1.異面直線所成的角(1)定義:如圖,已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點O分別作直線a'∥a,b'∥b,則異面直線a與

b所成的角就是直線a'與b'所成的角(或夾角).(實現(xiàn)了空間問題向平面問題的轉(zhuǎn)化)8.6空間直線、平面的垂直8.6.1直線與直線垂直|空間兩直線所成的角知識點必備知識清單破(2)范圍:空間兩條異面直線所成角α的取值范圍為0°<α≤90°.如果兩條異面直線所成的角是

直角,那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b垂直,記作a⊥b.2.空間兩直線所成的角當(dāng)兩條直線a,b相互平行時,規(guī)定它們所成的角為0°,所以空間兩條直線所成角α的取值范

圍是0°≤α≤90°.

1.在平面內(nèi),兩條相交直線所成角是如何定義的?2.異面直線a與b所成角的大小與點O的位置有關(guān)嗎?通常點O取在什么位置?3.相互垂直的兩條直線一定相交嗎?4.如果一條直線與兩條平行直線中的一條直線垂直,那么這條直線與另一條直線垂直嗎?5.垂直于同一條直線的兩條直線一定互相平行嗎?知識辨析一語破的1.在平面內(nèi),兩直線相交所成的銳角或直角叫做兩相交直線所成的角.2.兩條異面直線所成角的大小是由這兩條異面直線的相對位置決定的,與點O的位置無關(guān).為

了簡便,點O常取在兩條異面直線中的一條上,特別是這一直線上的某些特殊點(如線段的端

點、中點等).3.不一定.有相交垂直和異面垂直兩種情形.4.垂直.5.不一定.如在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥BB1,BC⊥BB1,但AB與BC相交.求異面直線所成角的一般步驟(1)作:恰當(dāng)?shù)剡x擇一個點,用平移法構(gòu)造異面直線所成的角(或其補角).常用的平移法主要有三種形式:①利用長方體中相對應(yīng)的線段、平行四邊形的對邊的平行關(guān)系進(jìn)行平移;②利用三角形、梯形中位線具有的平行關(guān)系進(jìn)行平移;③補形平移,一般是補一個相同形狀的幾何體,以方便作平行直線,或者將幾何體補成一個特

殊的幾何體,如將三棱錐或四棱錐補成一個正方體(或長方體).此外,根據(jù)空間中角的直觀圖無法直接判斷角是銳角、直角還是鈍角,因此作出的角可

能是異面直線所成的角,也可能是其補角.(2)證:證明(1)中所作的角(或其補角)就是所求異面直線所成的角.1|求異面直線所成的角定點關(guān)鍵能力定點破(3)計算:利用所成角所在三角形求解.如果是特殊三角形,如等邊三角形或直角三角形,則利用

相應(yīng)三角形的性質(zhì)求角;如果不是特殊三角形,則求出三角形的邊,利用余弦定理求出角的余

弦值,進(jìn)而求出角.(4)結(jié)論:若求出的角是銳角或是直角,則它就是異面直線所成的角;若求出的角是鈍角,則它的

補角就是異面直線所成的角.如圖所示,在正方體A1B1C1D1-ABCD中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點,求異面直線DB1與EF

所成角的大小.

典例

解析

解法一:如圖所示,連接A1C1,B1D1,設(shè)A1C1∩B1D1=O,取DD1的中點G,連接OG,A1G,C1G,

則OG∥B1D,EF∥A1C1,則∠GOA1(或其補角)即為異面直線DB1與EF所成的角.易知GA1=GC1,O為A1C1的中點,所以GO⊥A1C1,即∠GOA1=90°.所以異面直線DB1與EF所成的角為90°.

則HE∥DB1,且HE=

DB1,則∠HEF(或其補角)即為異面直線DB1與EF所成的角.設(shè)正方體的棱長為1,則EF=

,HE=

.取A1D1的中點I,連接HI,IF,則HI⊥IF,所以HF2=HI2+IF2=

,所以HF2=EF2+HE2,所以∠HEF=90°.所以異面直線DB1與EF所成的角為90°.解法二:如圖所示,連接A1D,取A1D的中點H,連接HE,HF,

解法三:如圖所示,分別取AA1,CC1的中點M,N,連接MN,A1C1,則MN∥A1C1.因為E,F分別為A1B1,B1C1的中點,所以EF∥A1C1,所以MN∥EF.連接DM,B1N,B1M,DN,則B1N

DM,所以四邊形DMB1N為平行四邊形,所以MN與DB1必相交,設(shè)MN∩DB1=P,則∠DPM(或其補角)即為異面直線DB1與EF所成的角.設(shè)正方體的棱長為1,則MP=

,DM=

,DP=

,所以DM2=DP2+MP2,所以∠DPM=90°.所以異面直線DB1與EF所成的角為90°.解法四:如圖所示,在原正方體的右側(cè)補上一個全等的正方體,連接DQ,B1Q,A1C1,

因為A1B1

C1Q,所以四邊形A1B1QC1為平行四邊形,所以A1C1∥B1Q.因為E,F分別為A1B1,B1C1的中點,所以EF∥A1C1,所以B1Q∥EF,則∠DB1Q(或其補角)即為異面

直線DB1與EF所成的角.設(shè)正方體的棱長為1,則B1D=

,DQ=

,B1Q=

,所以B1D2+B1Q2=DQ2,所以∠DB1Q=90°.所以異面直線DB1與EF所成的角為90°.當(dāng)題目中已知異面直線所成的角時,應(yīng)先作出該角,再在三角形中利用這個角解決相關(guān)

問題,但要注意作出的角不一定是已知異面直線所成的角,也可能是其補角,必要時應(yīng)分情況

討論.2|異面直線所成角的應(yīng)用定點如圖,在四面體A-BCD中,AC=BD=a,AC與BD所成的角為60°,M,N分別為AB,CD的中點,

則線段MN的長為

.

典例

或

a解析

取BC的中點E,連接EM,EN,

因為M為AB的中點,所以ME∥AC,且ME=

AC=

,同理,EN∥BD,且EN=