第八章典型的排隊(duì)模型分析一、排隊(duì)模型1.某理發(fā)店只有一名理發(fā)師，來(lái)理發(fā)的顧客按泊松分布到達(dá)，平均每小時(shí)4人，理發(fā)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需6分鐘。①判斷排隊(duì)系統(tǒng)模型，畫(huà)出系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖；②理發(fā)店空閑的概率、店內(nèi)有三個(gè)顧客的概率、店內(nèi)至少有一個(gè)顧客的概率；③在店內(nèi)顧客平均數(shù)、在店內(nèi)平均逗留時(shí)間；④等待服務(wù)的顧客平均數(shù)、平均等待服務(wù)時(shí)間。012K-2KK+1…..…..解:①依題意,該問(wèn)題是一個(gè)012K-2KK+1…..…..②理發(fā)店空閑的概率：。店內(nèi)有三個(gè)顧客的概率：。店內(nèi)至少有一個(gè)顧客的概率：。③店內(nèi)顧客平均數(shù)：。在店內(nèi)的平均逗留時(shí)間：（小時(shí)）。④等待服務(wù)的顧客平均數(shù)：。平均等待服務(wù)時(shí)間：（小時(shí)）。3.某加油站有一臺(tái)油泵。來(lái)加油的汽車按泊松流到達(dá)，平均每小時(shí)二十輛，但當(dāng)加油站已有n輛汽車時(shí)，新來(lái)汽車中將有一部分不愿意等待而離去，離去概率為n／4（n=0,1,2,3,4）。油泵給一輛汽車加油所需要的時(shí)間為均值3分鐘的負(fù)指數(shù)分布。①畫(huà)出排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖；②導(dǎo)出其平衡方程式；③求出系統(tǒng)的運(yùn)行參數(shù)。解：根據(jù)題意，顧客按泊松流到達(dá)，＝20輛／小時(shí)，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，＝20輛／小時(shí)。一個(gè)服務(wù)臺(tái)，系統(tǒng)容量為N=4，離去的概率為n／4。狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖及狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度矩陣：0123401234即：，，，。由于，。③系統(tǒng)運(yùn)行參數(shù)：。。()（輛/小時(shí)），或者。。。5.有一臺(tái)電話的公用電話亭打電話顧客服從個(gè)／小時(shí)的泊松分布，平均每人打電話為3分鐘，服從負(fù)指數(shù)分布。試求①到達(dá)者在開(kāi)始打電話前需等待10分鐘以上的概率；②顧客從達(dá)到時(shí)算起到打完電話離開(kāi)超過(guò)10分鐘的概率；③管理部門(mén)決定當(dāng)打電話顧客平均等待時(shí)間超過(guò)3分鐘時(shí)，將安裝第二臺(tái)電話，問(wèn)當(dāng)值為多大時(shí)安裝第二臺(tái)？解：依題意，該系統(tǒng)是M/M/1等待制排隊(duì)系統(tǒng)，個(gè)／min，個(gè)／min。①若排隊(duì)等待時(shí)間超過(guò)10min,則隊(duì)長(zhǎng)至少為4，系統(tǒng)中應(yīng)至少有5個(gè)顧客。出現(xiàn)這種情況的概率＝②若逗留時(shí)間超過(guò)10min,則隊(duì)長(zhǎng)至少為4，系統(tǒng)中起碼有4個(gè)顧客。出現(xiàn)這種情況的概率＝，（）則個(gè)／min時(shí)，需要安裝第二臺(tái)電話。9.某汽車修理部有4個(gè)修理工，每個(gè)修理工可以單獨(dú)修理汽車，也可以和其他修理工合作共同修理汽車。前來(lái)修理部尋求修理的汽車按泊松流到達(dá)，平均每天到達(dá)2輛。當(dāng)修理部?jī)?nèi)有4輛汽車時(shí)，后來(lái)的汽車將離去。修理一輛汽車所需時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，若一個(gè)修理工修理一輛汽車，則平均需3天；若兩個(gè)修理工修理1輛汽車，則平均需2天；若3或4個(gè)修理工修理一輛汽車，則平均需1.5天。試求：①畫(huà)出系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖；②求系統(tǒng)狀態(tài)概率；③求系統(tǒng)損失率；④求系統(tǒng)中平均的汽車數(shù)量；⑤求每輛汽車在系統(tǒng)中逗留的時(shí)間。解：依題意，因?yàn)樾蘩砉た梢韵嗷ズ献饕部梢詥为?dú)工作，可以把他們看成最多有4個(gè)服務(wù)臺(tái)的一個(gè)修理小組，所以該系統(tǒng)為M/M/4/4/∞/FCFS損失制排隊(duì)系統(tǒng)。輛／天，修理部的修理速度是一個(gè)變化的參數(shù)，具體如下：；；；。（1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖：001234（2）系統(tǒng)狀態(tài)概率：；；；。由可得，；。（3）系統(tǒng)損失率。（4）系統(tǒng)中平均的汽車數(shù)量。（5）每輛汽車在系統(tǒng)中逗留的時(shí)間首先，。因此，每輛汽車在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間。補(bǔ)充題：某廠醫(yī)務(wù)室有2名同等醫(yī)療水平的大夫。已知患病者按泊松流來(lái)醫(yī)務(wù)室求診，平均每小時(shí)到達(dá)15人；診病時(shí)間平均每人6min，且服從負(fù)指數(shù)分布；醫(yī)務(wù)室最多能容納6位病人，若已有6位病人，后來(lái)的病人會(huì)到別處就診，問(wèn)：（1）醫(yī)務(wù)室空閑的概率；（2）在醫(yī)務(wù)室逗留的病人及排隊(duì)等待就診的病人各為多少？（3）每位病人平均在醫(yī)務(wù)室等待的時(shí)間是多少？解：依題意，該系統(tǒng)為M/M/2/6/∞/FCFS混合制排隊(duì)系統(tǒng)。人／小時(shí)，人／小時(shí)，系統(tǒng)容量為6個(gè)人，超過(guò)則到別處就診。（1）醫(yī)務(wù)室空閑的概率：（2）排隊(duì)等待就診的病人：逗留的病人：（3）二、排隊(duì)系統(tǒng)優(yōu)化3.某廠有一機(jī)修組專門(mén)修理某種類型的設(shè)備。已知該設(shè)備的損壞率服從泊松流，平均每天2臺(tái)。修復(fù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每臺(tái)修理時(shí)間為。但是一個(gè)與機(jī)修人員多少及維修設(shè)備機(jī)械化程度（即與修理組織年開(kāi)支費(fèi)用）等有關(guān)的函數(shù)。已知：（元）；又已知設(shè)備損壞后，每臺(tái)每天的停產(chǎn)損失為400元，試決定該廠修理最經(jīng)濟(jì)的值及值。（提示：以一個(gè)月為期進(jìn)行計(jì)算）[解]題意分析。這是等待制排隊(duì)系統(tǒng)，到達(dá)率=2臺(tái)/天，服務(wù)率。每臺(tái)機(jī)子在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間天，因此，逗留費(fèi)用為。結(jié)合修理組織每月開(kāi)支費(fèi)用為，目標(biāo)函數(shù)是最小化一個(gè)月（周期為30天）的總費(fèi)用。首先，畫(huà)出系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖如下。0012……圖10系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖對(duì)于等待制排隊(duì)系統(tǒng)，可以計(jì)算出，船只平均逗留時(shí)間：。有效到達(dá)率，。（由得出）令一階導(dǎo)數(shù)得，，即。（注，二階導(dǎo)數(shù)大于零）4.設(shè)一套卸貨設(shè)備，每次只能給一條船卸貨，每周到達(dá)船數(shù)是服從參數(shù)為的泊松分布，卸貨時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布。設(shè)卸貨費(fèi)用與卸貨速度成正比，其值為，船艇在碼頭上的費(fèi)用與時(shí)間成正比，其值為，和均為常數(shù)，求使費(fèi)用最小的卸貨速度。[解]題意分析。需求（船只）到達(dá)率為（只/周）。設(shè)卸貨速度為（周/只），則服務(wù)率為（只/周）。卸貨費(fèi)用為。船只逗留時(shí)間，則每一艘船逗留費(fèi)用為。碼頭上只有一套卸貨設(shè)備。因此，這是一個(gè)單服務(wù)臺(tái)的等待制排隊(duì)模型。對(duì)于一周時(shí)間，船只的有效到達(dá)率，因此，模型目標(biāo)是最小化總費(fèi)用：。首先，畫(huà)出系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)