初中2025-2026學(xué)年第一學(xué)期10月素養(yǎng)調(diào)研八年級(jí)數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘滿分：120分注意事項(xiàng)：1．答題時(shí)，考生務(wù)必將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，把答案填寫在答題卡對(duì)應(yīng)的空格中．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．答案寫在試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，試卷和答題卡、草稿紙將一并交回．一、選擇題（每小題3分，共30分）1.國(guó)產(chǎn)人工智能大模型橫空出世，其低成本、高性能的特點(diǎn)，迅速吸引了全球投資者的目光．以下四款人工智能大模型的標(biāo)識(shí)是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.2.在下列長(zhǎng)度的三條線段中，不能組成三角形的是（）A，， B.，，C.，， D.，，3.如圖所示，亮亮?xí)系娜切伪荒E污染了一部分，很快他就根據(jù)所學(xué)知識(shí)畫出一個(gè)與書上完全一樣的三角形，那么這兩個(gè)三角形完全一樣的依據(jù)是（）A. B. C. D.4.下列說(shuō)法正確的是（）A.面積相等的兩個(gè)三角形全等B.形狀相同的兩個(gè)三角形全等C.三個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形全等D.斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)直角三角形全等5.如圖，在中，邊上的高為（）A. B. C. D.6.點(diǎn)P在的平分線上，點(diǎn)P到邊的距離等于6，點(diǎn)Q是邊上的任意一點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B. C. D.7.如圖，的兩外角，的平分線交于點(diǎn)P，．則_______．A B. C. D.8.如圖，在三角形紙片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC外，若∠2＝18°，則∠1的度數(shù)為（）A.50° B.118° C.100° D.90°9.如圖，的平分線與的垂直平分線相交于點(diǎn)，，，垂足分別為，，，則的值為（）A.1 B. C.2 D.310.如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．則下列結(jié)論：①；②；③若，則；④；⑤，其中正確的結(jié)論有（）A2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)二、填空題（每小題3分，共18分）11.在中，．若，則∠B的度數(shù)為_(kāi)___．12.如圖，在中，，．如果用“”證明，只需添加條件_____．13.等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6cm、11cm，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)________cm．14.如圖，在中，，則邊上的中線的取值范圍是_______．15.如圖，直線是中邊的垂直平分線，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，若，，，則周長(zhǎng)的最小值是______．16.如圖，與相交于點(diǎn)，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)，、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，、兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．連接，當(dāng)線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，的值為_(kāi)___________．三、解答題（共72分）17.如圖，在中，于點(diǎn)D，是的角平分線，交于點(diǎn)E，，求的度數(shù)．18.如圖，D是的邊上一點(diǎn)，，E為中點(diǎn)．求證：．19.如圖，是的角平分線，、分別是和的高．求證：垂直平分線段．20.如圖，我市擬在兩個(gè)鋼廠、與兩條公路、附近修建一個(gè)中轉(zhuǎn)站，要求中轉(zhuǎn)站到兩條公路、的距離相等，且到兩個(gè)鋼廠、的距離也相等，那么中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在何處?請(qǐng)?jiān)趫D中用尺規(guī)作出符合條件的點(diǎn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；21.如圖，平分，，垂足為．（1）若的面積為，，求點(diǎn)到的距離；（2）點(diǎn)在線段上，，求證：．22.如圖，AE＝AD，AC＝AB，∠EAD＝∠CAB＝α．(1)證明：BD＝CE；(2)如圖，BD、AC交于點(diǎn)F，BD、CE交于點(diǎn)P，若α＝90°，求∠APB的度數(shù)．23.如圖①，用一根細(xì)繩從質(zhì)地均勻的三角形薄板的重心處穿過(guò)，并將其懸掛在支架上，觀察發(fā)現(xiàn)三角形薄板正好保持水平，數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因進(jìn)行了探究．請(qǐng)你幫助他們完成下列問(wèn)題：（1）如圖②，小組成員在三角形薄板上畫出中線，可以得到_____（填“”“”或“”）；（2）如圖③，三角形薄板的三條中線相交于點(diǎn)O，試判斷三角形薄板被三條中線所分成的六個(gè)小三角形的面積之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）結(jié)合（2）中的結(jié)論，試填空：______，______，______．24.【問(wèn)題情境】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，且，連接AB，點(diǎn)P、點(diǎn)Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，且．連接AQ，過(guò)O點(diǎn)作于點(diǎn)E，交直線AB于點(diǎn)D，連接DP，試問(wèn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，與是否存在某種特定的數(shù)量關(guān)系．（1）直接寫出點(diǎn)A坐標(biāo)為_(kāi)_____，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)______；（2）【深入探究】如圖1，當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q在線段OB上，且P點(diǎn)在Q點(diǎn)的左側(cè)時(shí)．①求證：；②試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）【拓展應(yīng)用】當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)Q在x軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若，用表示_______．（不需證明）25.四邊形中，，，，點(diǎn)E為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，若點(diǎn)E在線段上，，則______．（2）如圖2，連接，，點(diǎn)E在上，且于E點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)做于G點(diǎn)，H點(diǎn)為中點(diǎn)，連接交于F點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，連接，，過(guò)點(diǎn)E做，且滿足，連接，，過(guò)點(diǎn)B做于點(diǎn)N，若，，，求線段的長(zhǎng)度的取值范圍．

2025-2026學(xué)年第一學(xué)期10月素養(yǎng)調(diào)研八年級(jí)數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘滿分：120分注意事項(xiàng)：1．答題時(shí)，考生務(wù)必將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，把答案填寫在答題卡對(duì)應(yīng)的空格中．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．答案寫在試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，試卷和答題卡、草稿紙將一并交回．一、選擇題（每小題3分，共30分）1.國(guó)產(chǎn)人工智能大模型橫空出世，其低成本、高性能的特點(diǎn)，迅速吸引了全球投資者的目光．以下四款人工智能大模型的標(biāo)識(shí)是軸對(duì)稱圖形的是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形“如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形”，熟記軸對(duì)稱圖形的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，則此項(xiàng)不符合題意；B、是軸對(duì)稱圖形，則此項(xiàng)符合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，則此項(xiàng)不符合題意；D、不是軸對(duì)稱圖形，則此項(xiàng)不符合題意；故選：B．2.在下列長(zhǎng)度的三條線段中，不能組成三角形的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【解析】【分析】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形．通過(guò)計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)中兩條較短的線段長(zhǎng)度之和是否大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能否構(gòu)成一個(gè)三角形．【詳解】解：A、，能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意；B、，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)符合題意；C、，能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意；D、，能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意．故選：B．3.如圖所示，亮亮?xí)系娜切伪荒E污染了一部分，很快他就根據(jù)所學(xué)知識(shí)畫出一個(gè)與書上完全一樣的三角形，那么這兩個(gè)三角形完全一樣的依據(jù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．圖中三角形沒(méi)被污染的部分有兩角及夾邊，根據(jù)全等三角形的判定方法解答即可．【詳解】解：由圖可知，三角形有兩角和它們夾邊是完整的，所以可以根據(jù)“”畫出，故選：A．4.下列說(shuō)法正確的是（）A.面積相等的兩個(gè)三角形全等B.形狀相同的兩個(gè)三角形全等C.三個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形全等D.斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的判定，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、面積相等的兩個(gè)三角形不一定全等，故本選項(xiàng)不符合題意；B、形狀相同的兩個(gè)三角形不一定全等，故本選項(xiàng)不符合題意；C、三個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等，故本選項(xiàng)不符合題意；D、斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．5.如圖，在中，邊上的高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形高的定義是從一個(gè)頂點(diǎn)到它對(duì)邊的垂線段即可判斷．【詳解】根據(jù)三角形的高的定義，在△ABC中，BC邊上的高應(yīng)是過(guò)點(diǎn)A垂直于BC的線段，從圖中可以看出，過(guò)點(diǎn)A垂直于BC的線段是AE，所以AE是BC邊上的高．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形高定義，熟練掌握三角形的高概念，仔細(xì)觀察圖形中符合定義的線段即可．6.點(diǎn)P在的平分線上，點(diǎn)P到邊的距離等于6，點(diǎn)Q是邊上的任意一點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等是關(guān)鍵，過(guò)點(diǎn)P作，得出，最根據(jù)垂線段最短即可解答．【詳解】解：如圖：平分，，過(guò)點(diǎn)P作，∴，∵點(diǎn)Q是邊上的任意一點(diǎn)，∴．故選：B．7.如圖，的兩外角，的平分線交于點(diǎn)P，．則_______．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題，涉及了三角形的外角的定義及性質(zhì)，由題意得：，求出，推，進(jìn)而得，即可求解；【詳解】解：由題意得：，∵．∴，∴，∴，∴，故選：A8.如圖，在三角形紙片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC外，若∠2＝18°，則∠1的度數(shù)為（）A.50° B.118° C.100° D.90°【答案】B【解析】【分析】在△ABC中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠C的度數(shù)，由折疊的性質(zhì)，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，結(jié)合∠2的度數(shù)可求出∠CED的度數(shù)，在△CDE中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠CDE的度數(shù)，再由∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE即可求出結(jié)論．【詳解】解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．由折疊，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，∴∠CED＝＝99°，∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝31°，∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及折疊的性質(zhì)，利用三角形內(nèi)角和定理及折疊的性質(zhì)求出∠CDE的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．9.如圖，的平分線與的垂直平分線相交于點(diǎn)，，，垂足分別為，，，則的值為（）A.1 B. C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】首先連接CD，BD，由∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)D，DE⊥AB，DF⊥AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)與線段垂直平分線的性質(zhì)，易得CD=BD，DF=DE，繼而可得AF=AE，易證得Rt△CDF≌Rt△BDE，則可得BE=CF，繼而求得答案．【詳解】如圖，連接CD，BD，

∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，

∴AE=AF，

∵DG是BC的垂直平分線，

∴CD=BD，

在Rt△CDF和Rt△BDE中，

，

∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），

∴BE=CF，

∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，

∵AB=11cm，AC=5cm，

∴BE=3cm．

故應(yīng)選D．【點(diǎn)睛】此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．解題關(guān)鍵在于注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．10.如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．則下列結(jié)論：①；②；③若，則；④；⑤，其中正確的結(jié)論有（）A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【答案】C【解析】【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義計(jì)算可得，再由三角形內(nèi)角和定理即可判斷①；延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，，得出，證明，得出，即可判斷②；根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可判定③；由全等三角形的性質(zhì)即可判定④；過(guò)點(diǎn)作于，由角平分線的性質(zhì)定理可得，再由三角形面積公式即可判斷⑤．【詳解】解：①在中，，，∴，∵平分，∴，∵，，，∴，故①正確；②延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，，∵平分，，∴，，在和中，，∴，∴，∵，，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，故②正確；③∵，∴，∴，故③錯(cuò)誤；④由②可得，，∴，，∴，故④正確；⑤如圖，過(guò)點(diǎn)作于，，∵平分，，，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，故⑤正確；綜上所述，正確的有①②④⑤，共個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共18分）11.在中，．若，則∠B的度數(shù)為_(kāi)___．【答案】##度【解析】【分析】本題主要考查直角三角形的兩銳角互余，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解，掌握直角三角形中兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，，故答案為：．12.如圖，在中，，．如果用“”證明，只需添加條件_____．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，靈活運(yùn)用證明全等三角形是解題的關(guān)鍵．由可得，再結(jié)合，再根據(jù)“”即可解答．【詳解】解：∵，∴，即，∵，∴添加可用“”證明．故答案為：．13.等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6cm、11cm，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)________cm．【答案】23或28．【解析】【分析】由等腰三角形兩腰長(zhǎng)相等的性質(zhì)，分兩類討論：當(dāng)6為腰長(zhǎng)或11為腰長(zhǎng)，結(jié)合三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊解題，進(jìn)而計(jì)算三角形周長(zhǎng)即可．【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)腰長(zhǎng)為6cm時(shí)，周長(zhǎng)為：6+6+11=23cm；當(dāng)腰長(zhǎng)為11cm時(shí)，周長(zhǎng)為：11+11+6=28cm．故答案為：23或28．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形三邊的關(guān)系等知識(shí)，是常見(jiàn)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．14.如圖，在中，，則邊上的中線的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，延長(zhǎng)到E，使，由“”可證和全等，可得，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出的取值范圍，然后即可得解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)到E，使，連接，∵是邊上的中線，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，即，∴．故答案為：．15.如圖，直線是中邊的垂直平分線，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，若，，，則周長(zhǎng)的最小值是______．【答案】【解析】【分析】本題考查垂直平分線的性質(zhì)及牧人飲馬最短距離問(wèn)題，根據(jù)題意得到周長(zhǎng)的最小值是直接求解即可得到答案．【詳解】解：∵直線是中邊的垂直平分線，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，∴，∴，∴最小為，∴，故答案為：13．16.如圖，與相交于點(diǎn)，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)，、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，、兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．連接，當(dāng)線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，的值為_(kāi)___________．【答案】1或2##2或1【解析】【分析】先根據(jù)證出，從而得到，再證明得到，再分兩種情況列方程列出方程求解即可．【詳解】解：當(dāng)線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，如圖：在和中，∵，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)，∴，，∴，∴，解得；當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)，∴，，，∴，解得；綜上：當(dāng)或時(shí)，線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定以及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角三角形全等的判定方法，并且理解動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程．三、解答題（共72分）17.如圖，在中，于點(diǎn)D，是的角平分線，交于點(diǎn)E，，求的度數(shù)．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題，先由垂線的定義得到，再由三角形內(nèi)角和定理得到，則由角平分的定義可得，據(jù)此由三角形內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴．18.如圖，D是的邊上一點(diǎn)，，E為中點(diǎn)．求證：．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，準(zhǔn)確地找出全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角是解題的關(guān)鍵．由得，，再由E為中點(diǎn)，證得，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵，∴，，∵E為中點(diǎn)．∴，在和中，，∴，∴．19.如圖，是的角平分線，、分別是和的高．求證：垂直平分線段．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查了三角形的角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．結(jié)合三角形的角平分線的性質(zhì)和定義證明，得到，再根據(jù)線段垂直平分線的判定定理即可證明結(jié)論．【詳解】證明：平分，，，，，，，又∵，垂直平分．20.如圖，我市擬在兩個(gè)鋼廠、與兩條公路、附近修建一個(gè)中轉(zhuǎn)站，要求中轉(zhuǎn)站到兩條公路、的距離相等，且到兩個(gè)鋼廠、的距離也相等，那么中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在何處?請(qǐng)?jiān)趫D中用尺規(guī)作出符合條件的點(diǎn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查了尺規(guī)作圖作已知角的平分線、尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線，角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線與線段垂直平分線的作法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如下圖所示，連接線段，作線段的垂直平分線，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，直線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，作平分線，兩線交于點(diǎn)，角平分線上的任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，射線到兩條公路、的距離相等，點(diǎn)即為所求．21.如圖，平分，，垂足為．（1）若的面積為，，求點(diǎn)到的距離；（2）點(diǎn)在線段上，，求證：．【答案】（1）點(diǎn)到的距離為；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】（）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用角平分線的性質(zhì)的性質(zhì)即可求解；（）證明得到，證明，得到，再根據(jù)線段和差及等量代換即可求證；此題考查了角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【小問(wèn)1詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵平分，，∴，∵的面積為，，∴，∴，∴點(diǎn)到的距離為；【小問(wèn)2詳解】由（）得：，，，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．22.如圖，AE＝AD，AC＝AB，∠EAD＝∠CAB＝α．(1)證明：BD＝CE；(2)如圖，BD、AC交于點(diǎn)F，BD、CE交于點(diǎn)P，若α＝90°，求∠APB的度數(shù)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）45°【解析】【分析】（1）利用已知條件證明≌，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；（2）連接BC，通過(guò)證明A、B、C、P四點(diǎn)共圓，利用圓周角定理即可求解．【詳解】解：（1）∵∠EAD＝∠CAB，∴，即，在和中，，∴≌，∴；（2）連接BC，∵，，∴，∵≌，∴，∴A、B、C、P四點(diǎn)共圓，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理等內(nèi)容，熟練運(yùn)用性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．23.如圖①，用一根細(xì)繩從質(zhì)地均勻的三角形薄板的重心處穿過(guò)，并將其懸掛在支架上，觀察發(fā)現(xiàn)三角形薄板正好保持水平，數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因進(jìn)行了探究．請(qǐng)你幫助他們完成下列問(wèn)題：（1）如圖②，小組成員在三角形薄板上畫出中線，可以得到_____（填“”“”或“”）；（2）如圖③，三角形薄板的三條中線相交于點(diǎn)O，試判斷三角形薄板被三條中線所分成的六個(gè)小三角形的面積之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，試填空：______，______，______．【答案】（1）（2）三角形薄板被三條中線所分成的六個(gè)小三角形的面積相等（3）；；【解析】【分析】本題考查了三角形中線平分面積，理解題意是解決本題的關(guān)鍵．（1）中線將三角形分成兩個(gè)等底同高的三角形，故面積相等．（2）利用（1）中結(jié)論可判斷，面積相等，，面積相等，，面積相等，再推導(dǎo)后即可證出六個(gè)小三角形面積均相等．（3）利用（2）中結(jié)論證明，可推導(dǎo)，用相同方法證明另外兩個(gè)結(jié)論即可．【小問(wèn)1詳解】解：和的底分別為，高為點(diǎn)到線段的距離，∴兩個(gè)三角形等底同高，∴面積相等．故答案為：．【小問(wèn)2詳解】解：三角形薄板被三條中線所分成的六個(gè)小三角形的面積相等，理由如下：是的一條中線，是的中線，，同理可得，，，，，，，，同理可得，，∴．【小問(wèn)3詳解】解：由（2）可知，，，的邊上的高與的邊上的高相同，，同理可得，，，∵，，∴，，故答案為：；；．24.【問(wèn)題情境】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，且，連接AB，點(diǎn)P、點(diǎn)Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，且．連接AQ，過(guò)O點(diǎn)作于點(diǎn)E，交直線AB于點(diǎn)D，連接DP，試問(wèn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，與是否存在某種特定的數(shù)量關(guān)系．（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_____，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)______；（2）【深入探究】如圖1，當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q在線段OB上，且P點(diǎn)在Q點(diǎn)的左側(cè)時(shí)．①求證：；②試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）【拓展應(yīng)用】當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)Q在x軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若，用表示_______．（不需證明）【答案】（1）（2