第28講妙用圓錐曲線三種定義解決圓錐曲線問題【典型例題】例1．（2024·廣東·一模）已知直線與橢圓在第一象限交于P，Q兩點，與軸，軸分別交于M，N兩點，且滿足，則的斜率為.【答案】/【解析】如圖所示，不妨設(shè)P在Q的左側(cè)，取的中點，設(shè)，則，可得直線的斜率，直線的斜率，因為在橢圓上，則，兩式相減得，整理得，即，可知，因為在內(nèi)單調(diào)遞增，由可得，即，整理得，可知為的中點，則，可知，結(jié)合可得，且，則，檢驗符合題意，所以直線的斜率為.故答案為：.例2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知圓錐曲線統(tǒng)一定義為“平面內(nèi)到定點F的距離與到定直線l的距離（F不在l上）的比值e是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線”．過雙曲線的左焦點的直線l（斜率為正）交雙曲線于A，B兩點，滿足．設(shè)M為AB的中點，則直線OM斜率的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可知在左支上在右支上，如圖，設(shè)，在左準線上的射影為，因為，則，所以，設(shè)，則，所以，，即，所以，所以，當且僅當即時，等號成立，故選：C.例3．（2024·云南·三模）在3世紀，古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯編》中完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義.他指出，到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線；當是地，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由方程，可得，顯然即，所以，即，可得動點到定點和到定直線的距離比為常數(shù)，要使得方程表示的曲線是雙曲線，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B.例4．（2024·貴州黔西·一模）在正方體中，點為平面內(nèi)的一動點，是點到平面的距離，是點到直線的距離，且（為常數(shù)），則點的軌跡不可能是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】A【解析】由條件作出正方體，并以為原點，直線、和分別為、和軸建立空間直角坐標系，如圖所示：設(shè)正方體的棱長為（），點，所以得，，由，得，所以，即①（），當時，①式化得：，此時，點的軌跡是拋物線；當時，①式化得：，即，②，當時，，則②式，是雙曲線的方程，即點的軌跡為雙曲線；當時，，則②式，是橢圓的方程，即點的軌跡為橢圓；故選：A.例5．（2024·高三·全國·課時練習(xí)）已知橢圓的左準線為l，左、右焦點分別為、，拋物線的準線也為l，焦點是，與的一個交點為點P，則的值等于（

）A． B． C．4 D．8【答案】B【解析】橢圓中，，，，因此左準線的方程為即，又，設(shè)到準線的距離為，由是拋物線上的點得，由是橢圓上的點得，且，解得．故選：B．例6．（2024·江西鷹潭·一模）已知橢圓：的左焦點為，如圖，過點作傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點，為線段的中點，若（為坐標原點），則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，橢圓的左焦點為，，過作軸，垂足為，由，得，，則，設(shè)，則有，，由，兩式相減得，則有，所以.故選：B.例7．（2024·上海楊浦·一模）已知拋物線的焦點為，第一象限的、兩點在拋物線上，且滿足，.若線段中點的縱坐標為4，則拋物線的方程為.【答案】【解析】設(shè)，因為，所以，所以，又因為，所以，因為都在第一象限，所以，又因為且，所以，所以，所以拋物線方程為，故答案為：.例8．（2024·浙江寧波·一模）已知A，B為橢圓上兩個不同的點，F(xiàn)為右焦點，，若線段AB的垂直平分線交x軸于點T，則．【答案】【解析】取橢圓方程為，，直線方程為（橢圓右準線），橢圓上點，右焦點，設(shè)點到直線的距離為d，則，所以，因為本題橢圓離心率:，設(shè)由焦半徑公式:得:,即中點，，則垂直平分線斜率為根據(jù)點在橢圓上，則有，，作差化簡得，則線段的垂直平分線方程為,代入得:,即,則.故答案為：.例9．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知是橢圓上的動點，，分別是其左右焦點，是坐標原點，則的取值范圍是．【答案】【解析】設(shè)的坐標為，橢圓中，，，，所以橢圓的準線方程為，即，作出橢圓的右準線，設(shè)在右準線上的射影為，連接，根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得，，同理可得，，點在橢圓上，得，，由此可得，得，即，當時，當時，所以，所以所以，．故答案為：【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·高三·全國·對口高考）若實數(shù)、、使得函數(shù)的三個零點分別為橢圓、雙曲線、拋物線的離心率、、，則、、的一種可能取值依次為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知，，，，設(shè)，所以，，且，故滿足條件的為C選項.故選：C.2．（2024·高三·遼寧沈陽·期中）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明．經(jīng)過了500年，到了3世紀，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進行了證明．他指出，到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡叫做圓錐曲線；當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線．現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由方程，，得，則，則，可得動點到定點和定直線的距離之比為常數(shù)，由雙曲線得定義可得，解得.故選：A.3．（2024·高二·浙江杭州·期中）已知橢圓的右焦點和上頂點分別為點和點A，直線交橢圓于P，Q兩點，若F恰好為的重心，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，的中點為點，，兩式相減得，化解得，即，得，所以，，，由F恰好為的重心，則，即，得，，即，，所以，則，平方后得，，即，解得：或，由條件，得，即，得，所以.故選：A4．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知直線與雙曲線交于兩點，點是弦的中點，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【解析】設(shè)，則，且，所以，整理得到：，因為是弦的中點，所以，所以即所以，故選：A.二、多選題5．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，左，右焦點分別為，，過且傾斜角為的直線與橢圓C交于A，B兩點（點A在第一象限），P是橢圓C上任意一點，則（

）A．a(chǎn)，b滿足 B．的最大值為C．存在點P，使得 D．【答案】ABD【解析】A選項，因為C的離心率，所以，，解得，故A對；B選項，由題意得，設(shè)，則，，因為，，所以，，則，故B對；C選項，設(shè)，，，，則，當且僅當時，等號成立，由于在上單調(diào)遞減，當點P在短軸端點時，最大，且此時，故此時，故C錯；D選項，法一：直線方程為，即，與橢圓方程聯(lián)立得，因為，所以，，故，故D對.法二：據(jù)橢圓第二定義易知：，其中，即，解得，同理可得.所以成立，故D對.故選：ABD6．（2024·高二·遼寧大連·期末）橢圓的左右焦點分別為，若P，Q為橢圓C上兩點，命題p：橢圓C的離心率．則下列說法正確的是（

）A．命題a：到定直線的距離與的比值為定值，則命題a是命題p的充要條件．B．命題b：的最大值等于，則命題b是命題p的必要不充分條件．C．命題c：，中點的橫坐標最大值為，則命題c是命題p的充分條件．D．命題d：，的垂直平分線交x軸于T，，則命題d是命題p的必要條件．【答案】AC【解析】命題成立，即，解得，橢圓，，焦點坐標，準線方程為：.命題中定直線即為橢圓的右準線，到定直線的距離與的比值為定值，即為到右焦點的距離與到右準線的距離之比為，即橢圓的離心率，故命題是命題的充要條件，故正確.當命題成立時，取，此時，命題錯誤，故命題b不是命題p的必要條件，故錯誤；當命題c：，中點的橫坐標最大值為成立時，①若與軸垂直時中點橫坐標取到最大值1，則在橢圓上，代入得，解得，從而.②若與軸不垂直時，其中點的橫坐標的最大值為1.設(shè)線段的中點為，根據(jù)到右準線的距離是到右準線的距離的平均值，等于到，若即時，則當經(jīng)過右焦點時取得最小值，此時的橫坐標最大，此時，解得,從而右焦點坐標，過右焦點垂直于軸的弦長等于通徑，由通徑是過右焦點的最短的弦，因此此時必須垂直于軸，與設(shè)定矛盾.若，設(shè)在右準線上的垂足分別為，則四邊形為梯形，的中點到準線的距離的最小值為，此時垂直軸，與設(shè)定矛盾.故必然是若與軸垂直時中點橫坐標取到最大值1的情況，得到，從而命題c是命題p的充分條件，故C正確；當平行于軸時，由橢圓的對稱性可知，其垂直平分線即軸，交軸與坐標原點，故命題d不是命題p的必要條件，故錯誤.故選：AC7．（2024·山東濟南·一模）（多選）在平面直角坐標系中，由直線上任一點P向橢圓作切線，切點分別為A，B，點A在x軸的上方，則（）A．恒為銳角 B．當垂直于x軸時，直線的斜率為C．的最小值為4 D．存在點P，使得【答案】ABD【解析】對于A項，設(shè)切線方程為聯(lián)立得：，∵直線與橢圓相切，故則，∴切線PA的方程為，同理切線PB的方程為，而P點在上，故，又滿足該方程組，故，顯然過定點，即橢圓左焦點.以為直徑的圓半徑最大無限接近，但該圓與一直相離，即始終為銳角，A正確；對于B項，由A得，軸時，，易得，，故B正確；對于C項，由B知軸時，，此時，故C錯誤；對于D項，取中點，若，則，即為等腰三角形，，化簡得，由A知：，整理得：，顯然存在P滿足題意，故D正確；故選：ABD.8．（2024·高三·浙江·期中）人教A版選擇性必修第一冊在橢圓章節(jié)的最后《用信息技術(shù)探究點的軌跡：橢圓》中探究得出橢圓（）上動點到左焦點的距離和動點到直線的距離之比是常數(shù).已知橢圓：，為左焦點，直線：與軸相交于點，過的直線與橢圓相交于，兩點（點在軸上方），分別過點，向作垂線，垂足為，，則（

）A． B．C．直線與橢圓相切時， D．【答案】ABD【解析】對A：由條件知：，故，故A正確；對D：作軸于，則，，所以，故D正確；對B：同D知：，因為，所以，所以，即平分，由角平分線性質(zhì)知即，故B正確；對C：下面證明當且僅當時與橢圓相切，因為，所以時當且僅當，此時點是唯一的，故與橢圓相切當時，，滿足條件的有兩個，即點有兩個，此時與橢圓相交，故當且僅當時與橢圓相切，此時，故C錯誤.故選：ABD9．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知分別為橢圓的左、右焦點，直線過的一個焦點和一個頂點，且與交于兩點，則（

）A．的周長為8B．的面積為C．該橢圓的離心率為D．若點為上一點，設(shè)到直線的距離為，則【答案】ACD【解析】由題意知，橢圓焦點在軸上，直線過橢圓的一個焦點和一個頂點，故直線與軸的交點為右焦點，與軸的交點為為頂點，設(shè)為，所以，則，所以橢圓的方程為．對于A，由橢圓的定義，所以的周長為，故A正確．對于B，由消得，，解得，或，由，則，代入直線，，故點坐標為，所以的面積，故B錯誤．對于C，因為，所以的離心率，故C正確．對于D，設(shè)，則．因為，所以，則，故D正確．故選：ACD．10．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）設(shè)，為橢圓：的兩個焦點，為上一點且在第一象限，為的內(nèi)心，且內(nèi)切圓半徑為1，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】如下圖所示，設(shè)切點為，，，對于A，由橢圓的方程知：，由橢圓的定義可得：，易知，所以，所以，故A正確；對于BCD，，又因為，解得：，又因為為上一點且在第一象限，所以，解得：，故B正確；從而，所以，所以，而，所以，故C錯誤；從而，故D正確.故選:ABD．11．（2024·高二·江西南昌·階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明．經(jīng)過了500年，到了3世紀，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進行了證明，他指出，到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線；當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線．現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則實數(shù)的取值可能為（

）A． B．3 C． D．4【答案】AB【解析】表示的曲線是雙曲線，表示平面內(nèi)一點到定點的距離與到直線的距離之比，根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義有，，故選：AB．三、填空題12．（2024·高三·河南·競賽）某宇宙飛船的運行軌道是以地球中心F為焦點的橢圓，測得近地點A距離地面m（km），遠地點B距離地面n（km），地球半徑為R（km），關(guān)于這個橢圓有以下四種說法：①焦距長為n－m；②短軸長為；③離心率；④若以AB方向為x軸正方向，F(xiàn)為坐標原點，則與F對應(yīng)的準線方程為，其中正確的序號為.【答案】①③④【解析】由題意n＋R＝a＋c，m＋R＝a－c，對于①，可解得n－m＝2c，故①正確；對于②，由n＋R＝a＋c，m＋R＝a－c，得，，∴，故此命題不對；對于③，由②知，故此命題正確；對于④，由于左焦點在原點，故左準線方程為，此命題正確.綜上知①③④正確故答案為：①③④13．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知F1、F2是橢圓5x2+9y2＝45的左右焦點，點P是此橢圓上的一個動點，A（1，1）為一個定點，則|PA|+|PF1|的最大值為，的最小值為.【答案】//3.5【解析】將橢圓化為標準方程的，根據(jù)橢圓的第一定義：|PA|+|PF1|＝|PA|+2a﹣|PF2|∴|PA|+|PF1|取得最大值時，即|PA|﹣|PF2|最大，如圖所示：，當P，A，F(xiàn)2共線時取得最大值.∴|PA|+|PF1|的最大值為：∵∴即為：∴根據(jù)橢圓的第二定義：過A作右準線的垂線，交于B點，如圖則的最小值為|AB|∵

∴的最小值為：故答案為：；14．（2024·湖南·高考真題）已知橢圓的右焦點為F，右準線為，離心率．過頂點作，垂足為，則直線的斜率等于．【答案】/0.5【解析】因為橢圓方程為，所以，右準線為，如圖，又因為，，垂足為，所以，因為，所以，，即，所以.故答案為：.15．（2024·高三·全國·開學(xué)考試）雙曲線C：的右準線l：，l與C的漸近線的一個交點為，則C的方程為．【答案】【解析】的漸近線為，當時，，所以，又準線方程為，解得，，所以C的方程為．故答案為：16．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知橢圓內(nèi)有一點，是橢圓的右焦點，點在橢圓上，則的最小值是，此時點的坐標為．【答案】3【解析】由橢圓的方程，可知，，，所以，右準線．如圖，設(shè)在右準線上的射影為，根據(jù)橢圓的第二定義，有，即，所以．顯然，當、、三點共線時，有最小值，即．此時，將代入橢圓的方程得或（舍去），所以．故答案為：；.17．（2024·高三·黑龍江·階段練習(xí)）過橢圓的左焦點F作直線交橢圓于兩點，若，且直線傾斜角為，則橢圓的離心率.【答案】【解析】作出準線與軸交點為，過準線的垂線，垂足分別為，過作，垂足為，設(shè)，因為，則，又因為的傾斜角為，所以，則，又由橢圓的第二定義，可得，所以，解得，故橢圓的離心率為.故答案為：.18．（2024·高三·江蘇·專題練習(xí)）已知O為坐標原點，點在橢圓C：上，直線l：與C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M，直線OM的斜率為，則C的方程為.【答案】【解析】設(shè)，則∵在橢圓上，則兩式相減得，整理得∴，即，則又∵點在橢圓C：上，則聯(lián)立解得∴橢圓C的方程為故答案為：19．（2024·福建龍巖·一模）斜率為的直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的一點，且滿足，點分別是的重心，點是的外心.記直線的斜率分別為，若，則橢圓的離心率為.【答案】【解析】取的中點，依題意，點是中點，點分別在上，設(shè)，由兩式相減得，直線斜率，直線斜率，則，直線的斜率分別為，同理，又，因此，解得，所以橢圓的離心率.故答案為：20．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)是橢圓上不關(guān)于坐標軸對稱的兩點，是線段的中點，是坐標原點，若直線與直線的斜率之積為，則橢圓的離心率為.【答案】/【解析】設(shè)點，則，把，的坐標代入橢圓方程可得:，兩式作差可得：，即，所以，即，所以橢圓的離心率為，故答案為：.21．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓：的中心為，為左焦點，為橢圓上頂點，直線與橢圓的另一個交點為，線段的中點坐標為，則橢圓的離心率為【答案】/【解析】由題意設(shè)，，，則，兩式相減可得：，因為：，，所以即直線斜率為，又直線斜率為，所以，即，由，得，即，得，得.故答案為：22．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線，直線與雙曲線交于兩點