第五章

三

角

函

數(shù)章前導讀

現(xiàn)實世界的許多運動、變化都有著循環(huán)往復、周而復始的變化規(guī)律稱為周期性。

例如：地球自轉(zhuǎn)引起的晝夜交替變化和公轉(zhuǎn)引起的四季交替變化。

月亮圓缺，潮汐變化，物體的簡諧運動等變化。這些現(xiàn)象都可以用三角函數(shù)刻畫。章前導讀前面，我們學習了函數(shù)的一些概念，并研究了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等，知道了函數(shù)的研究內(nèi)容、過程和方法，以及如何利用某類函數(shù)刻畫相應的現(xiàn)實問題的變化規(guī)律（數(shù)學建模）本章，我們將利用這些經(jīng)驗，學習刻畫周期性變化的三角函數(shù)。(1)三角函數(shù)是怎樣的函數(shù)？（解析式）(2)它具有怎樣的性質(zhì)？(2)我們該如何利用三角函數(shù)模型刻畫各種周期變化現(xiàn)象？（應用）5.1任意角和弧度制5.1.1任意角一二三學習目標理解任意角的概念學會建立直角坐標系討論任意角，判斷象限角掌握終邊相同角的集合，以及它們書寫學習目標問題1

圓周運動是一種常見的周期性變化現(xiàn)象。圓上的點P以A為起點做逆時針方向的旋轉(zhuǎn)．如何刻畫點P的位置變化呢？旋轉(zhuǎn)的角度問題2

在初中，角的定義是什么？范圍是多大？有哪些種類？1.定義：有公共端點的兩射線組成的幾何圖形叫角.頂點邊邊2.角的范圍：0°～360°3.角的種類：銳角直角鈍角

平角

周角

實例1

體操中有“前空翻轉(zhuǎn)體540度”,“后空翻轉(zhuǎn)體720度”.實例2

齒輪旋轉(zhuǎn)時主動輪與被動輪旋轉(zhuǎn)方向相反旋轉(zhuǎn)量旋轉(zhuǎn)方向和通過以上研究發(fā)現(xiàn)角是由“旋轉(zhuǎn)”而來！1.角的概念始邊

終邊頂點BoA點O叫做角α的頂點，射線OA叫做角α的始邊，射線OB叫做角α的終邊.

α(1)定義：平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形通過以上研究發(fā)現(xiàn)角是由“旋轉(zhuǎn)”而來！(2)記法：記作角α或

∠α，可簡記為α(3)記法：1.任意角的概念正角：負角：一條射線繞其端點順時針旋轉(zhuǎn)形成的角.如：α=﹣540o，α=﹣120o.一條射線繞其端點逆時針旋轉(zhuǎn)形成的角.如：α=60o，α=425o.零角：一條射線沒作任何旋轉(zhuǎn).(零角的始邊與終邊重合)任意角已知一條射線的起始位置OA：oA(B)[注]①在不引起混淆的情況下，“角

”或“∠

”可以簡寫成“

”;

②角的表示：A，B，C，…或α，β，θ，…頂點始邊

終邊例1(1)經(jīng)過2個小時,鐘表的時針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是(

)A.60°,720° B.-60°,-720°C.-30°,-360° D.-60°,720°(2)右圖中的角α的度數(shù)是

.

B-3300角你能分別作出210°、-150°、750°、-660°的圖嗎？旋轉(zhuǎn)量旋轉(zhuǎn)方向2.角的表示與作圖類似于實數(shù)a的相反數(shù)是-a，我們引入任意角α的相反角的概念.(1)你認為相等的兩個角應該怎樣規(guī)定？(3)怎樣的兩個角互為相反角？兩角怎樣相減？(2)兩角相加又是怎樣規(guī)定的？類比實數(shù)，思考下列問題3.角的運算3.角的運算(1)相等角旋轉(zhuǎn)方向相同，旋轉(zhuǎn)量相同；

BAOB’A’O’(2)角的加法

(3)相反角(4)角的減法旋轉(zhuǎn)方向不同，旋轉(zhuǎn)量相同的兩個角叫做互為相反角；

角的減法轉(zhuǎn)化為角的加法角的“±”表示旋轉(zhuǎn)方向：“﹢逆﹣順”

3.角的運算α+（-β）α-β3.角的運算練1

你能用圖形表達下列角的運算嗎？(1)30°+90°(2)30°-90°(3)-60°+180°(4)60°+270°(5)-60°-270°(6)60°-360°xyo(1)使角的頂點與原點重合終邊落在第幾象限就說這個角是第幾象限角(2)始邊與x軸的非負半軸重合始邊終邊ABo（頂點）5.軸線角:終邊落在坐標軸上(x軸或y軸)的角.4.象限角該角不屬于任何一個象限.-50°xyoxyo210°-450°xyo405°xyo-200°xyo第四象限角第一象限角第三象限角第二象限角軸線角例2

已知角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,判斷-50°、405°、210°、-200°、-450°分別是第幾象限角練2

判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)大于90°的角都是鈍角.(

)(2)90°角是第一或第二象限角.(

)(3)小于90°的角都是銳角.(

)(4)第一象限角一定不是負角. (

)(5)第二象限角大于第一象限角.(

)(6)“α是銳角”是“α是第一象限角”的充要條件

(

)(7)若角α的終邊在直線y=x上,則α是第一象限角. (

)問題4

將角按照上述方法放在直角坐標系中后，給定一個角，就有唯一的一條終邊與之對應。

反之，對于直角坐標系內(nèi)任意一條射線OB，以它為終邊的角是否唯一？如果不唯一，那么終邊相同的角有什么關系？思考1

所有與α角終邊相同的角，連同α角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S，你能用描述法表示集合S嗎？

6.終邊相同的角例3

在0°~360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角：–60°;(2)820°.練3

判斷正誤：終邊相同的角一定相等（）相等的角，終邊一定相同（）角α的終邊位置

集合表示x軸的非負半軸

x軸的非正半軸

y軸的非負半軸

y軸的非正半軸

x軸

y軸

坐標軸

6.軸線角的集合表示{α|α=k·360°,k∈Z}{α|α=k·360°+180°,k∈Z}{α|α=k·360°+90°,k∈Z}{α|α=k·360°-90°,k∈Z}{α|α=k·180°,k∈Z}{α|α=k·180°+90°,k∈Z}{α|α=k·90°,k∈Z}角α的終邊所在象限集合表示第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

7.象限角的集合表示{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}{α|k·360°-90°<α<k·360°,k∈Z}練4

寫出終邊在直線y=x上的角的集合S，

并把S中適合