【第29講：復(fù)數(shù)】【新高考課標(biāo)要求】1.理解復(fù)數(shù)基本概念：需透徹認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)的定義，明晰形如（）的數(shù)即為復(fù)數(shù)，其中是實(shí)部、是虛部，且為虛數(shù)單位，滿(mǎn)足。這要求學(xué)生能精準(zhǔn)辨別復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，理解純虛數(shù)（且）、實(shí)數(shù)（）等特殊復(fù)數(shù)類(lèi)型的概念差異。比如面對(duì)復(fù)數(shù)，能迅速指出實(shí)部是，虛部是；看到，知道它是純虛數(shù)，實(shí)部為。2.掌握復(fù)數(shù)相等條件：要深刻理解復(fù)數(shù)相等的充要條件，即當(dāng)且僅當(dāng)且（）。在解題中，若遇到等式，學(xué)生應(yīng)能依據(jù)該條件列出方程組求解。這一知識(shí)點(diǎn)常與方程、函數(shù)等知識(shí)結(jié)合，考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力。3.明晰復(fù)數(shù)代數(shù)表示與幾何意義：一方面，要熟悉復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法，能夠熟練進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)形式書(shū)寫(xiě)與轉(zhuǎn)換；另一方面，要理解復(fù)數(shù)的幾何意義，知曉復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)以及平面向量存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的向量從原點(diǎn)出發(fā)，終點(diǎn)坐標(biāo)為。這有助于學(xué)生從幾何直觀角度理解復(fù)數(shù)運(yùn)算，如復(fù)數(shù)的加法對(duì)應(yīng)向量的加法，在復(fù)平面上體現(xiàn)為向量的平移。4.熟練進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式四則運(yùn)算：涵蓋復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算。加法和減法運(yùn)算遵循實(shí)部與實(shí)部相加減、虛部與虛部相加減的規(guī)則，即。乘法運(yùn)算類(lèi)比多項(xiàng)式乘法，但要注意的運(yùn)用，如。除法運(yùn)算則需將分母實(shí)數(shù)化，通過(guò)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)，如（）。學(xué)生需通過(guò)大量練習(xí)，提升運(yùn)算的準(zhǔn)確性與速度。5.了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算幾何意義：復(fù)數(shù)加法的幾何意義是，兩個(gè)復(fù)數(shù)相加對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)相應(yīng)向量的加法，其和對(duì)應(yīng)的向量是以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線（從共同起點(diǎn)出發(fā)）；復(fù)數(shù)減法的幾何意義是，兩個(gè)復(fù)數(shù)相減對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)相應(yīng)向量的減法，差對(duì)應(yīng)的向量是從減數(shù)向量的終點(diǎn)指向被減數(shù)向量的終點(diǎn)。例如，已知復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的向量可由與通過(guò)平行四邊形法則得到，對(duì)應(yīng)的向量則是從指向?！局R(shí)梳理】一、復(fù)數(shù)核心知識(shí)梳理（緊扣高考高頻考點(diǎn)）1.復(fù)數(shù)的基本概念（高考基礎(chǔ)送分點(diǎn)） 定義：形如（）的數(shù)稱(chēng)為復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，滿(mǎn)足。 實(shí)部：（必須為實(shí)數(shù)，不可含）； 虛部：（同樣為實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位的系數(shù)，不含）。 分類(lèi)： 實(shí)數(shù)：（如，可表示為）； 純虛數(shù)：且（如，不可忽略的條件）； 非純虛數(shù)的虛數(shù)：且（如）。2.復(fù)數(shù)的相等與共軛（高考?？挤匠糖蠼猓?相等條件：對(duì)任意復(fù)數(shù)，（），且。 核心應(yīng)用：通過(guò)實(shí)部、虛部分離列方程組，求解復(fù)數(shù)中的參數(shù)（如已知，得，解得，）。 共軛復(fù)數(shù)：設(shè)，則其共軛復(fù)數(shù)為（實(shí)部不變，虛部變號(hào)）。 幾何特征：復(fù)平面內(nèi)，與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)； 運(yùn)算性質(zhì)：（實(shí)數(shù)），（純虛數(shù)或零），（高考高頻，常用于分母實(shí)數(shù)化或求模長(zhǎng)）。3.復(fù)數(shù)的幾何意義（高考多選題?？迹?一一對(duì)應(yīng)關(guān)系： 復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)（橫軸為實(shí)軸，縱軸為虛軸，原點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)）； 復(fù)數(shù)平面向量（為原點(diǎn)）。 模長(zhǎng)的幾何意義： 復(fù)數(shù)的模，表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，或向量的長(zhǎng)度； 兩點(diǎn)距離：復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，則（高考常結(jié)合圓、線段等幾何圖形考查）。4.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（高考必考運(yùn)算題） 加法：（實(shí)部相加，虛部相加）； 減法：（實(shí)部相減，虛部相減）； 乘法：類(lèi)比多項(xiàng)式乘法，結(jié)合化簡(jiǎn)： 特殊公式：（共軛復(fù)數(shù)乘積，即模長(zhǎng)平方），（高考高頻，需熟記）； 除法：核心是分母實(shí)數(shù)化，乘以分母的共軛復(fù)數(shù)： 5.復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義（高考偶爾結(jié)合向量考查） 加法：復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的向量為，遵循平行四邊形法則（以，為鄰邊，對(duì)角線即為和向量）； 減法：復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的向量為（從對(duì)應(yīng)點(diǎn)指向?qū)?yīng)點(diǎn)的向量）。二、常用結(jié)論（高考真題高頻調(diào)用）1.虛數(shù)單位的冪次循環(huán)：，，，，周期為，即（，）。 示例：，（高考?？贾笖?shù)化簡(jiǎn)）。2.常見(jiàn)復(fù)數(shù)運(yùn)算結(jié)果： （分子分母同乘，得）； （分母實(shí)數(shù)化：）； （同理推導(dǎo)，與上式互為相反數(shù)）。3.模長(zhǎng)的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)任意復(fù)數(shù)，，有： ； （）； （）。4.共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：，，（）。三、微點(diǎn)提醒（高考易錯(cuò)點(diǎn)規(guī)避）1.虛部的概念誤區(qū)：復(fù)數(shù)的虛部是（實(shí)數(shù)），而非。例如，的虛部是，不是（高考選擇題常設(shè)置此陷阱）。2.純虛數(shù)的條件遺漏：判斷純虛數(shù)時(shí)，需同時(shí)滿(mǎn)足“實(shí)部為”且“虛部不為”。例如，為純虛數(shù)，需，解得，不可僅由得（模擬題高頻易錯(cuò)點(diǎn)）。3.復(fù)平面與直角坐標(biāo)系的區(qū)別：復(fù)平面的縱軸是虛軸，單位為，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的虛部；直角坐標(biāo)系的縱軸是軸，單位為，二者不可混淆。例如，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，而非直角坐標(biāo)系中的向量。4.除法運(yùn)算的分母不為零：進(jìn)行復(fù)數(shù)除法時(shí)，需先判斷分母是否為零（即分母的實(shí)部、虛部不同時(shí)為零）。例如，無(wú)意義，因分母對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)不能作為除數(shù)。5.模長(zhǎng)的非負(fù)性：復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)是實(shí)數(shù)且非負(fù)，計(jì)算時(shí)需注意根號(hào)下的表達(dá)式為平方和（恒正），例如，不可遺漏負(fù)號(hào)的平方?！菊n前自測(cè)】【真題體驗(yàn)】一、單選題1．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）（

）A． B．1 C． D．2．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）（

）A．1 B．2 C． D．54．（2007·陜西·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）若，則（

）A． B． C．10 D．6．（2025·北京·高考真題）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（

）A． B． C．4 D．8二、填空題7．（2025·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，則．8．（2024·天津·高考真題）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)．9．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則的最小值是．10．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知虛數(shù)，其實(shí)部為1，且，則實(shí)數(shù)為．題型題型分類(lèi)知識(shí)講解與?？碱}型【考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的相關(guān)概念】【例題】1．（24-25高一下·陜西渭南·期末）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．2．（2025·云南玉溪·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的虛部為（

）A． B． C． D．【針對(duì)訓(xùn)練】3．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（其中i是虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（

）A．的實(shí)部是B．C．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限D(zhuǎn)．與在復(fù)平面內(nèi)它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)4．（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）下列有關(guān)復(fù)數(shù)的說(shuō)法中（其中i為虛數(shù)單位），正確的是（

）A．B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為4C．若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則的最大值為2D．若是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則5．（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)滿(mǎn)足：，則（

）A． B．6 C． D．【解題策略】一、復(fù)數(shù)基本概念（實(shí)部、虛部、分類(lèi)）解題思路1.核心考點(diǎn)與解題步驟 考點(diǎn)1：識(shí)別實(shí)部與虛部 解題步驟：①明確復(fù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式（），若復(fù)數(shù)非標(biāo)準(zhǔn)形式（如含、分母含），先化簡(jiǎn)為；②直接提取實(shí)部（不含的實(shí)數(shù)部分）、虛部（的系數(shù)，且為實(shí)數(shù)）。 適配場(chǎng)景：題目直接要求求復(fù)數(shù)的實(shí)部/虛部，或結(jié)合實(shí)部、虛部求參數(shù)（如“已知的實(shí)部為，求”）。 考點(diǎn)2：復(fù)數(shù)分類(lèi)（實(shí)數(shù)、純虛數(shù)、虛數(shù)） 解題步驟：①先將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式（）；②按分類(lèi)條件判斷： 實(shí)數(shù)：滿(mǎn)足； 純虛數(shù)：滿(mǎn)足且（需同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件，缺一不可）； 虛數(shù)：滿(mǎn)足（包含純虛數(shù)與非純虛數(shù)的虛數(shù)）。 適配場(chǎng)景：題目明確要求判斷復(fù)數(shù)類(lèi)型，或已知復(fù)數(shù)類(lèi)型求參數(shù)（如“已知為純虛數(shù)，求”）。2.避錯(cuò)關(guān)鍵 虛部不可帶：如的虛部是，而非； 純虛數(shù)需“雙條件”：不可僅由“實(shí)部為”判定為純虛數(shù)，需額外驗(yàn)證“虛部不為”，避免漏解或錯(cuò)解參數(shù)。二、復(fù)數(shù)相等與共軛復(fù)數(shù)解題思路1.核心考點(diǎn)與解題步驟 考點(diǎn)1：復(fù)數(shù)相等 解題步驟：①確保兩個(gè)復(fù)數(shù)均化為標(biāo)準(zhǔn)形式、（）；②根據(jù)“實(shí)部相等且虛部相等”列方程組；③解方程組求參數(shù)或驗(yàn)證相等關(guān)系。 適配場(chǎng)景：題目給出復(fù)數(shù)相等的等式，求其中的參數(shù)（如“，求”），或證明兩個(gè)復(fù)數(shù)相等。 考點(diǎn)2：共軛復(fù)數(shù) 解題步驟：①若復(fù)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)形式，直接得共軛復(fù)數(shù)（實(shí)部不變，虛部變號(hào)）；②若復(fù)數(shù)非標(biāo)準(zhǔn)形式，先化簡(jiǎn)為，再求共軛；③利用共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)解題：（實(shí)數(shù)）、（純虛數(shù)或零）、（模長(zhǎng)平方）。 適配場(chǎng)景：題目要求求共軛復(fù)數(shù)，或結(jié)合共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)求模長(zhǎng)、數(shù)量關(guān)系（如“已知，求”）。2.避錯(cuò)關(guān)鍵 復(fù)數(shù)相等的“前提條件”：必須保證兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部均為實(shí)數(shù)，否則不可直接用“實(shí)部、虛部分別相等”； 共軛復(fù)數(shù)的“符號(hào)變化”：僅虛部變號(hào)，實(shí)部不變，避免將誤寫(xiě)為或。三、復(fù)數(shù)幾何意義（點(diǎn)、向量、模長(zhǎng)）解題思路1.核心考點(diǎn)與解題步驟 考點(diǎn)1：復(fù)數(shù)與點(diǎn)、向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系 解題步驟：①明確對(duì)應(yīng)規(guī)則：復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)向量（為原點(diǎn)）；②若已知復(fù)數(shù)，直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)或向量坐標(biāo)；③若已知點(diǎn)或向量，反向?qū)懗鰧?duì)應(yīng)復(fù)數(shù)（點(diǎn)對(duì)應(yīng)，向量對(duì)應(yīng)）。 適配場(chǎng)景：題目要求指出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或向量，或由點(diǎn)/向量求復(fù)數(shù)（如“求復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)”）。 考點(diǎn)2：復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算與幾何意義 解題步驟：①若復(fù)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)形式，直接用公式計(jì)算；②若復(fù)數(shù)為非標(biāo)準(zhǔn)形式（如），先化簡(jiǎn)為，或利用模長(zhǎng)性質(zhì)（，、）；③結(jié)合幾何意義：表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，表示點(diǎn)到的距離，輔助分析幾何圖形（如圓、線段）。 適配場(chǎng)景：題目要求求復(fù)數(shù)模長(zhǎng)，或結(jié)合模長(zhǎng)的幾何意義求最值、判斷軌跡（如“求表示的圖形”）。2.避錯(cuò)關(guān)鍵 復(fù)平面與直角坐標(biāo)系的“區(qū)別”：復(fù)平面縱軸為虛軸，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)虛部，不可將點(diǎn)誤理解為直角坐標(biāo)系中“，”； 模長(zhǎng)的“非負(fù)性”：是實(shí)數(shù)且非負(fù)，計(jì)算時(shí)需注意根號(hào)下為平方和（恒正），避免遺漏負(fù)號(hào)的平方（如）。四、通用解題流程（適用于所有復(fù)數(shù)概念題）1.化簡(jiǎn)優(yōu)先：無(wú)論何種題型，先將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式（），避免非標(biāo)準(zhǔn)形式導(dǎo)致的概念混淆；2.定位考點(diǎn)：根據(jù)題目要求，判斷考查“基本概念”“復(fù)數(shù)相等/共軛”還是“幾何意義”，匹配對(duì)應(yīng)解題步驟；3.列關(guān)系/用性質(zhì)：結(jié)合考點(diǎn)列方程（如復(fù)數(shù)相等列方程組）、用公式（如模長(zhǎng)公式、共軛性質(zhì)），確保每一步緊扣概念本質(zhì)；4.驗(yàn)證檢查：解題后驗(yàn)證結(jié)果是否符合概念要求（如純虛數(shù)需驗(yàn)證虛部不為，模長(zhǎng)需驗(yàn)證非負(fù)），規(guī)避常見(jiàn)易錯(cuò)點(diǎn)。【考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的幾何意義】【例題】1．（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上不可能位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2025·四川巴中·二模）已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記為，對(duì)于任意的三個(gè)復(fù)數(shù)與下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)B．若，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限C．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則的最小值為2D．若，且，則【針對(duì)訓(xùn)練】1．（2025·山東·三模）已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2025·廣東佛山·三模）復(fù)平面上兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則（

）A．17 B． C．13 D．3．（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，那么的最大值是（

）A．1 B． C．2 D．【解題策略】一、復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)、向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系（高考基礎(chǔ)高頻考點(diǎn)）1.核心考點(diǎn)與解題步驟 考點(diǎn)1：由復(fù)數(shù)確定點(diǎn)/向量 解題步驟：①確保復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式（），若為非標(biāo)準(zhǔn)形式（如含、分母含），先化簡(jiǎn)（如）；②依據(jù)對(duì)應(yīng)規(guī)則：復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)（橫軸為實(shí)軸，縱軸為虛軸），對(duì)應(yīng)從原點(diǎn)出發(fā)的向量；③直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)或向量的坐標(biāo)，無(wú)需額外運(yùn)算。 適配場(chǎng)景：題目要求指出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置（如象限、坐標(biāo)軸），或?qū)懗鰧?duì)應(yīng)向量（如“求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)及向量”）。 考點(diǎn)2：由點(diǎn)/向量確定復(fù)數(shù) 解題步驟：①明確已知條件類(lèi)型：若已知復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)，直接對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)；若已知向量（為原點(diǎn)），同樣對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)；②若向量起點(diǎn)非原點(diǎn)（如，、），先計(jì)算向量坐標(biāo)，再對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)。 適配場(chǎng)景：題目給出復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)或向量坐標(biāo)，求對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)（如“復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)對(duì)應(yīng)什么復(fù)數(shù)”“向量對(duì)應(yīng)什么復(fù)數(shù)”）。2.避錯(cuò)關(guān)鍵 區(qū)分“復(fù)平面與直角坐標(biāo)系”：復(fù)平面縱軸是虛軸，僅對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的虛部，不可將點(diǎn)誤寫(xiě)為“”，也不可將向量坐標(biāo)中的帶； 非原點(diǎn)向量的轉(zhuǎn)化：若向量起點(diǎn)不是原點(diǎn)，需先計(jì)算向量的坐標(biāo)（終點(diǎn)坐標(biāo)減起點(diǎn)坐標(biāo)），再對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，避免直接用起點(diǎn)或終點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)。二、復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的幾何意義（高考重難點(diǎn)考點(diǎn)）1.核心考點(diǎn)與解題步驟 考點(diǎn)1：模長(zhǎng)的基本計(jì)算（點(diǎn)到原點(diǎn)的距離） 解題步驟：①若復(fù)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)形式，直接代入模長(zhǎng)公式計(jì)算（根號(hào)下為實(shí)部、虛部的平方和，恒非負(fù)）；②若復(fù)數(shù)為非標(biāo)準(zhǔn)形式（如），先化簡(jiǎn)為（如），再代入公式；③若復(fù)數(shù)與共軛相關(guān)（如），可利用性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算（如，，則）。 適配場(chǎng)景：題目直接要求求復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)（如“求”），或結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算求模長(zhǎng)（如“求”）。 考點(diǎn)2：模長(zhǎng)的幾何應(yīng)用（兩點(diǎn)間距離與軌跡問(wèn)題） 解題步驟：①兩點(diǎn)間距離：若復(fù)數(shù)、對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)、，則，即兩點(diǎn)間的距離；②軌跡判斷：根據(jù)模長(zhǎng)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)確定軌跡： （，為定復(fù)數(shù)）：表示以對(duì)應(yīng)點(diǎn)為圓心、為半徑的圓； （為定復(fù)數(shù)）：表示線段的垂直平分線； （）：表示以為焦點(diǎn)的橢圓。 適配場(chǎng)景：題目要求求復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離（如“求與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離”），或判斷模長(zhǎng)表達(dá)式表示的幾何圖形（如“判斷表示的圖形”）。 考點(diǎn)3：模長(zhǎng)的最值問(wèn)題 解題步驟：①幾何法（優(yōu)先用）：將復(fù)數(shù)模長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)的距離，結(jié)合圖形求最值（如求的最小值，即求點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離，若在某定圖形上，如線段、圓，則結(jié)合圖形性質(zhì)找最近點(diǎn)）；②代數(shù)法：設(shè)（），將模長(zhǎng)表達(dá)式化為關(guān)于的函數(shù)（如），結(jié)合約束條件（如）求函數(shù)最值。 適配場(chǎng)景：題目要求求模長(zhǎng)的最值（如“已知滿(mǎn)足，求的最大值”），常結(jié)合圓、線段、橢圓等圖形考查。2.避錯(cuò)關(guān)鍵 模長(zhǎng)公式的“平方和”：不可將誤寫(xiě)為或，計(jì)算時(shí)需注意實(shí)部、虛部的正負(fù)（平方后均為正）； 軌跡條件的“限制”：判斷橢圓軌跡時(shí)，需滿(mǎn)足“”，若，則表示線段，不可直接判定為橢圓； 最值求解的“幾何優(yōu)先”：代數(shù)法計(jì)算較繁瑣，且易因計(jì)算錯(cuò)誤出錯(cuò)，優(yōu)先用幾何法轉(zhuǎn)化為距離問(wèn)題，結(jié)合圖形直觀求解。三、復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義（高考低頻但易漏考點(diǎn)）1.核心考點(diǎn)與解題步驟 考點(diǎn)1：加法的幾何意義（平行四邊形法則） 解題步驟：①確定兩個(gè)復(fù)數(shù)、對(duì)應(yīng)向量、；②以、為鄰邊作平行四邊形，從原點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量即為，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)；③若需驗(yàn)證，可通過(guò)向量加法坐標(biāo)運(yùn)算或復(fù)數(shù)加法運(yùn)算核對(duì)。 適配場(chǎng)景：題目要求結(jié)合平行四邊形法則求兩復(fù)數(shù)的和（如“已知、，用幾何方法求”）。 考點(diǎn)2：減法的幾何意義（三角形法則） 解題步驟：①確定復(fù)數(shù)、對(duì)應(yīng)向量、；②復(fù)數(shù)減法對(duì)應(yīng)向量減法，即從對(duì)應(yīng)點(diǎn)指向?qū)?yīng)點(diǎn)的向量，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)；③可通過(guò)兩點(diǎn)間距離公式驗(yàn)證。 適配場(chǎng)景：題目要求結(jié)合向量減法求復(fù)數(shù)差（如“已知、，用幾何方法求”），或解釋復(fù)數(shù)差的幾何意義。2.避錯(cuò)關(guān)鍵 加法的“平行四邊形起點(diǎn)”：兩向量需從同一原點(diǎn)出發(fā)，才能構(gòu)成平行四邊形的鄰邊，不可用非共起點(diǎn)的向量直接疊加； 減法的“向量方向”：對(duì)應(yīng)向量是“從指向”，而非“從指向”，避免方向混淆導(dǎo)致復(fù)數(shù)符號(hào)錯(cuò)誤。四、通用解題流程（適用于復(fù)數(shù)幾何意義題型）1.化簡(jiǎn)先行：無(wú)論何種題型，先將涉及的復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式（），為后續(xù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)、向量或計(jì)算模長(zhǎng)奠定基礎(chǔ)；2.幾何轉(zhuǎn)化：將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題——復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)/向量，模長(zhǎng)對(duì)應(yīng)距離，模長(zhǎng)表達(dá)式對(duì)應(yīng)軌跡，明確幾何模型（如點(diǎn)、線段、圓、橢圓）；3.選法求解：基礎(chǔ)計(jì)算用公式（如模長(zhǎng)公式），軌跡與最值問(wèn)題優(yōu)先用幾何法（結(jié)合圖形性質(zhì)），復(fù)雜約束條件下用代數(shù)法（設(shè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為函數(shù)）；4.驗(yàn)證回歸：解題后將幾何結(jié)果回歸到復(fù)數(shù)問(wèn)題（如軌跡圖形對(duì)應(yīng)模長(zhǎng)表達(dá)式，距離最值對(duì)應(yīng)模長(zhǎng)最值），驗(yàn)證是否符合題目要求，規(guī)避幾何與復(fù)數(shù)的轉(zhuǎn)化錯(cuò)誤?！究键c(diǎn)三：復(fù)數(shù)的運(yùn)算】【例題】1．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A． B．C． D．2．（2025·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）若，其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的模為（

）A． B．2 C． D．4【針對(duì)訓(xùn)練】1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知，，若，則（

）A． B． C． D．3．（2025·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．【解題策略】一、復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算（高考基礎(chǔ)送分點(diǎn)）1.核心考點(diǎn)與解題步驟 考點(diǎn)：代數(shù)形式加法 解題步驟：①確保兩個(gè)復(fù)數(shù)均為標(biāo)準(zhǔn)形式、（），若含非標(biāo)準(zhǔn)項(xiàng)（如），先化簡(jiǎn)（如）；②按“實(shí)部相加，虛部相加”規(guī)則計(jì)算：；③結(jié)果保留形式，若虛部為，可直接表示為實(shí)數(shù)（如）。 適配場(chǎng)景：題目直接考查復(fù)數(shù)加法，或結(jié)合向量加法（復(fù)平面幾何意義）考查，多為基礎(chǔ)計(jì)算題（如“計(jì)算”）。2.避錯(cuò)關(guān)鍵 避免“實(shí)虛部混淆”：不可將實(shí)部與虛部交叉相加（如）； 化簡(jiǎn)非標(biāo)準(zhǔn)項(xiàng)：計(jì)算前需先處理、分母含等非標(biāo)準(zhǔn)形式，確保復(fù)數(shù)為后再運(yùn)算，避免直接相加導(dǎo)致錯(cuò)誤。二、復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算（高考基礎(chǔ)高頻考點(diǎn)）1.核心考點(diǎn)與解題步驟 考點(diǎn)：代數(shù)形式減法 解題步驟：①同加法，先將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式、；②按“實(shí)部相減，虛部相減”規(guī)則計(jì)算：；③注意負(fù)號(hào)分配，若虛部為負(fù)，相減后變?yōu)檎ㄈ纾?適配場(chǎng)景：題目直接考查復(fù)數(shù)減法，或結(jié)合復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離（）考查，如“計(jì)算”，或先算減法再求模長(zhǎng)。2.避錯(cuò)關(guān)鍵 負(fù)號(hào)分配完整：減去一個(gè)復(fù)數(shù)等于加上其相反數(shù)，即，避免漏改實(shí)部或虛部的符號(hào)（如）； 結(jié)果符號(hào)檢查：計(jì)算后核對(duì)虛部符號(hào)，確保負(fù)號(hào)未遺漏（如若為負(fù)，虛部直接保留負(fù)號(hào)）。三、復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算（高考核心考點(diǎn)，多結(jié)合公式考查）1.核心考點(diǎn)與解題步驟 考點(diǎn)1：代數(shù)形式乘法（多項(xiàng)式乘法類(lèi)比） 解題步驟：①將復(fù)數(shù)視為多項(xiàng)式（為字母），按多項(xiàng)式乘法展開(kāi)：；②利用化簡(jiǎn)含的項(xiàng)：；③合并實(shí)部與虛部：實(shí)部為，虛部為，最終結(jié)果為。 適配場(chǎng)景：基礎(chǔ)乘法計(jì)算（如“計(jì)算”），或結(jié)合共軛復(fù)數(shù)乘法（）考查。 考點(diǎn)2：特殊乘法公式（高頻應(yīng)用） 解題步驟：熟記高頻特殊公式，直接代入計(jì)算以簡(jiǎn)化運(yùn)算：①平方公式：，尤其、；②共軛乘法：（結(jié)果為實(shí)數(shù)，常用于分母實(shí)數(shù)化或求模長(zhǎng)）；③立方公式（低頻）：，可按多項(xiàng)式展開(kāi)后化簡(jiǎn)。 適配場(chǎng)景：題目含平方、共軛乘法結(jié)構(gòu)，如“計(jì)算”“計(jì)算”，用特殊公式可快速得出結(jié)果。2.避錯(cuò)關(guān)鍵 化簡(jiǎn)不遺漏：展開(kāi)后必須將化為，不可保留（如）； 特殊公式記準(zhǔn)確：避免混淆與，或共軛乘法符號(hào)錯(cuò)誤（如）。四、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算（高考重難點(diǎn)，多為壓軸基礎(chǔ)題）1.核心考點(diǎn)與解題步驟 考點(diǎn)：代數(shù)形式除法（分母實(shí)數(shù)化） 解題步驟：①確保被除數(shù)、除數(shù)均為標(biāo)準(zhǔn)形式，除數(shù)不為（即除數(shù)實(shí)部、虛部不同時(shí)為）；②核心操作“分母實(shí)數(shù)化”：分子分母同乘除數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（除數(shù)的共軛為），使分母變?yōu)閷?shí)數(shù)： ③拆分結(jié)果：實(shí)部為，虛部為，整理為（）形式，若分子為，結(jié)果為（如）。 適配場(chǎng)景：題目直接考查除法（如“計(jì)算”），或結(jié)合其他運(yùn)算（先乘后除、先加減后除）考查，是高考復(fù)數(shù)運(yùn)算的高頻壓軸基礎(chǔ)題。 考點(diǎn)：特殊除法結(jié)果（熟記簡(jiǎn)化計(jì)算） 解題步驟：熟記常見(jiàn)特殊除法結(jié)果，直接調(diào)用：①（分子分母同乘，得）；②（分母實(shí)數(shù)化后得）；③（同理推導(dǎo)）。 適配場(chǎng)景：題目含上述特殊結(jié)構(gòu)，如“計(jì)算”“計(jì)算”，用熟記結(jié)果可大幅節(jié)省時(shí)間。2.避錯(cuò)關(guān)鍵 共軛復(fù)數(shù)符號(hào)正確：除數(shù)為時(shí)，共軛復(fù)數(shù)為（僅虛部變號(hào)），不可將實(shí)部變號(hào)（如）； 分子展開(kāi)完整：分子乘共軛復(fù)數(shù)時(shí)，按多項(xiàng)式乘法完整展開(kāi)，避免漏項(xiàng)（如）； 分母計(jì)算準(zhǔn)確：分母（平方和），不可誤算為。五、復(fù)數(shù)混合運(yùn)算（高考綜合考點(diǎn)，多為多步運(yùn)算）1.核心考點(diǎn)與解題步驟 考點(diǎn)：加、減、乘、除混合運(yùn)算 解題步驟：①遵循“先乘除，后加減”的運(yùn)算順序，有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)；②每一步運(yùn)算均按對(duì)應(yīng)規(guī)則進(jìn)行（乘除先化簡(jiǎn)，加減后合并）；③優(yōu)先使用特殊公式（如共軛乘法、平方公式）簡(jiǎn)化中間步驟，避免復(fù)雜展開(kāi)。 示例流程：計(jì)算： 第一步：先算分子乘法：； 第二步：算除法：； 第三步：算加法：。 適配場(chǎng)景：高考復(fù)數(shù)綜合題，如“計(jì)算”，多為多步運(yùn)算，考查運(yùn)算準(zhǔn)確性與技巧性。2.避錯(cuò)關(guān)鍵 運(yùn)算順序不顛倒：不可先算加減后算乘除，有括號(hào)需優(yōu)先計(jì)算括號(hào)內(nèi)內(nèi)容； 分步驗(yàn)證：每一步運(yùn)算后單獨(dú)驗(yàn)證結(jié)果（如乘法后檢查化簡(jiǎn)是否正確，除法后檢查分母是否為實(shí)數(shù)），避免一步錯(cuò)導(dǎo)致后續(xù)全錯(cuò)； 結(jié)果形式規(guī)范：最終結(jié)果需化為最簡(jiǎn)形式，分?jǐn)?shù)實(shí)部、虛部需化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)（如），不可保留復(fù)雜分式。六、通用解題流程（適用于所有復(fù)數(shù)運(yùn)算題型）1.化簡(jiǎn)標(biāo)準(zhǔn)形式：無(wú)論單一運(yùn)算還是混合運(yùn)算，先將所有復(fù)數(shù)化為（）的標(biāo)準(zhǔn)形式，處理、分母含等非標(biāo)準(zhǔn)項(xiàng)；2.確定運(yùn)算順序：?jiǎn)我贿\(yùn)算直接按規(guī)則計(jì)算，混合運(yùn)算遵循“先乘除，后加減，有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)”；3.優(yōu)先使用技巧：乘除運(yùn)算優(yōu)先用共軛復(fù)數(shù)、特殊公式（如）簡(jiǎn)化，減少計(jì)算量；4.分步驗(yàn)證結(jié)果：每一步運(yùn)算后檢查符號(hào)、化簡(jiǎn)、實(shí)虛部分類(lèi)是否正確