【第31講：直線的傾斜角與斜率，直線的方程】【新高考課程標準要求】1.直線的傾斜角與斜率：理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式，能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直。2.直線的方程：掌握直線方程的點斜式、兩點式及一般式，了解直線方程與一次函數(shù)的關(guān)系，會用代數(shù)的方法解決直線的有關(guān)問題，如求兩直線的交點，判斷兩條直線的位置關(guān)系等。【知識梳理】一、直線的傾斜角與斜率（一）核心知識梳理1.傾斜角：在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線，把x軸正方向按逆時針方向繞著交點旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)過的最小正角，叫做直線的傾斜角。當直線與x軸平行或重合時，其傾斜角為，傾斜角的取值范圍是。2.斜率：當直線的傾斜角時，其斜率；當直線的傾斜角時，直線的斜率不存在。過兩點，（）的直線的斜率公式為。3.斜率與傾斜角的關(guān)系：傾斜角在時，斜率，且越大，越大；傾斜角在時，斜率，且越大，越大。4.兩直線斜率與位置關(guān)系：設(shè)兩條不重合直線，的斜率分別為，，若，則（當兩直線斜率都不存在時，兩直線也平行）；若，則（當一條直線斜率為，另一條直線斜率不存在時，兩直線也垂直）。（二）常用結(jié)論1.若直線的斜率為，則傾斜角滿足：當時，；當時，。2.已知兩點，，若，則直線垂直于x軸，傾斜角為，斜率不存在；若，則直線平行于x軸，傾斜角為，斜率為。3.若兩條直線：，：，則且；與重合且。（三）微點提醒1.傾斜角的范圍是，不是，解題時切勿忽略該范圍導(dǎo)致錯誤，比如認為傾斜角為，這是不符合定義的。2.斜率不存在的直線是垂直于x軸的直線，在求直線方程或判斷直線位置關(guān)系時，不能只考慮斜率存在的情況，要兼顧斜率不存在的特殊情形，否則易漏解。3.利用斜率公式計算時，要注意兩點橫坐標不能相等，若橫坐標相等，直接判斷斜率不存在，避免因代入公式計算導(dǎo)致無意義的結(jié)果。二、直線的方程（一）核心知識梳理1.點斜式：已知直線過點，斜率為（斜率存在），則直線方程為。該形式不能表示垂直于x軸的直線。2.斜截式：已知直線斜率為，在y軸上的截距為（斜率存在），則直線方程為。同樣不能表示垂直于x軸的直線。3.兩點式：已知直線過兩點，（，），則直線方程為。不能表示垂直于x軸和垂直于y軸的直線。4.截距式：已知直線在x軸上的截距為，在y軸上的截距為（，），則直線方程為。不能表示過原點、垂直于x軸和垂直于y軸的直線。5.一般式：任何直線都可以表示為（，不同時為）的形式。當時，直線斜率為；當時，直線垂直于x軸，斜率不存在。（二）常用結(jié)論1.過定點的直線方程：若直線方程中含有參數(shù)，可通過整理方程，將參數(shù)分離，令參數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項分別為，求解方程組得到直線恒過的定點。例如，直線（為參數(shù)），整理為，令，得定點。2.直線在坐標軸上截距的求法：在直線方程中，令，得x軸截距（）；令，得y軸截距（）。3.兩直線交點坐標的求法：求兩條直線：，：的交點，只需解方程組，方程組的解即為交點坐標。（三）微點提醒1.利用不同形式的直線方程求解時，要注意各自的適用條件，避免因忽略限制條件而導(dǎo)致漏解或錯解。比如用截距式求直線方程時，不能遺漏過原點的直線情況。2.直線的截距是直線與坐標軸交點的橫（縱）坐標，可正、可負、可為，不要誤認為截距一定是正數(shù)，比如直線在x軸和y軸上的截距都為。3.將直線方程化為一般式時，要保證，不同時為，且通常使為非負數(shù)，若為負數(shù)，可兩邊同乘進行整理，符合一般式的規(guī)范形式，方便后續(xù)計算和判斷?！菊n前自測】一、單選題1．（2025·寧夏中衛(wèi)·三模）若直線：與直線：平行，則（

）A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或42．（2024·河北·模擬預(yù)測）點到直線的最大距離是（

）A． B．2 C． D．不存在二、多選題3．（25-26高二上·全國·期中）已知直線：，直線：，則（

）A．當時，與的交點是B．直線與都恒過C．若，則D．，使得4．（25-26高二上·全國·單元測試）已知直線，，則下列說法正確的是（

）A．的充要條件為或B．若，則C．若直線不經(jīng)過第四象限，則D．若，則將直線繞坐標原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，再向右平移一個單位長度，所得直線方程為三、填空題5．（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測）若直線的截距之和為2，且，則的最小值為.6．（2025·陜西漢中·三模）若直線過點，且其一個方向向量為，則直線的方程為.7．（2025高三·全國·專題練習(xí)）直線傾斜角的取值范圍是．8．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的最大值為，最小值為．題型題型分類知識講解與常考題型【考點一：直線的傾斜角與斜率】【例題】1．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）下列敘述正確的是（

）A．平面直角坐標系內(nèi)的任意一條直線都存在傾斜角和斜率B．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為C．與坐標軸垂直的直線的傾斜角是或D．若直線與軸相交，其向上的方向與軸正方向所成的角為，則其傾斜角為2．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）若過點，的直線的傾斜角的取值范圍是，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【針對訓(xùn)練】3．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）經(jīng)過點作直線，若直線與連接點，的線段沒有公共點，則直線的傾斜角的取值范圍是．4．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）已知點，，若，則直線的傾斜角的取值范圍為．5．（2025高三·全國·專題練習(xí)）過點的直線傾斜角，那么的取值范圍是．【解題策略】題型1：求直線的斜率（已知兩點/傾斜角/直線方程）解題步驟：1.判存在性 兩點：若，則斜率不存在，此時傾斜角；若，則可計算斜率。 傾斜角：當時，斜率不存在；否則，利用公式計算斜率。 直線方程（）：若，斜率不存在；若，則。2.代公式計算 兩點：運用公式，注意坐標差值與坐標差值順序需一致。 傾斜角：當時，為負值，例如時，。 方程：可將直線方程化為斜截式，注意符號問題，如，。3.驗結(jié)果：確保斜率正負與傾斜角區(qū)間相匹配，斜率為正，傾斜角；斜率為負，傾斜角。關(guān)聯(lián)內(nèi)容： 教材（人教版必修二）：P89例1（通過兩點求斜率）、P90例2（由傾斜角求斜率）。 高考真題：2023年全國甲卷文T7（已知傾斜角為另一直線傾斜角的2倍，求該直線斜率，需注意）。題型2：求直線的傾斜角（已知斜率/兩點/直線方程）解題步驟：1.求斜率：已知斜率直接使用；若已知兩點或直線方程，先計算斜率。若斜率不存在，則傾斜角。2.定傾斜角 當時，，例如時，。 當時，，例如時，。3.驗邊界：需排除傾斜角計算結(jié)果超出的情況，如、等。當時，。關(guān)聯(lián)內(nèi)容： 教材：P90例3（根據(jù)負斜率求傾斜角）。 高考真題：2024年浙江高考T3（對于分段直線，需分（此時）和（此時）兩種情況分析傾斜角）。題型3：斜率與傾斜角的范圍互化（含參數(shù)）解題步驟：1.明確轉(zhuǎn)化方向 已知求：將的范圍分為和兩部分，利用正切函數(shù)在和上的單調(diào)性進行求解。 已知求：若區(qū)間包含，則；若不包含，直接利用正切函數(shù)單調(diào)性求的范圍。2.畫圖像輔助：借助在的函數(shù)圖像，直觀輔助分析，避免推導(dǎo)錯誤。3.合并區(qū)間：注意合并區(qū)間時端點是否包含，例如當時，。關(guān)聯(lián)內(nèi)容： 教材：P91練習(xí)T6（已知求的范圍）。 高考真題：2022年新高考I卷T14（已知，求的范圍為）。題型4：兩直線平行/垂直的斜率判定（含參數(shù)）解題步驟：1.分情況判斜率 均存在（設(shè)為）：兩直線平行，則且截距不相等；兩直線垂直，則。 一存一不存：這種情況下兩直線不可能平行；若一條直線斜率存在，另一條不存在，則兩直線一定垂直。 均不存在：兩直線一定平行，不可能垂直。2.列方程求解（含參數(shù)）：先根據(jù)直線方程求出斜率（注意方程中系數(shù)為0的特殊情況），再依據(jù)平行或垂直條件列出方程求解。3.驗結(jié)果：對于平行的情況，需排除兩直線重合的可能性，例如若兩直線方程系數(shù)成比例，則兩直線重合。關(guān)聯(lián)內(nèi)容： 教材：P93例5（判斷直線與是否平行）。 高考真題：2024年北京高考T8（已知含參數(shù)直線垂直，解得或）。三、避坑思維鏈1.讀題時圈畫出“垂直軸”“傾斜角”等特殊條件。2.解題前先判斷“斜率是否存在”，再代入相應(yīng)公式計算。3.計算過程中關(guān)注符號（如）和范圍。4.對于平行問題，必須驗證兩直線是否重合；傾斜角的取值范圍必須在內(nèi)。【考點二：直線方程】【例題】1．（2025高二·全國·專題練習(xí)）已知的三個頂點分別為，，，求：(1)邊和所在直線的方程；(2)邊上的中線所在直線的方程；(3)邊上的垂直平分線所在直線的方程；(4)邊上的高所在直線的方程．2．（25-26高二上·全國·單元測試）已知直線，，其中為實數(shù)．(1)當時，求的值；(2)當時，求過直線的交點，且垂直于直線的直線方程．【針對訓(xùn)練】1．（25-26高二上·全國·單元測試）已知直線l過點．(1)從下面兩個條件中任選一個，求直線l的方程．條件①：直線l的傾斜角比直線的傾斜角大；條件②：直線l的一個方向向量為．(2)若點在直線l上，且，求的取值范圍．注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．2．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）設(shè)m為實數(shù)，直線在x軸、y軸上截距之和等于1，且與x軸的交點記作A．(1)求點A的坐標；(2)直線過點A且傾斜角是直線傾斜角的2倍，求直線的方程3．（23-24高二下·上?！て谥校┮阎c，．(1)設(shè)，若直線與直線垂直，求的值；(2)求過點且與直線夾角的余弦值為的直線方程．【解題策略】題型1：求直線方程（已知點、斜率、截距等）1.高頻錯因 忽略方程適用條件：用點斜式求斜率不存在的直線（如垂直x軸的直線）；用截距式求過原點的直線（截距為0）。 符號計算失誤：化一般式為斜截式時錯算斜率；兩點式中分子分母順序顛倒。2.方法提煉 選方程形式前，先判斷斜率是否存在、截距是否為0，確保形式與條件匹配。 已知一點+傾斜角（非90°），優(yōu)先用點斜式；傾斜角為90°，直接寫。 已知一點+垂直關(guān)系，先求垂直直線斜率，再用點斜式。 最終方程優(yōu)先化為一般式（，非負），方便后續(xù)計算。3.防錯要點 草稿紙標注適用條件，如“斜率存在→用點斜式”“過原點→不用截距式”。 計算時反復(fù)核對符號，尤其是一般式化斜截式的斜率計算。題型2：直線方程與截距、距離結(jié)合（含參數(shù)）1.高頻錯因 截距概念混淆：將截距等同于距離（忽略截距可負）；忽略截距為0的情況（如“截距相等”漏解過原點的直線）。 參數(shù)討論不全面：含參數(shù)直線求定點時，不會分離參數(shù)，錯認為參數(shù)無法消去。2.方法提煉 明確截距定義：x軸截距是令的x值，y軸截距是令的y值，截距可正、可負、可為0。 截距相等問題分兩類：截距不為0時用；截距為0時用。 含參數(shù)直線求定點，用參數(shù)分離法：將含參數(shù)與不含參數(shù)的項分開，令系數(shù)均為0，解方程組得定點。 涉及截距的面積計算，需對截距取絕對值，避免符號錯誤。3.防錯要點 遇“截距”相關(guān)題目，先寫清截距定義，含“截距相等/互為相反數(shù)”必分“截距為0”和“不為0”兩類。 參數(shù)分離時，確保參數(shù)前系數(shù)整理完整，再令系數(shù)和常數(shù)項為0。題型3：兩直線位置關(guān)系與直線方程結(jié)合1.高頻錯因 平行判斷忽略“不重合”驗證：僅看斜率相等，未確認截距或方程系數(shù)是否成比例，誤將重合當平行。 垂直判斷漏算特殊情況：只考慮斜率均存在的情況，忽略“一存一不存”的垂直情形。2.方法提煉 判斷平行：先分斜率“均存在”“一存一不存”“均不存在”三類，斜率相等時必驗證截距是否相等（或系數(shù)是否成比例），排除重合。 判斷垂直：先討論斜率是否存在，“一存一不存”時直接判定垂直；“均存在”時驗證斜率乘積是否為-1。 求過兩直線交點且滿足特定條件的直線方程：先解方程組求交點，再根據(jù)平行/垂直關(guān)系定斜率，最后用點斜式寫方程。3.防錯要點 平行判斷必補“不重合”驗證，垂直判斷必覆蓋“斜率不存在”情況。 含參數(shù)的位置關(guān)系題，求出參數(shù)后必代入原直線方程驗證?！究键c三：直線方程的綜合應(yīng)用】【例題】1．（24-25高二上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知動直線過定點.(1)求的坐標：(2)若直線與、軸的正半軸分別交于、兩點，為坐標原點，是否存在直線滿足下列條件：①的周長為；②的面積為.若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.(3)若直線與、軸的正半軸分別交于、兩點，當取得最小值時，求直線的方程.2．（23-24高二上·安徽六安·期中）過定點的直線與過定點的直線交于點（與不重合），則面積的最大值為（

）A．4 B． C．2 D．【針對訓(xùn)練】1．（23-24高二上·江蘇常州·階段練習(xí)）已知圓，．(1)求過點且與相切的直線方程；(2)直線l過點，且與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點．求的最小值，并求此時直線l的方程．2．（22-23高二上·福建福州·期中）已知直線的方程為，若直線在軸上的截距為，且．(1)求直線和的交點坐標；(2)已知直線經(jīng)過與的交點，且與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程．3．（22-23高二上·河北邢臺·階段練習(xí)）已知直線：，.(1)證明直線過定點，并求出點的坐標；(2)在（1）的條件下，若直線過點，且在軸上的截距是在軸上的截距的，求直線的方程；(3)若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍.【解題策略】一、核心解題思路總綱直線方程的綜合題（常融合距離、參數(shù)、位置關(guān)系），需遵循“先拆解條件→再選工具（方程形式/公式）→最后驗證約束（參數(shù)范圍/幾何意義）”三步原則。核心是：以教材基礎(chǔ)公式（如點到直線距離、斜率與位置關(guān)系）為“根”，以高考真題中“多條件融合”的變形為“枝”，避免因忽略“特殊情況（斜率不存在、截距為0）”或“公式適用前提”導(dǎo)致漏解。二、分題型解題策略（含教材/真題銜接）題型1：直線方程與距離結(jié)合（點到直線、兩平行線距離）解題步驟（固化流程）：1.定“已知”與“待求”：明確已知條件（如定點、已知直線、距離值）和待求目標（如直線方程、參數(shù)值），標注關(guān)鍵數(shù)據(jù)（如點坐標、距離）。2.設(shè)直線方程（選最優(yōu)形式）： 若已知定點，優(yōu)先設(shè)點斜式（），需補“斜率不存在”的特殊情況（直線垂直x軸，方程為）； 若已知直線與某直線平行/垂直，先求斜率（平行→斜率相等，垂直→斜率乘積為-1），再設(shè)對應(yīng)形式（如平行于，設(shè)為，避免重復(fù)計算斜率）。3.用距離公式列方程： 點到直線距離：將待求直線化為一般式（），代入公式（必化一般式，否則公式用錯）； 兩平行線距離：確保兩直線x、y系數(shù)對應(yīng)相等（如與），代入公式（系數(shù)不相等時先整理，如與，先化為與）。4.解方程+驗證：求解距離方程得參數(shù)（如斜率、截距），代入直線方程，驗證是否符合所有已知條件（如是否過定點、是否與已知直線平行）。教材銜接（基礎(chǔ)溯源）： 核心公式來自教材中“點到直線的距離”“兩平行線的距離”定義（如人教版必修二“平面解析幾何”章節(jié)），教材例題多為“單條件距離計算”（如已知直線和點，求距離），綜合題是在此基礎(chǔ)上增加“待求直線”的條件（如已知距離和定點，求直線方程），本質(zhì)是“公式逆用+分類討論”。高考適配（變形應(yīng)對）： 真題?？肌岸嗑嚯x條件融合”，如“求過點且到點距離為2，同時到點距離為的直線方程”——需先設(shè)方程，列兩個距離方程，聯(lián)立求解，最后驗證直線是否存在（避免方程無解的情況）。 防錯要點：①距離公式中直線必化一般式；②設(shè)點斜式必補“斜率不存在”的情況（如求過且到距離為2的直線，斜率不存在時，距離為2，符合條件，易漏解）。題型2：含參數(shù)的直線方程綜合題（平行/垂直+定點+距離）解題步驟（固化流程）：1.分離參數(shù)：先找“定點”或“不變關(guān)系”： 若直線方程含參數(shù)（如），用“參數(shù)分離法”整理為“參數(shù)×（含x,y的項）+（不含參數(shù)的項）=0”（如），令參數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項均為0，解得定點（如）——這是解決“含參數(shù)直線過定點”的核心方法。2.列條件方程：結(jié)合位置關(guān)系/距離： 若涉及平行/垂直，按位置關(guān)系條件列方程（平行→斜率相等且截距不等，垂直→斜率乘積為-1或一存一不存）； 若涉及距離，代入距離公式列方程（注意直線化一般式）； 若含多個條件，聯(lián)立方程求解參數(shù)（需注意參數(shù)的取值范圍，如斜率不存在時的參數(shù)值）。3.驗證：排除“無效參數(shù)”： 代入?yún)?shù)值，檢查直線是否滿足所有條件（如平行時是否重合、距離是否符合要求），避免因“忽略約束條件”導(dǎo)致增解（如參數(shù)使直線斜率不存在，但題目隱含斜率存在的條件，需排除）。教材銜接（基礎(chǔ)溯源）： 教材中“含參數(shù)的直線方程”多為“單條件求解”（如已知平行求參數(shù)），綜合題是“多條件疊加”（如過定點+平行+距離），但核心方法仍基于“直線方程形式”“位置關(guān)系判定”“距離公式”，需將教材中的“單考點方法”整合為“多考點聯(lián)立方法”。高考適配（變形應(yīng)對）： 真題?？肌皡?shù)的范圍問題”，如“已知直線與圓相交，求k的取值范圍”——先找直線定點，再計算定點到圓心的距離（2，等于半徑），可知直線過圓上一點，故k的取值范圍為全體實數(shù)（除斜率不存在的情況，此處直線斜率為k，存在），避免錯用“圓心到直線距離小于半徑”的常規(guī)方法（雖也可解，但找定點更簡便）。 防錯要點：①參數(shù)分離時確保“參數(shù)項與常數(shù)項完全分離”；②聯(lián)立方程后必驗證參數(shù)是否使直線方程有意義（如分母不為0、斜率存在與否符合條件）。三、通用解題思維鏈（避坑版）1.讀題標條件：用“△”標注“定點”“距離值”“平行/垂直”“參數(shù)”等關(guān)鍵信息，尤其注意“隱含條件”（如“直線與圓相交”→圓心到直線距離小于半徑）；2.選工具匹配：根據(jù)條件選直線方程形式（如定點→點斜式，平行→平行直線系）、選公式（距離→點到直線公式）；3.分情況討論：優(yōu)先考慮“斜率不存在”“截距為0”“參數(shù)使方程無意義”等特殊情況，再處理一般情況；4.驗證收尾：解完后代入所有已知條件，檢查是否漏解（如兩解只算一解）、錯解（如符號錯誤）、增解（如參數(shù)使直線重合）。四、實戰(zhàn)備考建議1.基礎(chǔ)階段：抓教材“單考點”遷移 先練教材中“直線方程+距離”“直線方程+位置關(guān)系”的基礎(chǔ)題，確保能快速寫出直線方程形式、準確代入距離公式，如“求過點且平行于的直線方程”，熟練后再疊加條件。2.提升階段：攻高考“多條件”變形 聚焦近5年高考真題中的綜合題，總結(jié)“定點+距離”“參數(shù)+平行/垂直”等常見組合，如“過定點的直線與兩坐標軸圍成三角形，求面積最小值”，提煉“先設(shè)方程→求截距→列面積函數(shù)→求最值”的固定流程。3.沖刺階段：練“動態(tài)參數(shù)”分析 針對“參數(shù)變化時直線的位置變化”（如變化時，直線的運動軌跡），用“定點法”分析，避免硬算，提升解題速度。課后針對訓(xùn)練課后針對訓(xùn)練一、單選題1．（25-26高二上·全國·單元測試）已知直線經(jīng)過兩點，直線的傾斜角為，若與平行，則（）A． B．2 C．3 D．62．（24-25高二下·河南南陽·期末）已知直線與直線垂直，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．3．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）下列說法一定正確的是（

）A．過點的直線方程為B．直線在軸上的截距