一、從生活到數(shù)學(xué)：分?jǐn)?shù)除法的直觀感知演講人目錄|運(yùn)算類(lèi)型|算式形式|意義|計(jì)算方法|應(yīng)用與深化：分?jǐn)?shù)除法關(guān)系的實(shí)踐檢驗(yàn)分步推導(dǎo)：分?jǐn)?shù)除法的三種類(lèi)型及統(tǒng)一規(guī)律從生活到數(shù)學(xué)：分?jǐn)?shù)除法的直觀感知總結(jié)升華：分?jǐn)?shù)除法關(guān)系的本質(zhì)與思想價(jià)值543212025小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)分?jǐn)?shù)除法關(guān)系課堂推導(dǎo)課件各位同學(xué)，今天我們要一起探索數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的關(guān)系——分?jǐn)?shù)除法的內(nèi)在邏輯。作為陪伴大家走過(guò)四年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的老師，我特別清楚，分?jǐn)?shù)運(yùn)算對(duì)你們來(lái)說(shuō)既是“老朋友”（畢竟已經(jīng)接觸過(guò)分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)乘法），又是“新挑戰(zhàn)”（除法的逆向思維需要更深入的理解）。這節(jié)課，我們將從生活場(chǎng)景出發(fā)，通過(guò)動(dòng)手操作、觀察對(duì)比、歸納總結(jié)，一步步揭開(kāi)分?jǐn)?shù)除法的“神秘面紗”，讓它成為你們解決問(wèn)題的有力工具。01從生活到數(shù)學(xué)：分?jǐn)?shù)除法的直觀感知1從整數(shù)除法到分?jǐn)?shù)除法的自然延伸同學(xué)們，還記得上學(xué)期我們學(xué)過(guò)的“分糖果”問(wèn)題嗎？如果有12顆糖平均分給3個(gè)小朋友，每人分到幾顆？大家異口同聲回答“4顆”，算式是12÷3=4。這里的除法本質(zhì)是“平均分”，也就是已知總數(shù)和份數(shù)，求每份數(shù)。那如果總數(shù)或份數(shù)變成分?jǐn)?shù)，會(huì)發(fā)生什么呢？舉個(gè)生活中的例子：媽媽烤了一個(gè)大蛋糕，把它平均切成5塊（每塊是整個(gè)蛋糕的1/5）?，F(xiàn)在要把其中的3/5塊蛋糕平均分給2個(gè)小朋友，每人能分到多少？這時(shí)候問(wèn)題就變成了“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”——(3/5)÷2。我們可以用畫(huà)圖的方法來(lái)理解：把3/5的蛋糕看成3個(gè)1/5，平均分成2份，每份就是3個(gè)1/5的1/2，也就是(3×1)/(5×2)=3/10。這時(shí)候你們會(huì)發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的結(jié)果，其實(shí)是分?jǐn)?shù)乘以這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)（2的倒數(shù)是1/2）。2用“包含除”理解分?jǐn)?shù)除法的另一層含義除了“平均分”（等分除），除法還有一種含義是“包含除”，即求一個(gè)數(shù)里包含幾個(gè)另一個(gè)數(shù)。比如，有2升果汁，每杯裝1/2升，能倒?jié)M幾杯？這時(shí)候算式是2÷(1/2)。我們可以用實(shí)物演示：1升果汁能倒?jié)M2杯（因?yàn)?÷(1/2)=2），2升就是2×2=4杯，所以2÷(1/2)=4。這里的結(jié)果相當(dāng)于2乘以1/2的倒數(shù)2，也就是2×2=4。這說(shuō)明，無(wú)論是“等分除”還是“包含除”，分?jǐn)?shù)除法都可能與倒數(shù)有關(guān)聯(lián)。過(guò)渡：通過(guò)這兩個(gè)生活場(chǎng)景，我們初步感受到分?jǐn)?shù)除法可能與乘法存在某種轉(zhuǎn)化關(guān)系。接下來(lái)，我們需要更系統(tǒng)地推導(dǎo)這種關(guān)系，從具體到抽象，從特殊到一般。02分步推導(dǎo)：分?jǐn)?shù)除法的三種類(lèi)型及統(tǒng)一規(guī)律分步推導(dǎo)：分?jǐn)?shù)除法的三種類(lèi)型及統(tǒng)一規(guī)律2.1類(lèi)型一：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（a/b÷c，c≠0）我們先從最簡(jiǎn)單的情況入手：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)。以(4/5)÷2為例，用圖形法驗(yàn)證：畫(huà)圖操作：畫(huà)一個(gè)長(zhǎng)方形表示單位“1”，平均分成5份，取其中4份表示4/5?，F(xiàn)在要把這4/5平均分成2份，每份就是4/5的1/2，即(4/5)×(1/2)=2/5。算式觀察：(4/5)÷2=(4÷2)/5=2/5，同時(shí)(4/5)×(1/2)=2/5，兩者結(jié)果相同。推廣驗(yàn)證：再試(6/7)÷3，畫(huà)圖后得到(6/7)×(1/3)=2/7，而直接計(jì)算(6÷3)/7=2/7，結(jié)果一致?？偨Y(jié)規(guī)律：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（0除外），等于分?jǐn)?shù)乘以這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。用字母表示為：(a/b)÷c=(a/b)×(1/c)（c≠0）。分步推導(dǎo)：分?jǐn)?shù)除法的三種類(lèi)型及統(tǒng)一規(guī)律2.2類(lèi)型二：整數(shù)除以分?jǐn)?shù)（a÷(b/c)，b/c≠0）接下來(lái)研究整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，以3÷(1/2)為例，這是我們之前用果汁分杯的例子?，F(xiàn)在用“包含除”的思路深入分析：實(shí)物模擬：1個(gè)單位“1”里包含2個(gè)1/2（因?yàn)?÷(1/2)=2），所以3個(gè)單位“1”里包含3×2=6個(gè)1/2？不對(duì)，之前算的是2÷(1/2)=4，這里3÷(1/2)應(yīng)該是多少？哦，剛才的例子我記錯(cuò)了，正確的例子應(yīng)該是：1升果汁每杯裝1/2升，能倒2杯（1÷(1/2)=2），所以3升果汁就是3×2=6杯，即3÷(1/2)=6。算式轉(zhuǎn)化：3÷(1/2)可以理解為“3里面有幾個(gè)1/2”，因?yàn)?/2×6=3，所以3÷(1/2)=6。而3×2（1/2的倒數(shù)）=6，結(jié)果相同。分步推導(dǎo)：分?jǐn)?shù)除法的三種類(lèi)型及統(tǒng)一規(guī)律再舉反例：5÷(2/3)，即5里面有幾個(gè)2/3？我們可以用乘法驗(yàn)證：2/3×(15/2)=5，所以5÷(2/3)=15/2。同時(shí)5×(3/2)=15/2，結(jié)果一致?？偨Y(jié)規(guī)律：整數(shù)除以分?jǐn)?shù)（0除外），等于整數(shù)乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。用字母表示為：a÷(b/c)=a×(c/b)（b/c≠0）。2.3類(lèi)型三：分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)（(a/b)÷(c/d)，c/d≠0）最難的部分是分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，比如(2/3)÷(1/4)。這時(shí)候需要綜合前兩種情況的思路：轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法：根據(jù)商不變的性質(zhì)，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以除數(shù)的分母的最小公倍數(shù)，消去分母。例如，(2/3)÷(1/4)=(2/3×12)÷(1/4×12)=8÷3=8/3。分步推導(dǎo)：分?jǐn)?shù)除法的三種類(lèi)型及統(tǒng)一規(guī)律用倒數(shù)驗(yàn)證：(2/3)×(4/1)=8/3，與上面結(jié)果一致。一般化推導(dǎo)：設(shè)被除數(shù)為a/b，除數(shù)為c/d（c/d≠0），則(a/b)÷(c/d)=(a/b×d/c)÷(c/d×d/c)=(a/b×d/c)÷1=a/b×d/c。因此，分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)等于被除數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)。實(shí)例驗(yàn)證：(5/6)÷(2/5)=5/6×5/2=25/12，用商不變性質(zhì)驗(yàn)證：(5/6×30)÷(2/5×30)=25÷12=25/12，結(jié)果一致。4三種類(lèi)型的統(tǒng)一：分?jǐn)?shù)除法的通用法則觀察以上三種情況，無(wú)論是分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，還是分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，最終都可以轉(zhuǎn)化為“乘以除數(shù)的倒數(shù)”。這是因?yàn)椋赫麛?shù)可以看作分母為1的分?jǐn)?shù)（如c=c/1，其倒數(shù)為1/c）；分?jǐn)?shù)的倒數(shù)就是分子分母交換位置（如c/d的倒數(shù)是d/c）；除法的本質(zhì)是“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾”或“求包含關(guān)系”，而倒數(shù)的引入恰好將除法轉(zhuǎn)化為更熟悉的乘法運(yùn)算。過(guò)渡：通過(guò)三種類(lèi)型的推導(dǎo)，我們已經(jīng)找到了分?jǐn)?shù)除法的核心規(guī)律——除以一個(gè)數(shù)（0除外）等于乘以它的倒數(shù)。但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能停留在“知道”，還要“理解”和“應(yīng)用”。接下來(lái)，我們需要用這個(gè)規(guī)律解決實(shí)際問(wèn)題，并深化對(duì)分?jǐn)?shù)除法關(guān)系的理解。03應(yīng)用與深化：分?jǐn)?shù)除法關(guān)系的實(shí)踐檢驗(yàn)1基礎(chǔ)練習(xí)：直接應(yīng)用法則計(jì)算設(shè)計(jì)一組題目，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，幫助學(xué)生鞏固法則：第一組（分?jǐn)?shù)除以整數(shù)）：(3/8)÷6，(5/9)÷10，(7/12)÷4；第二組（整數(shù)除以分?jǐn)?shù)）：8÷(2/3)，15÷(5/7)，6÷(3/4)；第三組（分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)）：(4/5)÷(2/3)，(9/10)÷(3/5)，(7/8)÷(7/16)。教學(xué)觀察：在巡視過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)部分同學(xué)容易忘記“0不能作除數(shù)”，或者在找倒數(shù)時(shí)出錯(cuò)（比如把2/3的倒數(shù)寫(xiě)成3/2是對(duì)的，但把5的倒數(shù)寫(xiě)成1/5后，計(jì)算5÷(2/3)時(shí)可能錯(cuò)誤地寫(xiě)成5×(2/3)）。這時(shí)候需要強(qiáng)調(diào)：“除數(shù)的倒數(shù)”是關(guān)鍵，必須先確定除數(shù)，再找它的倒數(shù)。2解決問(wèn)題：聯(lián)系生活實(shí)際數(shù)學(xué)的價(jià)值在于解決問(wèn)題，我們來(lái)看幾個(gè)實(shí)際場(chǎng)景：場(chǎng)景1：分水果：小明有3/4千克草莓，要平均分給6個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友分到多少千克？算式：(3/4)÷6=3/4×1/6=1/8（千克）。場(chǎng)景2：工程問(wèn)題：一臺(tái)機(jī)器每小時(shí)能加工1/5噸鋼材，加工2噸鋼材需要多少小時(shí)？算式：2÷(1/5)=2×5=10（小時(shí)）。場(chǎng)景3：比例問(wèn)題：調(diào)配一種飲料，果汁與水的比例是2/3:1，現(xiàn)有4/5升果汁，需要加多少升水？算式：(4/5)÷(2/3)=4/5×3/2=6/5（升）。教學(xué)互動(dòng)：在討論場(chǎng)景3時(shí)，有同學(xué)問(wèn)：“為什么是果汁除以比例中的果汁部分？”這時(shí)候需要解釋?zhuān)罕壤?/3:1表示果汁是2/3份，水是1份，所以1份水對(duì)應(yīng)2/3份果汁，求4/5升果汁對(duì)應(yīng)的水，就是求4/5里有幾個(gè)2/3份，即(4/5)÷(2/3)。這種提問(wèn)說(shuō)明學(xué)生在嘗試用除法的“包含除”意義理解問(wèn)題，是思維深化的表現(xiàn)。3對(duì)比辨析：分?jǐn)?shù)除法與乘法的關(guān)系為了避免混淆，我們需要明確分?jǐn)?shù)乘法與除法的區(qū)別和聯(lián)系：04|運(yùn)算類(lèi)型|算式形式|意義|計(jì)算方法||運(yùn)算類(lèi)型|算式形式|意義|計(jì)算方法|1|----------------|----------------|------------------------------|--------------------------|2|分?jǐn)?shù)乘法|(a/b)×c或(a/b)×(c/d)|求一個(gè)數(shù)的幾分之幾|分子乘分子，分母乘分母|3|分?jǐn)?shù)除法|(a/b)÷c或a÷(b/c)或(a/b)÷(c/d)|已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)；或平均分、包含除|除以一個(gè)數(shù)（0除外）等于乘以它的倒數(shù)|4關(guān)鍵總結(jié)：乘法是“求部分”，除法是“求整體”或“求份數(shù)”，兩者通過(guò)倒數(shù)互為逆運(yùn)算。例如，已知一個(gè)數(shù)的2/3是6，求這個(gè)數(shù)，算式是6÷(2/3)=9，而驗(yàn)證時(shí)用9×(2/3)=6，正好對(duì)應(yīng)。05總結(jié)升華：分?jǐn)?shù)除法關(guān)系的本質(zhì)與思想價(jià)值1知識(shí)層面：從具體到抽象的規(guī)律提煉通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，我們經(jīng)歷了“生活實(shí)例→操作驗(yàn)證→歸納規(guī)律→應(yīng)用拓展”的完整過(guò)程，得出了分?jǐn)?shù)除法的通用法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。這個(gè)法則適用于所有分?jǐn)?shù)除法的情況（分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)），因?yàn)檎麛?shù)可以看作分母為1的分?jǐn)?shù)，其倒數(shù)就是1/整數(shù)。2思維層面：轉(zhuǎn)化思想的重要性在推導(dǎo)過(guò)程中，我們始終在做一件事——將未知的分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為已知的分?jǐn)?shù)乘法。這種“轉(zhuǎn)化思想”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最核心的思維方法之一，就像我們之前學(xué)過(guò)的“異分母分?jǐn)?shù)加減法轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)加減法”“小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法”一樣，通過(guò)找到新舊知識(shí)的聯(lián)系，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。3情感層面：數(shù)學(xué)規(guī)律的簡(jiǎn)潔與統(tǒng)一當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)三種不同類(lèi)型的分?jǐn)?shù)除法最終都可以用“乘以倒數(shù)”統(tǒng)一解決時(shí)，是不是感受到了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美？這種“統(tǒng)一規(guī)律”的發(fā)現(xiàn)，