1.半平面:平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分,這兩部分通常稱為半平面.2.二面角:如圖,從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面

角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.將這個(gè)二面角記作二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二

面角P-l-Q或二面角P-AB-Q.

8.6.3平面與平面垂直1|二面角知識(shí)點(diǎn)必備知識(shí)清單破3.二面角的平面角:如圖,在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為垂足,在半平面α和β內(nèi)分

別作垂直于棱l的射線OA和OB,則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.

二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量.范圍:0°≤∠AOB≤180°.當(dāng)∠AOB=90°時(shí),二面

角α-l-β叫做直二面角.一般地,兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.平

面α與β垂直,記作α⊥β,如圖.

2|平面與平面垂直的定義知識(shí)點(diǎn)如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面垂直.如圖,l⊥α,l?β?α⊥β.(線面垂直?面面垂直)

3|平面與平面垂直的判定定理知識(shí)點(diǎn)兩個(gè)平面垂直,如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線,那么這條直線與另

一個(gè)平面垂直.如圖,α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β.(面面垂直?線面垂直)

4|平面與平面垂直的性質(zhì)定理知識(shí)點(diǎn)

1.二面角與平面幾何中的角是一樣的,對(duì)嗎?2.二面角的平面角的大小與角的頂點(diǎn)在棱上的位置有關(guān)系嗎?3.若α⊥β,過(guò)平面α內(nèi)的一點(diǎn)作平面β的垂線,該垂線與平面α有什么位置關(guān)系?4.兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直于另一個(gè)平面嗎?5.如果α⊥β,β⊥γ,那么平面α與平面γ有什么樣的位置關(guān)系?知識(shí)辨析一語(yǔ)破的1.不對(duì).平面幾何中的角是從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線組成的圖形;二面角是從一條直線出發(fā)的兩

個(gè)半平面組成的圖形.二面角的平面角是一個(gè)平面幾何中的角.2.沒(méi)有.二面角的平面角的大小與角的頂點(diǎn)的位置無(wú)關(guān),只與二面角的大小有關(guān).3.該垂線在平面α內(nèi).4.不是.兩個(gè)平面垂直時(shí),在一個(gè)平面內(nèi),只有垂直于交線的直線才垂直于另一個(gè)平面.5.平行或相交.證明面面垂直的常用方法(1)定義法:說(shuō)明兩個(gè)半平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直,即把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直;(3)性質(zhì)法:兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面,則另一個(gè)也垂直于此平面.1|證明面面垂直定點(diǎn)關(guān)鍵能力定點(diǎn)破如圖,△ABC為正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中點(diǎn).求證:(1)DE=DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.

典例

思路點(diǎn)撥

(1)取EC的中點(diǎn)F,連接DF,證明Rt△EFD≌Rt△DBA,從而可得DE=DA.(2)取CA的

中點(diǎn)N,連接MN,BN,可得MN∥BD,從而B(niǎo),D,M,N四點(diǎn)共面,由EC⊥BN,CA⊥BN,可得BN⊥平面

ECA,進(jìn)而得平面BDM⊥平面ECA.(3)由DM∥BN,BN⊥平面ECA可推出DM⊥平面ECA,再由

面面垂直的判定定理得平面DEA⊥平面ECA.證明

(1)如圖,取EC的中點(diǎn)F,連接DF.因?yàn)镋C⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以EC⊥BC.易知DF∥BC,所以DF⊥EC.因?yàn)锽D∥EC,所以BD⊥平面ABC,因?yàn)锳B?平面ABC,所以BD⊥AB.因?yàn)镋F=

EC,EC=2BD,所以EF=BD.又∠DFE=∠DBA=90°,FD=BC=AB,所以Rt△EFD≌Rt△DBA,故DE=DA.(2)如圖,取CA的中點(diǎn)N,連接MN,BN,則MN∥EC,CA⊥BN.因?yàn)镋C∥BD,所以MN∥BD,所以B,D,M,N四點(diǎn)共面.因?yàn)镋C⊥平面ABC,所以EC⊥BN.又EC∩CA=C,EC,CA?平面ECA,所以BN⊥平面ECA.因?yàn)锽N?平面MNBD,所以平面MNBD⊥平面ECA,即平面BDM⊥平面ECA.(3)易知DM∥BN,因?yàn)锽N⊥平面ECA,所以DM⊥平面ECA.又DM?平面DEA,所以平面DEA⊥平面ECA.1.求二面角大小的方法(1)定義法求二面角的平面角的步驟①作:作出二面角的平面角;②證:證明這個(gè)角是二面角的平面角;③求:將作出的角放到三角形中,利用解三角形求出角的大小.(2)射影面積法:若多邊形的面積為S,它在一個(gè)平面內(nèi)的射影圖形的面積為S',且多邊形所在面

與該平面所成的二面角為θ,則cosθ=

.2.作二面角的平面角的常見(jiàn)方法(1)定義法:在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn),過(guò)該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如

圖①,∠AOB為二面角α-l-β的平面角.2|求二面角的大小定點(diǎn)(2)垂面法:過(guò)棱上一點(diǎn)作垂直于棱的平面,該平面與二面角的兩個(gè)半平面各有一條交線,這兩

條交線所成的角即二面角的平面角.如圖②,∠AOB為二面角α-l-β的平面角.(3)垂線法:如圖③,過(guò)二面角的一個(gè)半平面內(nèi)不在棱上的點(diǎn)A向另一個(gè)平面作垂線,垂足為B,

由點(diǎn)B向二面角的棱作垂線,垂足為O,連接AO,則∠AOB為二面角α-l-β的平面角.

如圖,在三棱錐A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O為BD的中點(diǎn).

(1)證明:OA⊥BC;(2)若△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn)E在棱AD上,DE=2EA,且三棱錐A-BCD的體積為

,求二面角E-BC-D的大小.典例解析

(1)證明:因?yàn)锳B=AD,O為BD的中點(diǎn),所以AO⊥BD,因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO?平面ABD,所以AO⊥平面BCD,因?yàn)锽C?平面BCD,所以O(shè)A⊥BC.(2)因?yàn)椤鱋CD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,所以S△OCD=

,則S△BCD=

.因?yàn)锳O⊥平面BCD,所以AO為三棱錐A-BCD的高,則VA-BCD=

S△BCD·OA=

OA=

,所以O(shè)A=1.所以O(shè)C=CD=OD=OB=OA=1,即有OC=

BD,所以CD⊥CB.

因?yàn)锳O⊥平面BCD,所以EF⊥平面BCD,又BC?平面BCD,所以EF⊥BC,因?yàn)镕M⊥BC,FM∩EF=F,FM,EF?平面EFM,所以BC⊥平面EFM,又ME?平面EFM,所以BC⊥ME,則∠EMF為二面角E-BC-D的平面角.因?yàn)镈E=2EA,所以EF=

AO=

,因?yàn)镕M⊥BC,CD⊥CB,所以FM∥CD,作EF⊥BD于F,FM⊥BC于M,連接EM,則AO∥EF,由OA=OD知∠ODA=

,故DF=EF=

,所以BF=

,即

=

,所以FM=

CD=

,從而EF=FM=

,所以∠EMF=

.故二面角E-BC-D的大小為

.1.在立體幾何中經(jīng)常出現(xiàn)“是否存在一點(diǎn)使得線面垂直或面面垂直”的問(wèn)題,對(duì)于此類題目,

一般采用倒推法,把要探索的結(jié)論作為條件,利用垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.2.空間中三種垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化如圖.

3|與垂直有關(guān)的探索性問(wèn)題定點(diǎn)如圖,在△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分別是AC,AD

上的動(dòng)點(diǎn),且

=

=λ(0<λ<1).(1)求證:無(wú)論λ為何值,總有平面BEF⊥平面ABC;(2)是否存在λ∈(0,1),使平面BEF⊥平面ACD?若存在,求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

典例

解析

(1)證明:∵AB⊥平面BCD,CD?平面BCD,∴AB⊥CD.∵BC⊥CD,且AB∩BC=B,AB,BC?平面ABC,∴CD⊥平面ABC.∵

=

=λ(0<λ<1),∴EF∥CD,∴EF⊥平面ABC,∵EF?平面BEF,∴平面BEF⊥平面ABC.∴無(wú)論λ為何值總有平面BEF⊥平面ABC.(2)存在,當(dāng)λ=

時(shí),平面BEF⊥平面ACD.∵EF⊥平面ABC,BE?平面ABC,∴BE⊥EF.若平面BEF⊥平面ACD,則由平面BEF∩平面ACD=EF,BE⊥EF,BE?平面BEF,可得BE⊥平面ACD,又AC?平面ACD,所以BE⊥AC.∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∴BD=

,∵∠ABD=90°,∠ADB=60°,∴AB=

tan60°=

,∴AC=

=

.易得Rt△AEB∽R(shí)t△ABC,∴

=

,解得AE=

,∴λ=

=

.故當(dāng)λ=

時(shí),平面BEF⊥平面ACD.素養(yǎng)解讀線面位置關(guān)系是立體幾何中重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容,也是高考的必考點(diǎn)之一,主要考查線面、面面

平行或垂直關(guān)系的證明.在解決線面位置關(guān)系問(wèn)題時(shí),首先分析圖形與條件,把已知線段的長(zhǎng)度、平行、垂直或相等關(guān)系在圖形中標(biāo)注出來(lái),再結(jié)合定義、定理,綜合結(jié)論尋找解決方法.邏輯推理素養(yǎng)與直觀想象素養(yǎng)是最應(yīng)具備的兩大素養(yǎng),解決線面位置關(guān)系問(wèn)題時(shí),良好的空間想象能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评肀夭豢缮?

|通過(guò)解決線面位置關(guān)系問(wèn)題發(fā)展邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng)素養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)情景破在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E,F分

別是CD,PC的中點(diǎn),求證:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.

典例呈現(xiàn)例題解題思路

(1)因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD,平面PAD∩底面ABCD=AD,PA?平面PAD,PA⊥

AD,所以PA⊥底面ABCD.(利用面面垂直的性質(zhì)定理,實(shí)現(xiàn)面面垂直到線面垂直的轉(zhuǎn)化)(2)因?yàn)锳B∥CD,CD=2AB,E為CD的中點(diǎn),所以AB∥DE,且AB=DE,所以四邊形ABED為平行四邊形,所以BE∥AD.又因?yàn)锽E?平面PAD,AD?平面PAD,所以BE∥平面PAD.(利用線面平行的判定定理,實(shí)現(xiàn)線線平行到線面平行的轉(zhuǎn)化)(3)因?yàn)锳B⊥AD,且四邊形ABED為平行四邊形,所以BE⊥CD,