高中2025-2026學年上學期期中考高一數(shù)學命題學校：廣州市鐵一中學本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若全集，則集合的非空真子集的個數(shù)為（）A.7 B.6 C.3 D.22.已知命題，則命題的否定為（）A. B.C. D.3.已知，下列式子正確的是（）A. B.C. D.4.已知冪函數(shù)的圖象過點，則（）A. B. C. D.5.下列命題錯誤的是（）A.關于不等式解集為，則B.已知，則是的必要不充分條件C.命題“存在，使得”為真命題一個充分不必要條件是D.將化成有理數(shù)指數(shù)冪的形式是6.設是定義域的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且當，.若，則()A. B. C. D.7.已知，，則（）A.4048 B.4044 C.2024 D.20268.設集合為非空實數(shù)集，集合且，稱集合為集合的積集，則下列結(jié)論正確的是（）A.當時，集合的積集B.若是由5個正實數(shù)構(gòu)成的集合，其積集中元素個數(shù)最多為8個C.若是由5個正實數(shù)構(gòu)成的集合，其積集中元素個數(shù)最少為7個D.存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合，使其積集二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.下列命題中真命題的是（）A.函數(shù)與圖象有兩個交點B.函數(shù)的值域為C.函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增D.函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為10.已知，，，則下列正確的是（）A. B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為11.函數(shù)的定義域為，若存在區(qū)間使在區(qū)間上的值域也是，則稱區(qū)間為函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則下列函數(shù)存在“和諧區(qū)間”的是（）A. B. C. D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.老師給出一個函數(shù)，四個學生甲、乙、丙、丁各指出函數(shù)的一個性質(zhì)．甲：對于，都有；乙：函數(shù)在上是減函數(shù)；丙：函數(shù)在上是增函數(shù)；?。翰皇呛瘮?shù)的最小值．如果其中恰有三人說的正確，請寫出一個這樣的函數(shù)：______．13.已知常數(shù)，函數(shù)經(jīng)過點、．若，則______．14.已知函數(shù)，若關于的方程有5個不同的實數(shù)根，則的取值范圍為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知集合.（1）當時，求；（2）當，且時，求實數(shù)的取值范圍．16.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且.（1）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）若，求的取值范圍.17.為了充分挖掘鄉(xiāng)村發(fā)展優(yōu)勢，某新農(nóng)村打造“有機水果基地”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某水果樹單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關系：，肥料成本投入為元，其他成本投入為元.已知這種水果的市場售價大約為15元/千克，且銷售暢通，記該水果單株利潤為（單位：元）.（1）求單株利潤（單位：元）關于施用肥料（單位：千克）的關系式；（2）當施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大?最大利潤是多少?18.我們知道，函數(shù)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是為奇函數(shù).若定義在上函數(shù)的圖象關于點對稱，且當時，.（1）求的值；（2）設函數(shù).（?。┖瘮?shù)的圖像關于點對稱，求m的值.（ⅱ）若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)a取值范圍.19.已知偶函數(shù)和奇函數(shù)的定義域均為，且．（1）求函數(shù)和的解析式；（2）若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若，且在上的最小值為，求的值．

2025-2026學年上學期期中考高一數(shù)學命題學校：廣州市鐵一中學本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若全集，則集合的非空真子集的個數(shù)為（）A.7 B.6 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用補集的定義求出集合，進而求出非空真子集的個數(shù).【詳解】集合，而，則，所以集合的非空真子集的個數(shù)為.故選：B2.已知命題，則命題的否定為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】由題意可知，命題為全稱量詞命題，該命題的否定為：.故選：D.3.已知，下列式子正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】已知，所以，所以，所以，A錯誤；已知，所以，所以，B錯誤；已知，所以，因為，所以，C錯誤；已知，所以，因為，所以，D正確.故選：D.4.已知冪函數(shù)的圖象過點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象過點求出解析式，再求即可.【詳解】設，冪函數(shù)的圖象過點，所以，解得，所以，則.故選：B.5.下列命題錯誤的是（）A.關于的不等式解集為，則B.已知，則是的必要不充分條件C.命題“存在，使得”為真命題的一個充分不必要條件是D.將化成有理數(shù)指數(shù)冪的形式是【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)冪的運算等知識逐項計算求解即可.【詳解】對于A：因為關于的不等式解集為，所以且是方程的兩個根，則有，所以.所以，A正確；對于B：，，不等式兩邊平方得，解得；，化簡得，解得.由于而推不出，所以是的必要不充分條件，B正確；對于C：因為命題“存在，使得”為真命題，所以當時，，符合題意；當時，拋物線開口向上，始終存在使得不等式成立；當時，則，解得，綜上，.所以當時，命題“存在，使得”不一定為真命題，所以不是命題“存在，使得”為真命題的充分條件，所以C錯誤；對于D：，D正確.故選：C.6.設是定義域的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且當，.若，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用函數(shù)的奇偶性求出，再利用的對稱性和奇函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】因為是定義域的奇函數(shù)，所以，，因為當，，所以，從而，因為是偶函數(shù)，即的圖像關于軸對稱，因為圖像是圖像向左平移一個單位得到的，所以的圖像關于對稱，故，因為，所以，因為，，所以.故選：B.7.已知，，則（）A.4048 B.4044 C.2024 D.2026【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件推出為定值，判斷出準確項數(shù)，計算即可.【詳解】令，，則，所以.令，則.中共有項，所以原式.故選：A8.設集合為非空實數(shù)集，集合且，稱集合為集合的積集，則下列結(jié)論正確的是（）A.當時，集合的積集B.若是由5個正實數(shù)構(gòu)成的集合，其積集中元素個數(shù)最多為8個C.若是由5個正實數(shù)構(gòu)成的集合，其積集中元素個數(shù)最少為7個D.存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合，使其積集【答案】C【解析】【分析】利用積集的定義可判斷A，設，其中，利用積集定義分析積集中元素的大小關系可判斷B和C，利用反證法分析集合中四個元素的乘積推出矛盾可判斷D.【詳解】對于A，因為，故集合中所有可能的元素有，即，故A錯誤；對于B，設，不妨設，因為，所以中元素個數(shù)小于等于10個，如設，則，所以積集中元素個數(shù)的最大值為10個，故B錯誤；對于C，因為，所以中元素個數(shù)大于等于7個，如設，此時中元素個數(shù)等于7個，所以積集中元素個數(shù)的最小值為7，故C正確；對于D，假設存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合，使其積集，不妨設，則集合的積集，則必有，其4個正實數(shù)的乘積，又或，其4個正實數(shù)的乘積，矛盾；所以假設不成立，故不存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合，使其生成集，故D錯誤.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.下列命題中真命題的是（）A.函數(shù)與的圖象有兩個交點B.函數(shù)的值域為C.函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增D.函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為【答案】BD【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合可判斷A選項；利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項；利用特殊值法可判斷C選項；利用抽象函數(shù)定義域的求法可判斷D選項.【詳解】對于A選項，如下圖所示，函數(shù)與的圖象有三個交點，A錯；對于B選項，對于函數(shù)，令，可得，即，則，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，故，故函數(shù)的值域為，B對；對于C選項，函數(shù)的定義域為，因為，，故函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，C錯；對于D選項，因為函數(shù)的定義域為，即，所以，則對于函數(shù)，有，解得，所以函數(shù)的定義域為，D對.故選：BD.10.已知，，，則下列正確的是（）A. B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】由得出，可判斷A選項；由已知等式變形得出，結(jié)合基本不等式可判斷BCD選項.【詳解】因為，，，等式兩邊同時乘以可得，即，即，即，對于A選項，由得，所以，故，A對；對于C選項，由可得，所以，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為，C對；對于B選項，，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為，B對；對于D選項，，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為，D錯.故選：ABC.11.函數(shù)的定義域為，若存在區(qū)間使在區(qū)間上的值域也是，則稱區(qū)間為函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則下列函數(shù)存在“和諧區(qū)間”的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，可知若在區(qū)間上的值域也是，則存在“和諧區(qū)間”，且，則或，再對各個選項進行運算求解，即可判斷該函數(shù)是否存在“和諧區(qū)間”.【詳解】解：由題得，若在區(qū)間上的值域也是，則存在“和諧區(qū)間”，可知，，則或，A：，若，解得：，所以存在“和諧區(qū)間”；B：，若存在和諧區(qū)間，則，故在為增函數(shù)，故，解得：，所以存在“和諧區(qū)間”；C：，若存在和諧區(qū)間，則，若，則，故在上為增函數(shù)，故，得，故無解；若，則，故在上為增函數(shù)，同上，無解.所以不存在“和諧區(qū)間”；D：，函數(shù)在單調(diào)遞減，則，不妨令，所以存在“和諧區(qū)間”；綜上得：存在“和諧區(qū)間”的是ABD.故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：本題以函數(shù)的新定義為載體，考查函數(shù)的定義域、值域以及零點等知識，解題的關鍵是理解“和諧區(qū)間”的定義，考查運算能力以及函數(shù)與方程的思想.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.老師給出一個函數(shù)，四個學生甲、乙、丙、丁各指出函數(shù)一個性質(zhì)．甲：對于，都有；乙：函數(shù)在上是減函數(shù)；丙：函數(shù)在上是增函數(shù)；?。翰皇呛瘮?shù)的最小值．如果其中恰有三人說的正確，請寫出一個這樣的函數(shù)：______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】分析出若甲的說法正確，則丙的說法錯誤，乙丁的說法正確，可選擇合適的函數(shù)；根據(jù)乙丙丁的說法正確，甲的說法正確可選擇合適的函數(shù).【詳解】若甲的說法正確，則函數(shù)的圖象關于直線對稱，則函數(shù)在上不單調(diào)，即丙的說法錯誤，乙丁的說法正確，可取；若乙丙丁的說法正確，甲的說法錯誤，可取.故答案：（答案不唯一）.13.已知常數(shù)，函數(shù)經(jīng)過點、．若，則______．【答案】4【解析】【分析】先根據(jù)點在函數(shù)上化簡得出，，再結(jié)合已知得出則，最后因為求值即可.【詳解】函數(shù)經(jīng)過點、，則，，解得，，，則，因為，解得．故答案為：4.14.已知函數(shù)，若關于的方程有5個不同的實數(shù)根，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】方程等價于或所以方程有5個不同的實數(shù)根等價于函數(shù)與直線和共有5個交點即可.【詳解】當時，；當時，，作出函數(shù)圖像如下：方程或方程有5個不同的實數(shù)根函數(shù)與直線和共有5個交點，因為，所以或，解得或，所以的取值范圍為：.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知集合.（1）當時，求；（2）當，且時，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先解指數(shù)不等式，化簡集合；再解一元二次不等式，化簡集合，最后求并集即可；（2）先由將中不等式化為，討論，，三種情況，分別求集合，再由交集為空集，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】由，解得，當時，即為，即為，，．【小問2詳解】，當，即時，，符合題意；當，即時，，符合題意；當，即時，則，不合題意；綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．16.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且.（1）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）減函數(shù)，證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出解析式，再利用單調(diào)函數(shù)的定義推理得證.（2）利用偶函數(shù)、減函數(shù)的性質(zhì)去掉對應法則“f”，再解一元二次不等式即得.【小問1詳解】由函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，得，則，即對任意的恒成立，解得，函數(shù)，由，得，解得，函數(shù)，函數(shù)在上為減函數(shù)，證明如下：任取，且，則，則，即，所以函數(shù)在上為減函數(shù).【小問2詳解】由函數(shù)為上的偶函數(shù)，且該函數(shù)在上為減函數(shù)，得，則，即，因此，解得或，所以原不等式的解集為.17.為了充分挖掘鄉(xiāng)村發(fā)展優(yōu)勢，某新農(nóng)村打造“有機水果基地”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關系：，肥料成本投入為元，其他成本投入為元.已知這種水果的市場售價大約為15元/千克，且銷售暢通，記該水果單株利潤為（單位：元）.（1）求單株利潤（單位：元）關于施用肥料（單位：千克）的關系式；（2）當施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大?最大利潤是多少?【答案】（1）（2）當施用肥料為4千克時，該水果單株利潤最大，最大利潤是240元【解析】【分析】（1）利用該水果樹單株產(chǎn)量乘以市場售價減投入總成本即可得出利潤表達式；（2）根據(jù)定義域求每段函數(shù)的利潤最大值比較后可得答案.【小問1詳解】由題意可得，即，整理得.【小問2詳解】當時，為對稱軸開口向上的拋物線，所以當時，，當時，，因為，當且僅當即取等號，所以，即，綜上所述，當時，該水果單株利潤最大，最大利潤是240元．18.我們知道，函數(shù)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是為奇函數(shù).若定義在上函數(shù)的圖象關于點對稱，且當時，.（1）求的值；（2）設函數(shù).（?。┖瘮?shù)的圖像關于點對稱，求m的值.（ⅱ）若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）4（2）（ⅰ）（ⅱ）【解析】【分析】（1）根據(jù)所給函數(shù)的性質(zhì)，賦值即可得解；（1）（?。┯深}意由為奇函數(shù)即可得解；（ⅱ）證明的單調(diào)性，求出值域，由題意轉(zhuǎn)化為，再由的對稱性轉(zhuǎn)化為，分類討論求的值域，滿足上述條件建立不等式求解即可.【小問1詳解】因為定義在上函數(shù)的圖象關于點對稱，所以為奇函數(shù)，∴，得，則令，得.【小問2詳解】（?。┮驗楹瘮?shù)的圖象關于點對稱，所以為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以，解得.（ⅱ）先證明在上單調(diào)遞增，設任意的，且，則，由可知，，，所以，即在上單調(diào)遞增；∴在區(qū)間上的值域為，記在區(qū)間上的值域為，對任意，總存在，使得成立知，由的圖象關于點對稱，所以只需①當時，在上單調(diào)遞增，由對稱性知，在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，只需即可，得，∴滿足題意；②當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由對稱性知，在上單調(diào)遞增，