6.3平面向量基本定理及坐標表示6.3.1平面向量基本定理|平面向量基本定理知識點1.平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內的任一

向量a,有且只有一對實數λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.2.基底:若e1,e2不共線,我們把{e1,e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.1.平面內任意兩個向量都可以作為一個基底嗎?知識辨析2.零向量可以與其他向量構成一個基底嗎?3.平面向量基本定理中,a與e1共線時,λ2的值是多少?a=0時呢?1.不是.只有不共線的兩個向量才可以作為一個基底.一語破的2.不可以.因為零向量與任意向量共線.3.λ2=0;λ1=λ2=0.1|平面向量基本定理的理解及其應用定點關鍵能力定點破1.對平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理的實質是向量的分解.(2)基底不唯一,只要是同一平面內不共線的兩個向量就可以作為一個基底,同一非零向量在

不同基底下的分解是不同的.(3)基底給定時,分解形式唯一,即若a=x1e1+y1e2,且a=x2e1+y2e2,則

這個方法常用于待定系數法確定向量.2.利用向量解決幾何問題平面向量基本定理體現了轉化與化歸的數學思想,用向量解決幾何問題時,一般步驟如

下:(1)同一平面內選取不共線的兩個向量作為基底;(2)將相關的向量用基底表示出來,將幾何問題轉化為向量問題;(3)利用向量運算求解向量問題;(4)將向量問題的解轉化為幾何問題的解.如圖,在平行四邊形ABCD中,F是CD的中點,AF與BD相交于點E,求證:E為線段BD的一個

三等分點.

典例證明

設

=a,

=b,則

=

-

=b-a,

=

+

=

+

=b+

a.由題意知,A,E,F三點共線,B,D,E三點共線,所以存在實數λ,μ,使

=λ

,

=μ

,于是

=

a+λb,

=μb-μa.因為

+

=

,所以(1-μ)a+μb=

a+λb.因為a與b不共線,所以

解得

所以

=

,即E為線段BD的一個三等分點(靠近點D).2|定比分點和分點恒等式定點1.定比分點設點P1,P2是直線l上的兩點,點P是l上不同于點P1,P2的任意一點,存在一個實數λ,使

=λ,那么λ叫做點P分有向線段

所成的比,P叫做有向線段

的以λ為定比的定比分點.(1)λ由點P的位置決定,由點P的位置也可以確定λ的符號.當點P在線段P1P2上時,

與

同向,λ>0;當點P在線段P1P2的延長線上時,

與

反向,λ<-1;當點P在線段P2P1的延長線上時,

與

反向,-1<λ<0.(2)O為平面上一點,則有

=

+

.推廣:若

,

為平面內兩個不共線的向量,設

=x

+y

,則A,B,C三點共線的充要條件是x+y=1.2.分點恒等式在△ABC中,D是BC上一點(不包含端點),若BD∶CD=m∶n,則

=

+

.在△ABC中,點P滿足2

=

,過點P的直線與AB,AC所在的直線分別交于點M,N,若

=x

,

=y

(x>0,y>0),則2x+y的最小值為

(

)A.3

B.3

C.1

D.

典例思路點撥

在此題中,易知B,P,C三點共線和M,P,N三點共線.利用向量的線性運算得到

,

,

的關系式,由M,P,N三點共線得到x和y的關系式,應用基本不等式即可求最值,注意等號成立的條件.A因為2

=

,所以由分點恒等式可得

=

+

,又

=x

,

=y

(x>0,y>0),所以

=

+

,由M,P