第34講空間幾何體外接球、內(nèi)切球、棱切球、截面問題、軌跡問題【典型例題】例1．（2024·陜西西安·一模）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為m，則該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為（

）A． B． C． D．例2．（2024·高三·陜西安康·階段練習(xí)）如圖，棱長為的正方體的內(nèi)切球為球，，分別是棱，的中點，在棱上移動，則（

）

A．對于任意點，平面B．直線被球截得的弦長為C．過直線的平面截球所得的所有截面圓中，半徑最小的圓的面積為D．當為的中點時，過，，的平面截該正方體所得截面的面積為例3．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）把沿三條中位線折疊成四面體，其中，，，則四面體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．例4．（2024·四川綿陽·三模）如圖，正方體的棱長為3，點是側(cè)面上的一個動點（含邊界），點在棱上，且．則下列結(jié)論不正確的是（

）A．若保持．則點的運動軌跡長度為B．保持與垂直時，點的運動軌跡長度為C．沿正方體的表面從點到點的最短路程為D．當在點時，三棱錐的外接球表面積為例5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正三棱柱的側(cè)面積為36，則與三棱柱各棱均相切的球的表面積為（

）A． B． C． D．例6．（2024·天津·一模）祖暅是我國南北朝時期杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家祖沖之的兒子，他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”.這里的“冪”指水平截面的面積，“勢”指高.這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等，利用祖暅原理可以將半球的體積轉(zhuǎn)化為與其同底等高的圓柱和圓錐的體積之差，圖1是一種“四腳帳篷”的示意圖，其中曲線和均是以2為半徑的半圓，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帳篷底面的平面截帳篷，所得截面四邊形均為正方形，模仿上述半球的體積計算方法，可以構(gòu)造一個與帳篷同底等高的正四棱柱，從中挖去一個倒放的同底等高的正四棱錐（如圖2），從而求得該帳篷的體積為（

）A． B． C． D．例7．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知正三棱柱的所有棱長均相等，其外接球與棱切球（該球與其所有棱都相切）的表面積分別為，則．例8．（2024·山東臨沂·一模）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.如圖1，一個球面的半徑為，球冠的高是，球冠的表面積公式是，與之對應(yīng)的球缺的體積公式是.如圖2，已知是以為直徑的圓上的兩點，，則扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為，體積為.

例9．（2024·陜西西安·三模）如圖，已知球的半徑為，在球的表面上，，連接球心與，沿半徑旋轉(zhuǎn)使得點旋轉(zhuǎn)到球面上的點處，若此時，且球心到所在截面圓的距離為，則球的表面積為．

【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·高三·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知上底面半徑為，下底面半徑為的圓臺存在內(nèi)切球（與上，下底面及側(cè)面都相切的球），則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南·二模）如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．3．（2024·四川涼山·二模）已知在三棱錐中，，，底面是邊長為1的正三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．4．（2024·高三·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知正四面體的棱長為，則該四面體的外接球與以點為球心，為半徑的球面的交線的周長為（

）A． B． C． D．5．（2024·廣東·模擬預(yù)測）將邊長為2的正三角形沿某條線折疊，使得折疊后的立體圖形有外接球，則當此立體圖形體積最大時，其外接球表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題6．（2024·河南信陽·一模）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為m，則（

）

A．該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為 B．該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為C．該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為 D．該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為7．（2024·高三·江西·開學(xué)考試）化學(xué)中經(jīng)常碰到正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個面都是正三角形的八面體），如六氟化硫（化學(xué)式）?金剛石等的分子結(jié)構(gòu).將正方體六個面的中心連線可得到一個正八面體（如圖1），已知正八面體的（如圖2）棱長為2，則（

）A．正八面體的內(nèi)切球表面積為B．正八面體的外接球體積為C．若點為棱上的動點，則的最小值為D．若點為棱上的動點，則三棱錐的體積為定值8．（2024·江西上饒·一模）空間中存在四個球，它們半徑分別是2，2，4，4，每個球都與其他三個球外切，下面結(jié)論正確的是（

）A．以四個球球心為頂點的四面體體積為B．以四個球球心為頂點的四面體體積為C．若另一小球與這四個球都外切，則該小球半徑為D．若另一小球與這四個球都內(nèi)切，則該小球半徑為9．（2024·高三·山東菏澤·期末）勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動（如圖甲），利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動機．勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體的棱長為2，則（

）A．勒洛四面體被平面截得的截面面積是B．勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是C．勒洛四面體的截面面積的最大值為D．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為10．（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）如圖，八面體的每個面都是正三角形，并且4個頂點在同一個平面內(nèi)，如果四邊形是邊長為2的正方形，則（

）

A．異面直線與所成角大小為B．二面角的平面角的余弦值為C．此八面體一定存在外接球D．此八面體的內(nèi)切球表面積為11．（2024·高三·江西·期末）在棱長為2的正方體中，點，，分別是線段，線段，線段上的動點，且.則下列說法正確的有（

）A．B．直線與所成的最大角為C．三棱錐的體積為定值D．當四棱錐體積最大時，該四棱錐的外接球表面積為12．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）四棱錐的底面為正方形，PA與底面垂直，，，動點M在線段PC上，則（

）A．不存在點M，使得B．的最小值為C．四棱錐的外接球表面積為5πD．點M到直線AB的距離的最小值為13．（2024·江蘇·一模）如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，點滿足，則（

）A．當時，平面B．任意，三棱錐的體積是定值C．存在，使得與平面所成的角為D．當時，平面截該正方體的外接球所得截面的面積為14．（2024·吉林延邊·一模）如圖，在多面體中，底面是邊長為的正方形，平面，動點在線段上，則下列說法正確的是（

）A．B．存在點，使得平面C．三棱錐的外接球被平面所截取的截面面積是D．當動點與點重合時，直線與平面所成角的余弦值為15．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）M，N分別為菱形ABCD的邊BC，CD的中點，將菱形沿對角線AC折起，使點D不在平面ABC內(nèi)，則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的有（

）A．平面ABDB．異面直線AC與MN所成的角為定值C．設(shè)菱形ABCD邊長為a，，當二面角為120°時，棱錐的外接球表面積為D．若存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直，則∠ABC的取值范圍是16．（2024·高三·河北滄州·階段練習(xí)）已知棱長為1的正方體的棱切球（與正方體的各條棱都相切）為球，點為球面上的動點，則下列說法正確的是（

）A．球的表面積為B．球在正方體外部的體積大于C．球內(nèi)接圓柱的側(cè)面積的最大值為D．若點在正方體外部（含正方體表面）運動，則17．（2024·高三·山東菏澤·階段練習(xí)）已知正方體的棱長為是中點，是的中點，點滿足，平面截該正方體，將其分成兩部分，設(shè)這兩部分的體積分別為，則下列判斷正確的是（

）A．時，截面面積為 B．時，C．隨著的增大先減小后增大 D．的最大值為18．（2024·廣東·一模）將圓柱的下底面圓置于球的一個水平截面內(nèi)，恰好使得與水平截面圓的圓心重合，圓柱的上底面圓的圓周始終與球的內(nèi)壁相接（球心在圓柱內(nèi)部）．已知球的半徑為3，．若為上底面圓的圓周上任意一點，設(shè)與圓柱的下底面所成的角為，圓柱的體積為，則（

）A．可以取到中的任意一個值B．C．的值可以是任意小的正數(shù)D．19．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：用平面截圓錐，可以得到不同的截口曲線.如圖，當平面垂直于圓錐的軸時，截口曲線是一個圓.當平面不垂直于圓錐的軸時，若得到“封閉曲線”，則是橢圓；若平面與圓錐的一條母線平行，得到拋物線（部分）；若平面平行于圓錐的軸，得到雙曲線（部分）.已知以為頂點的圓錐，底面半徑為1，高為，點為底面圓周上一定點，圓錐側(cè)面上有一動點滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點的軌跡為橢圓B．點可能在以為球心，1為半徑的球外部C．可能與垂直D．三棱錐的體積最大值為20．（2024·高三·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，八面體的每一個面都是邊長為4的正三角形，且頂點在同一個平面內(nèi)．若點在四邊形內(nèi)（包含邊界）運動，為的中點，則（

）A．當為的中點時，異面直線與所成角為B．當平面時，點的軌跡長度為C．當時，點到的距離可能為D．存在一個體積為的圓柱體可整體放入內(nèi)21．（2024·高三·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為，點為的中點，點為正方形內(nèi)包含邊界的動點，則（

）A．滿足平面的點的軌跡為線段B．若，則動點的軌跡長度為C．直線與直線所成角的范圍為D．滿足的點的軌跡長度為三、填空題22．（2024·安徽安慶·二模）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為M，底面直徑．圓錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合于一點O，則該圓錐的全面積為．23．（2024·青海·一模）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載：斜解立方，得兩塹堵．其意思是：一個長方體沿對角面一分為二，得到兩個一模一樣的塹堵．如圖，在長方體中，，，，將長方體沿平面一分為二，得到塹堵，下列結(jié)論正確的序號為．

①點C到平面的距離等于；②與平面所成角的正弦值為；③塹堵外接球的表面積為；④塹堵沒有內(nèi)切球．24．（2024·四川宜賓·二模）所有棱長均為6的三棱錐，其外接球和內(nèi)切球球面上各有一個動點，則線段長度的最大值為.25．（2024·全國·模擬預(yù)測）將菱形沿對角線折起，當四面體體積最大時，它的內(nèi)切球和外接球表面積之比為．26．（2024·高三·山東濟寧·開學(xué)考試）三棱錐中，是邊長為的正三角形，頂點在底面上的射影是的中心，且．三棱錐的內(nèi)切球為球，外接球為球，若球的半徑為，球的半徑為，則；若為球上任意一點，為球上任意一點，則線段的最小值為27．（2024·高三·湖南長沙·階段練習(xí)）已知正六棱錐的高是底面邊長的倍，側(cè)棱長為，正六棱柱內(nèi)接于正六棱錐，即正六棱柱的所有頂點均在正六棱錐的側(cè)棱或底面上，則該正六棱柱的外接球表面積的最小值為．28．（2024·山東煙臺·一模）在三棱錐中，，且分別是的中點，，則三棱錐外接球的表面積為，該三棱錐外接球與內(nèi)切球的半徑之比為.29．（2024·高三·江蘇·專題練習(xí)）直角三角形中，斜邊長為2，繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個幾何體．若該幾何體外接球表面積為，則長為30．（2024·黑龍江·二模）已知三棱錐的四個面是全等的等腰三角形，且，，則三棱錐的外接球半徑為；點為三棱錐的外接球球面上一動點，時，動點的軌跡長度為．31．（2024·高三·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中