得PA⊥平面ABCD,則AB,AD,AP兩兩垂直.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，

AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),

C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,√2)……………8分

P?=(1,2,—√2),PD=(0,2,一√2)………9分

設(shè)平面PCD的法向量為m=(x,y,z),則由可得………

…………………………10分

令z=√2,可得m=(0,1,√2)………………11分

易知平面PAB的一個(gè)法向量為AD=(0,2,0).…………12分

………………14分

所以平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為…………15分

17.解：(1)設(shè){an}的公差為d,由可得……………2分

解得………………4分

則a=a?+(n—1)d=21-2n………………6分

【高三數(shù)學(xué)·參考答案第3頁(yè)(共6頁(yè))】

(2)由(1)可知…………8分

.…………………9分

的前n項(xiàng)和為T,當(dāng)n≤20時(shí)，則T=19+18+…+20-n=

1

………………11分

當(dāng)n>21時(shí)，,則Tn=19+18+…+1+0+|-1|+…+|20-n|12分

……………14分

綜上，……………………15分

18.(1)解：由題可知………2分

解得………………3分

則C的方程………………4分

(2)(i)證明：由(1)可得M(-2,0).設(shè)直線PM的方程為x=ty-2(t≠±2),

則……………5分

可得(t2+4)y2—4ty=0,

則

則直線PB的方程為,則.…………………7分

【高三數(shù)學(xué)·參考答案第4頁(yè)(共6頁(yè))】

,……………8分

,……………9分

所以S?=S?.……………10分

(ii)解：記△ODE外接圓的圓心為Q.

因?yàn)镺D⊥OE,所以Q為線段DE的中點(diǎn)，則.…11分

因?yàn)辄c(diǎn)P在△ODE外接圓的圓外，所以|PQI>|OQ|,12分

,…13分

貝,……………14分

解得t>2.……………………15分

,由t>2,可得1………16分

,故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍為(0,1).…………17分

所以

19.解：(1)……………1分

則……………………2分

因?yàn)榍€y=f(x)在x=e處的切線與在處的切線的傾斜角互補(bǔ)，所以(-e-a)+

,……………3分

解得…………………4分

(2)(i)令f(x)=|lnx|-ax=0,則………5分