5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值（1）—函數(shù)的極值單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為f′(x).如果f′(x)>0，如果f′(x)<0，如果f′(x)=0，復(fù)習(xí):如果f(x)在(a,b)內(nèi)為增函數(shù)，如果f(x)在(a,b)內(nèi)為減函數(shù)，則f(x)在(a,b)內(nèi)為單調(diào)遞增；則f(x)在(a,b)內(nèi)為單調(diào)遞減；則f(x)在(a,b)內(nèi)為常數(shù)函數(shù)；則f′(x)≥0在(a,b)內(nèi)恒成立；則f′(x)≤0在(a,b)內(nèi)恒成立.探究如圖示，函數(shù)y=f(x)在x=a,b,c,d,e等點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系?y=f(x)在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少?在這些點(diǎn)附近，y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性有什么規(guī)律?以x=a,b兩點(diǎn)為例,可以發(fā)現(xiàn),函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小,f′(a)=0;而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f′(x)<0,右側(cè)f′(x)>0.類似地,函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大,f'(b)=0;而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0.我們把a(bǔ)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值;b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.

極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況，刻畫了函數(shù)的局部性質(zhì).xyOabcde1.下圖是導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象，試找出函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)，并指出哪些是極大值點(diǎn)，哪些是極小值點(diǎn).abxyx1Ox2x3x4x5x6課本P92例5解：x(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,＋∞)f′(x)f(x)xyO-22不一定，例如函數(shù)y=x3在x=0處導(dǎo)數(shù)為0，但x=0不是函數(shù)的極值點(diǎn).注意：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，若x0是極值點(diǎn)，則f

'(x0)=0;

反之，若f

'(x0)=0，則x0不一定是極值點(diǎn).思考3

極大值一定大于極小值嗎?Oax1x2x3x4bxyy=f(x)不一定，如圖中在x1處的極大值就小于x4處的極小值.思考4

導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎？即是

f

′(x0)=0是函數(shù)f(x)在x0處取得極值的_______條件.必要(3)極大值與極小值沒有必然關(guān)系，極大值可能比極小值還小.注意：(1)極值是某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)，不是整體的最值；(2)函數(shù)的極值不一定唯一，在整個(gè)定義區(qū)間內(nèi)可能有多個(gè)極大值和極小值；即f′(x0)=0是函數(shù)f(x)在x0處取得極值的必要條件.(4)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，若x0是極值點(diǎn)，則f

'(x0)=0;

反之，若f

'(x0)=0，則x0不一定是極值點(diǎn).Oa

x0bxy

xx0左側(cè)

x0x0右側(cè)f′(x)

f(x)

Oax0bxy

xx0左側(cè)

x0x0右側(cè)f′(x)

f(x)增f′(x)>0f′(x)=0f′(x)<0極大值減f′(x)<0f′(x)=0增減極小值f′(x)>0判斷f

(x0)是極大值或是極小值的方法：左正右負(fù)為極大，左負(fù)右正為極小左增右減為極大，左減右增為極小解：xf′(x)f(x)課本P92解：x(－∞,－3)－3(－3,3)3(3,＋∞)f′(x)f(x)課本P92解：x(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,＋∞)f′(x)f(x)課本P92解：x(－∞,－1)－1(－1,1)1(1,＋∞)f′(x)f(x)課本P92求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟：(2)

求導(dǎo)數(shù)f

′(x)；(3)

求方程f

′(x)=0的根；(4)

把定義域劃分為部分區(qū)間，并列成表格：檢查f

′(x)在方程根左右的符號(hào)：如果左正右負(fù)（左增右減），那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正（左減右增），那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；(1)確定函數(shù)的定義域；變式1函數(shù)

在

處有極值10，則a，b的值為()

A.

或

B.

或

C.

D.以上都不對(duì)

A，通過驗(yàn)證，都符合要求，故應(yīng)選擇A.

變式2已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1和x=3時(shí)有極值，求a,b的值．利用函數(shù)極值求解函數(shù)零點(diǎn)問題：例題

已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1(a≠0).若函數(shù)f(x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍．解：∵f(x)在x＝－1處取得極值且f′(x)＝3x2－3a，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，解得a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)>0，可得x<－1或x>1；由f′(x)<0，可得－1<x<1.由圖象可知，當(dāng)－3<m<1時(shí)，直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn).∴m的取值范圍是(－3，1).∴f(x)極大值＝f(－1)＝1，f(x)極小值＝f(1)＝－3.作出f(x)的大致圖象及直線y＝m如圖所示，變式已知函數(shù)y＝x3－3x＋c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則c＝_____．解：設(shè)f(x)＝x3－3x＋c，則f′(x)＝3x2－3，

令f′(x)＝0，得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－1，1)上單調(diào)遞減．∴f(x)極大值＝f(－1)，f(x)極小值＝f(1).若函數(shù)y＝x3－3x＋c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則f(1)＝0，或f(－1)＝0，解得c＝2或c＝－2.答案：－2或2注意：函數(shù)極值是在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間內(nèi)定義的，是局部性質(zhì)。因此一個(gè)函數(shù)在其整個(gè)定義區(qū)間上可能有多個(gè)極大值或極小值，并對(duì)同一個(gè)函數(shù)來說，在某一點(diǎn)的極大值也可能小于另一點(diǎn)的極小值。練習(xí)1.

判斷下面4個(gè)命題，其中是真命題序號(hào)為

.

①可導(dǎo)函數(shù)必有極值；

②可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)一定等于零；

③函數(shù)的極小值一定小于極大值

（設(shè)極小值、極大值都存在）；

④函數(shù)的極小值（或極大值）不會(huì)多于一個(gè).②練習(xí)2.

(高考題)已知函數(shù)

在點(diǎn)

處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)

的圖像(如圖)過點(diǎn)(1,0),(2,0),求：(1)的值；(2)a,b,c的值..解：(1)由圖像可知練習(xí)4.(高考題)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a,b)內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有（）個(gè)極小值點(diǎn).(A)1(B)2(C)3

(D)

4

練習(xí)3.

函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有極大值，又有極小值，則a的取值范圍_______________.練習(xí)5.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y′與函數(shù)值和極值之間的關(guān)系為(

)

A.導(dǎo)數(shù)y′由負(fù)變正，則函數(shù)y由減變?yōu)樵?，且有極大值

B.導(dǎo)數(shù)y′由負(fù)變正，則函數(shù)y由增變?yōu)闇p，且有極大值

C.導(dǎo)數(shù)y′由正變負(fù)，則函數(shù)y由增變?yōu)闇p，且有極小值

D.導(dǎo)數(shù)y′由正變負(fù)，則函數(shù)y由增變?yōu)闇p，且有極大值D練習(xí)6.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋2在x＝1時(shí)取得極值．(1)求a的值；

(2)求函數(shù)y＝f(x)在x＝2處的切線方程．解：(1)由已知f′(x)＝3x2＋a，由f′(1)＝0，得a＝－3.(2)由(1)得f′(2)＝9，f(2)＝4，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)，切線斜率為9.∴y＝f(x)在x＝2處的切線方程為9x－y－14＝0.練習(xí)7.a為何值時(shí)，方程x3－3x2－a＝0恰有一個(gè)實(shí)根、兩個(gè)不等實(shí)根、三個(gè)不等實(shí)根，有沒有可能無實(shí)根？解：令f(x)＝x3－3x2，則f(x)的定義域?yàn)镽，由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2，所以當(dāng)x＜0或x＞2時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′(x)＜0.所以函數(shù)f(x)在x＝0處有極大值0，在x＝2處有極小值－4，如圖所示，故當(dāng)a＞0或a＜－4時(shí)，原方程有一個(gè)根；當(dāng)a＝0或a＝－4時(shí)，原方程有兩個(gè)不等實(shí)根；當(dāng)－4＜a＜0時(shí)，原方程有三個(gè)不等實(shí)根；由圖象可知，原方程不可能無實(shí)根．練習(xí)8.(重慶高考)設(shè)?(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的導(dǎo)數(shù)為?′(x)，若函數(shù)y＝?′(x)的圖象關(guān)于直線x＝－對(duì)稱