10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算1|事件的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)必備知識(shí)清單破

定義符號(hào)表示圖示包含關(guān)系一般地,若事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生,我們就稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B?A(或A?B)

相等關(guān)系如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B?A且A?B,則稱事件A與事件B相等A=B

2|交事件與并事件知識(shí)點(diǎn)

定義符號(hào)表示圖示并事件一般地,事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生,這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中,或者在事件B中,我們稱這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A+B)

交事件一般地,事件A與事件B同時(shí)發(fā)生,這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中,也在事件B中,我們稱這樣的一個(gè)事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)

3|互斥事件和對(duì)立事件知識(shí)點(diǎn)

定義符號(hào)表示圖示互斥事件一般地,如果事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生,也就是說A∩B是一個(gè)不可能事件,則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)A∩B=?

對(duì)立事件一般地,如果事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生,那么稱事件A與事件B互為對(duì)立.事件A的對(duì)立事件記為

A∪B=Ω,且A∩B=?

1.怎樣理解事件A與事件B的并(和)事件?2.“事件A與B為互斥事件”是“事件A與B為對(duì)立事件”的什么條件?3.若事件A∪B是必然事件,則事件A和事件B一定是對(duì)立事件,對(duì)嗎?4.從某班任選6名同學(xué)作為志愿者參加市運(yùn)動(dòng)會(huì)服務(wù)工作,記“其中至少有3名女同學(xué)”為事

件A,那么事件A的對(duì)立事件

是什么?5.在一次隨機(jī)試驗(yàn)中,彼此互斥的事件A,B,C,D滿足A+B+C+D是必然事件,則A+C與B+D是互

斥事件,但不是對(duì)立事件.對(duì)嗎?知識(shí)辨析一語破的1.事件A與事件B的并(和)事件即事件A,B至少有一個(gè)發(fā)生,包含A

,AB,

B這三種情形.2.根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念可知,“事件A與B為互斥事件”是“事件A與B為對(duì)立事

件”的必要不充分條件.3.不對(duì).如拋擲一枚硬幣兩次,設(shè)A=“至少一枚正面向上”,B=“至少一枚反面向上”,A∪B=

Ω,但A∩B≠?,因此A,B不一定是對(duì)立事件.4.事件A的對(duì)立事件

是“其中至多有2名女同學(xué)”.5.不對(duì).因?yàn)槭录嗀,B,C,D彼此互斥,且A+B+C+D是必然事件,所以其事件的關(guān)系如圖所示,

由圖可知,A+C與B+D是互斥事件,且是對(duì)立事件,故結(jié)論錯(cuò)誤.1.互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系1|互斥事件與對(duì)立事件的判斷定點(diǎn)關(guān)鍵能力定點(diǎn)破

A與B是互斥事件A與B是對(duì)立事件區(qū)別1包含情況:①A發(fā)生,B不發(fā)生;②B發(fā)生,A不發(fā)生;③A,B都不發(fā)生包含情況:①A發(fā)生,B不發(fā)生;②B發(fā)生,A不發(fā)生區(qū)別2A∪B不一定是必然事件A∪B是必然事件區(qū)別3事件A(或B)的互斥事件可以有多個(gè)事件A(或B)的對(duì)立事件只有一個(gè)聯(lián)系互斥事件和對(duì)立事件在一次試驗(yàn)中都不可能同時(shí)發(fā)生,對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況,即對(duì)立必互斥,但互斥不一定對(duì)立2.從集合的角度理解互斥事件與對(duì)立事件(1)若事件A與B互斥,則集合A∩B=?;(2)若事件A與B對(duì)立,則集合A∩B=?且A∪B=Ω(Ω為全集).從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的袋子內(nèi)任取2個(gè)球,下列選項(xiàng)中是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件

的是

(

)A.“至少有1個(gè)紅球”與“都是黑球”B.“恰好有1個(gè)紅球”與“恰好有1個(gè)黑球”C.“至少有1個(gè)黑球”與“至少有1個(gè)紅球”D.“都是紅球”與“都是黑球”典例D解析

從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的袋子內(nèi)任取2個(gè)球,可能的結(jié)果為1紅1黑、2紅、2黑.對(duì)于A,“至少有1個(gè)紅球”有2種情況:1紅1黑、2紅,與“都是黑球”是對(duì)立事件,不符合題

意;對(duì)于B,“恰好有1個(gè)紅球”和“恰好有1個(gè)黑球”是同一個(gè)事件,不符合題意;對(duì)于C,“至少有1個(gè)黑球”有2種情況:1紅1黑、2黑,“至少有1個(gè)紅球”有2種情況:1紅1黑、

2紅,這兩個(gè)事件不是互斥事件,不符合題意;對(duì)于D,“都是紅球”與“都是黑球”是互斥事件而不是對(duì)立事件,符合題意.故選D.易錯(cuò)警示

題目中出現(xiàn)“至多”和“至少”這樣的字眼時(shí),需要根據(jù)題目條件認(rèn)真分析其包

含的情況.1.利用事件間運(yùn)算的定義,列出同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(可以是樣本點(diǎn),也可

以是具有相同特點(diǎn)的一些樣本點(diǎn)的集合),分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運(yùn)算.2.利用Venn圖,借助集合間運(yùn)算的思想,分析同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果,把這些

結(jié)果在圖中列出,從而進(jìn)行運(yùn)算.2|事件的運(yùn)算方法定點(diǎn)已知隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9},隨機(jī)事件A={2,4,5,8},隨機(jī)事件B={1,

3,5,8},求

,

,

∩

,

∪

.典例1解析

解法一:由題意得A∪B={1,2,3,4,5,8},A∩B={5,8},∵Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9},∴

={6,7,9},

={1,2,3,4,6,7,9},

={1,3,6,7,9},

={2,4,6,7,9},∴

∩

={6,7,9},

∪

={1,2,3,4,6,7,9}.解法二:作出Venn圖,如圖所示,由圖可得,

={6,7,9},

={1,2,3,4,6,7,9},

∩

={6,7,9},

∪

={1,2,3,4,6,7,9}.連續(xù)投擲一枚均勻的硬幣3次,用Ai表示第i(i=1,2,3)次正面朝上,試用文字?jǐn)⑹鱿铝惺录?(1)A1∪A2;(2)A1∪A2∪A3;(3)

A3;(4)

;(5)

;(6)A1A2∪A2A3∪A1A3.典例2解析

(1)A1∪A2表示3次投擲硬幣中,第1次和第2次至少有1次正面朝上.(2)A1∪A2∪A3表示3次投擲硬幣中,至少有1次正面朝上.(3)

A3表示3次