熱點專題突破：圓錐曲線的光學性質(zhì)一、圓錐曲線的光學性質(zhì)【鏈接教材】選擇性必修一P140閱讀與思考：圓錐曲線的光學性質(zhì)及其應用(1)橢圓的光學性質(zhì):從橢圓一個焦點發(fā)出的光,經(jīng)過橢圓反射后,反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上;(如圖1)(2)雙曲線的光學性質(zhì):從雙曲線一個焦點發(fā)出的光,經(jīng)過雙曲線反射后,反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上;(如圖2)(3)拋物線的光學性質(zhì):從拋物線的焦點發(fā)出的光,經(jīng)過拋物線反射后,反射光線都平行于拋物線的軸.(如圖3)(4)拋物線有如下光學性質(zhì):由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后,沿平行于拋物線對稱軸的方向射出;反之,平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.一、單選題1.（河南省部分名校2023-2024學年高二上學期1月期末考試）橢圓具有如下光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個焦點（如圖）.已知橢圓的左?右焦點分別為，過點的直線與交于點，，過點作的切線，點關于的對稱點為，若，，則（

）注：表示面積.A．2 B． C．3 D．【答案】C【解析】如圖，由橢圓的光學性質(zhì)可得三點共線.設，則.故，解得.又，所以，所以.故選：C.2.費馬原理是幾何光學中的重要原理，可以推導出圓錐曲線的一些光學性質(zhì)，如：點為橢圓（為焦點）上一點，則點處的切線平分外角.已知橢圓為坐標原點，是點處的切線，過左焦點作的垂線，垂足為，則為（

）A． B．2 C．3 D．【答案】A【解析】依題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為，代入得，整理得，由于直線和橢圓相切，則，整理得，所以直線的方程為，對于橢圓，，所以，所以直線的方程為，由解得，所以.故選：A

3．拋物線有如下光學性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，一條平行于x軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線E上的點B反射后，與拋物線E交于點C，若的面積是10，則(

)A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】由題知拋物線焦點為，AB∥x軸，將y=2p代入得x=2p，則B為(2p，2p)，由題可知B、F、C三點共線，BC方程為：，即，代入拋物線方程消去y得，，設方程兩根為，則，則，又到BC：的距離為：，∴由得．故選：D．二、多選題4.湖北省武漢市部分重點中學2023-2024學年高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學12.橢圓有如下的光學性質(zhì)，從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過另一個焦點.現(xiàn)橢圓的焦點在軸上，中心在坐標原點，左、右焦點分別為、.一束光線從射出，經(jīng)橢圓鏡面反射至，若兩段光線總長度為6，且橢圓的離心率為，左頂點和上頂點分別為.則下列說法正確的是（）A.橢圓的標準方程為B.若點在橢圓上，則的最大值為C.若點在橢圓上，的最大值為D.過直線上一點分別作橢圓的切線，交橢圓于，兩點，則直線恒過定點【答案】ACD【解析】一束光線從射出，經(jīng)橢圓鏡面反射至，如下圖所示：所以可得即又橢圓的離心率為，可得，所以，故橢圓方程為，所以正確；由橢圓的定義知，不妨設，，因為，可得所以，當且僅當時等號成立，此時最大為鈍角設為，則，故當時，的最大值為，故錯誤；易得,設點，則當時，，故正確；易知橢圓在點處的切線方程為，證明如下：當切線斜率存在時，設直線與相切與點，聯(lián)立，所以，整理可得，又易知，即，所以整理可得①；又切點在橢圓上，即，整理可得②，聯(lián)立①②，可得即，所以切線方程為，化簡得，經(jīng)檢驗，直線斜率不存在時也符合上式，即橢圓在點處的切線方程為，設，所以橢圓在點處的切線的方程為，在點處的切線的方程為，兩線相交于點，所以可得，即點滿足方程，所以直線方程為，整理可得，令，故直線的方程過定點，故正確，故選：5.如圖，橢圓有這樣的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點．已知橢圓

其左、右焦點分別是，，P為橢圓C上任意一點，直線l與橢圓C相切于點P，過點P與l垂直的直線與橢圓的長軸交于點M，點，若|的最大值為7，則（

）

A．橢圓C的離心率為B．若的內(nèi)切圓半徑為則C．若則D．若垂足為，則【答案】BCD【解析】由，當且僅當三點共線時取得等號，解得，則橢圓方程為，則，A錯誤；

對B，的內(nèi)切圓半徑為，則，解得，根據(jù)對稱性不妨設在第一象限，由，解得，則，則，即，B正確；由橢圓的光學性質(zhì)，得點P與l垂直的直線為角的角平分線，則，則，則，則，則，則,,解得或，當時，，M與O重合，不合題意，所以，即，C正確；對D，如圖，延長交于點，則在中，，則且為中點，在中，，則點在以原點為圓心，2為半徑的圓上，即，D正確.

6．已知雙曲線C的左?右焦點分別為，，雙曲線具有如下光學性質(zhì)：從右焦點發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點，如圖所示.若雙曲線C的一條漸近線的方程為，則下列結論正確的有（

）A．雙曲線C的方程為B．若，則C．若射線n所在直線的斜率為k，則D．當n過點M（8，5）時，光由所經(jīng)過的路程為10【答案】AC【解析】對于A，由題意可知，因為雙曲線C的一條漸近線的方程為，所以，即，所以雙曲線的方程為故A正確；對于B，由，得，解得，在中，，由勾股定理及雙曲線的定義知，，即，解得，故B錯誤；對于C，由題意可知，雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線的性質(zhì)可得射線所在直線的斜率范圍為，故C正確；對于D，由題意可知，，當過點時，由雙曲線定義可得光由所經(jīng)過的路程為，故D錯誤.故選：AC7.用于加熱水和食物的太陽灶應用了拋物線的光學性質(zhì)：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)過拋物面（拋物線繞它的對稱軸旋轉所得到的曲面叫拋物面）反射后，集中于它的焦點.用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線C放在平面直角坐標系中，對稱軸與x軸重合，頂點與原點重合.若拋物線C：的焦點為F，O為坐標原點，一條平行于x軸的光線從點M射入，經(jīng)過C上的點反射，再經(jīng)過C上另一點反射后，沿直線射出，則（

）

A．C的準線方程為B．若點，則C．D．設直線AO與C的準線的交點為N，則點N在直線上【答案】AD【解析】由題意，拋物線，可得焦點，準線方程為，所以A正確；由拋物線的光學性質(zhì)可知，直線經(jīng)過焦點F，且斜率不為0，設直線，聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以，所以C錯誤；若點，則，所以，所以，，所以，所以B錯誤；又由直線，聯(lián)立方程組，解得，由，得，所以，所以點N在直線上，所以D正確.故選：AD.

8.其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線，為坐標原點，一束平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過上的點反射后，再經(jīng)上另一點反射后，沿直線射出，且經(jīng)過點，則（

）A．當，時，延長交直線于點，則、、三點共線B．當，時，若平分，則C．的大小為定值D．設該拋物線的準線與軸交于點，則【答案】ABD【解析】如圖所示：

對A、B選項：由，平行于軸的，當，時，過點，所以，把代入拋物線的方程，解得，即，直線經(jīng)過焦點，直線的方程為，即，聯(lián)立，得，所以，，因為，所以，即點縱坐標為，代入得點橫坐標，直線的方程為，聯(lián)立，解得，所以點坐標為，由光學性質(zhì)可知平行于x軸，則、、三點縱坐標都相同，所以、、三點共線，故A正確；由光學性質(zhì)可知平行于軸，平行于軸，則，有，平分，有，所以，，即，得，故B正確；對C、D選項：設為，、，由消去得：，恒成立，有，，，設，，而，，則，則，而，并不是定值，故C錯誤；直線斜率，直線斜率，即，因此，故D正確.故選：ABD.三、填空題9.圓錐曲線的光學性質(zhì)應用非常廣泛,如圖所示,從雙曲線右焦點F2發(fā)出的光線,通過雙曲線鏡面反射出發(fā)散光線,且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點F1.已知雙曲線的離心率e=5,則當入射光線F2P和反射光線PE互相垂直時(其中P為入射點),cos∠F1F2P=.

【答案】【解析】解析:由e=5得c=5a,b=2a.設|PF2|=m(m>0),則|PF1|=2a+m.所以m2+(2a+m)2=(10a)2,解得m=6a或m=-8a(舍去),所以cos∠F1F2P=.10.拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線：（）焦點為，準線為，為坐標原點，一束平行于軸的光線從點（點在拋物線內(nèi)）射入，經(jīng)過上的點反射后，再經(jīng)過上另一點反射后，沿直線射出，且經(jīng)過點，若直線與拋物線的準線交于點，則直線的斜率為；若，且平分，則.【答案】02【解析】依題意直線過拋物線的焦點.設直線的方程為，，，聯(lián)立方程組得，則，．因為，所以，．因為直線的方程為，所以直線與拋物線的準線的交點為，所以直線的斜率為0．②因為平分，所以，所以．因為，所以，即所以，得．故答案為：①0；②2.四、解答題11．設橢圓：，，分別是橢圓的左、右焦點，在橢圓上.求證：（1）直線：是橢圓在點處的切線；（2）從發(fā)出的光線經(jīng)直線反射后經(jīng)過.【解析】證明：（1）因為在橢圓上，所以，所以P也在直線上．聯(lián)立直線和橢圓方程因為P在橢圓上，所以所以直線l與橢圓相切，又因為，所以直線l是橢圓在點P處的切線．（2）設關于直線的對稱點為，則的中點在直線l上，直線與l垂直，即，，所以三點共線，所以從發(fā)出的光線經(jīng)直線反射后經(jīng)過．12.已知橢圓具有如下光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線射向橢圓上任一點，經(jīng)橢圓反射后必經(jīng)過另一個焦點．若從橢圓的左焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過兩次反射之后回到點，光線經(jīng)過的路程為8，T的離心率為．(1)求橢圓T的標準方程；(2)設，且，過點D的直線l與橢圓T交于不同的兩點M，N，是T的右焦點，且與互補，求面積的最大值．【解析】（1）由橢圓的性質(zhì)可知，左焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過兩次反射之后回到點，光線經(jīng)過的路程為，解得．又橢圓的離心率為，得，所以，故，故橢圓T的標準方程為；（2）由題意得，設，．因為與互補，所以，即，化簡整理，可得，設直線MN的方程為，得．聯(lián)立直線MN與橢圓的方程得，整理得，，可得，則，，所以，解得，故直線MN的方程為．點到直線MN的距離，，，所以，由，可得，，即．記，則，，所以，當且僅當，即，時，等號成立．故面積的最大值為．13.歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年——325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，其中法線表示與橢圓的切線垂直且過相應切點的直線.已知圖乙中，橢圓的中心在坐標原點，焦點為，由發(fā)出的光線經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為.【解析】(1)點是橢圓上除頂點外的任意一點，橢圓在點處的切線為在上的射影滿足，利用橢圓的光學性質(zhì)求橢圓的方程；(2)在:（1）的條件下，設橢圓上頂點為，點為軸上不同于橢圓頂點的點，且，直線分別與橢圓交于點（異于點），，垂足為，求的最小值.【解析】（1）由題知，延長，交于點，在中，，則且為中點，在中，，則，，即橢圓方程為.（2）由對稱性可知直線的斜率不為0，所以可設直線，聯(lián)立直線與，則，①，②所以，令，得點橫坐標，同理可得點橫坐標，故，將代入上式整理得：，將②代入得，若，則直線，恒過不合題意；若，則，恒過，因為直線恒過，且與始終有兩個交點，又，垂足為，所以點軌跡是以為直徑的半圓（不含點，在直線下方部分），圓心，半徑為1，所以，當且僅當點在線段上時，所以的最小值為.14.拋物線具有光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知點為拋物線的焦點，為坐標原點，點在拋物線上，且其縱坐標為，滿足.(1)求拋物線的標準方程；(2)已知平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)過拋物線上另一點，最后沿方向射出，若射線平分，求實數(shù)的值.【解析】（1）由題意可知，拋物線的焦點為，將代入拋物線方程可得，即點，由可得，解得，故拋物線的標準方程為.（2）由題意可知，直線的方程為，由可得，即點，則，直線的方程為，聯(lián)立可得，即點，設直線的傾斜角為，則，由題意可知，，且為銳角，，可得，所以，，因為，可得，解得.15.（浙江省金華東陽市2024屆高三下學期三模T18）已知拋物線：，焦點為F，為上的一個動點，是在點A處的切線，點P在上且與點A不重合．直線PF與Γ交于B、C兩點，且平分直線AB和直線AC的夾角．（1）求的方程（用表示）；（2）若從點F發(fā)出的光線經(jīng)過點A反射，證明：反射光線平行于x軸；（3）若點A坐標為，求點P坐標．【解析】（1）顯然切線l的斜率不為0，設l方程為：，與聯(lián)立得：，由，且，得，解得，∴l(xiāng)的方程為，且，化簡得，也即：．（2）過A點作l的垂線并交x軸于Q點，則AQ直線的方程為，取，解得，即，∵，∴，作A點在拋物線準線上的投