上海市虹口高級中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高一上期末檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程在上至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?)A. B.C. D.3．O為正方體底面ABCD的中心，則直線與的夾角為A. B.C. D.4．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則A. B.C. D.5．終邊在y軸上的角的集合不能表示成A. B.C. D.6．已知等邊的邊長為2，為內(nèi)（包括三條邊上）一點(diǎn)，則的最大值是A.2 B.C.0 D.7．如圖，在平面內(nèi)放置兩個(gè)相同的直角三角板，其中，且三點(diǎn)共線，則下列結(jié)論不成立的是A. B.C.與共線 D.8．如圖所示的是用斜二測畫法畫出的的直觀圖（圖中虛線分別與軸，軸平行），則原圖形的面積是（）A.8 B.16C.32 D.649．函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是A. B.C. D.10．設(shè)全集，集合，則（）A.{3，5} B.{2，4}C.{1，2，3，4，5} D.{2，3，4，5，6}二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最小值為____________.12．對于定義在區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)和，如果對任意的，均有不等式成立，則稱函數(shù)與在上是“友好”的，否則稱為“不友好”的（1）若，，則與在區(qū)間上是否“友好”；（2）現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù)與，給定區(qū)間①若與在區(qū)間上都有意義，求的取值范圍；②討論函數(shù)與與在區(qū)間上是否“友好”13．已知，，，，則______.14．正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+2-a=2，b+3b=3，c+=4，則實(shí)數(shù)a，b，c之間的大小關(guān)系為_________.15．不等式x2-5x+6≤0的解集為______.16．函數(shù)關(guān)于直線對稱，設(shè)，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知集合，.（1）若，求；（2）在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（注意：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分）18．如圖甲，直角梯形中，，，為的中點(diǎn)，在上，且，現(xiàn)沿把四邊形折起得到空間幾何體，如圖乙.在圖乙中求證：（1）平面平面；（2）平面平面.19．已知函數(shù)（1）證明：；（2）若存在一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，則稱函數(shù)具有性質(zhì)P，判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)P，并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)點(diǎn)，函數(shù)．設(shè)點(diǎn)B是曲線上任意一點(diǎn)，求線段AB長度的最小值20．已知是函數(shù)的零點(diǎn)，.（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．已知函數(shù)（1）求在上的增區(qū)間（2）求在閉區(qū)間上的最大值和最小值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的圖象與直線至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，再數(shù)形結(jié)合，求解作答.【詳解】函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，關(guān)于的方程在上至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，等價(jià)于函數(shù)在上的圖象與直線至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，函數(shù)的圖象是恒過定點(diǎn)的動(dòng)直線，函數(shù)在上的圖象與直線，如圖，觀察圖象得：當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，將此時(shí)的直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線的位置，直線(除時(shí)外)與函數(shù)在上的圖象最多一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)或或a不存在，將時(shí)的直線(含)繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線(不含直線)的位置，旋轉(zhuǎn)過程中的直線與函數(shù)在上的圖象至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圖象法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).2、B【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域求出的范圍，結(jié)合分母不為0求出函數(shù)的定義域即可【詳解】由題意得：，解得：，由，解得：，故函數(shù)的定義域是，故選：B3、D【解析】推導(dǎo)出A1C1⊥BD，A1C1⊥DD1，從而D1O?平面BDD1，由此得到A1C1⊥D1O【詳解】∵O為正方體ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD的中心，∴A1C1⊥BD，A1C1⊥DD1，∵BD∩DD1＝D，∴A1C1⊥平面BDD1，∵D1O?平面BDD1，∴A1C1⊥D1O故答案為：D【點(diǎn)睛】本題考查與已知直線垂直的直線的判斷，是中檔題，做題時(shí)要認(rèn)真審題，注意線面垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用4、A【解析】由函數(shù)的奇偶性求出，進(jìn)而求得答案【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，則，故.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題5、B【解析】分別寫出終邊落在y軸正半軸和負(fù)半軸上的角的集合，然后進(jìn)行分析運(yùn)算即可得解.【詳解】終邊落在y軸正半軸上的角的集合為：，終邊落在y軸負(fù)半軸上的角的集合為：，故終邊在y軸上的角的集合可表示成為，故A選項(xiàng)可以表示；將與取并集為：，故C選項(xiàng)可以表示；將與取并集為：，故終邊在y軸上的角的集合可表示成為，故D選項(xiàng)可以表示；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，或，顯然不是終邊落在y軸上的角；綜上，B選項(xiàng)不能表示，滿足題意.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查軸線角的定義，側(cè)重對基礎(chǔ)知識的理解的應(yīng)用，考查邏輯思維能力和分析運(yùn)算能力，屬于常考題.6、A【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則故令，則t表示內(nèi)（包括三條邊上）上的一點(diǎn)與點(diǎn)間的距離的平方．結(jié)合圖形可得當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)B或C重合時(shí)t可取得最大值，且最大值為，故的最大值為．選A點(diǎn)睛：通過建立坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算可使得本題的解答代數(shù)化，在得到向量數(shù)量積的表達(dá)式后，根據(jù)表達(dá)式的特征再利用數(shù)形結(jié)合的思路求解是解題的關(guān)鍵，借助圖形的直觀性可容易得到答案7、D【解析】設(shè)BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三點(diǎn)共線，則CD═AB=m，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，,故A、B、C成立；而，，即不成立，故選D.8、C【解析】由斜二測畫法知識得原圖形底和高【詳解】原圖形中，，邊上的高為，故面積為32故選：C9、B【解析】根據(jù)函數(shù)的解析式，求得，結(jié)合零點(diǎn)的存在定理，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，即，根據(jù)零點(diǎn)的存在定理，可得函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，其中解答中熟記函數(shù)零點(diǎn)的存在定理，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】先求補(bǔ)集，再求并集.詳解】，則.故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】利用基本不等式可得，即求.【詳解】依題意，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.所以的最小值為.故答案為：.12、（1）是；（2）①；②見解析【解析】（1）按照定義，只需判斷在區(qū)間上是否恒成立；（2）①由題意解不等式組即可；②假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得與與在區(qū)間上是“友好”的，即，即，只需求出函數(shù)在區(qū)間上的最值，解不等式組即可.【詳解】（1）由已知，，因?yàn)闀r(shí)，，所以恒成立，故與在區(qū)間上是“友好”的.（2）①與在區(qū)間上都有意義，則必須滿足，解得，又且，所以的取值范圍為.②假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得與與在區(qū)間上是“友好”的，則，即，因?yàn)?，則，，所以在的右側(cè)，又復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在區(qū)間上為減函數(shù)，從而，，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，與與在區(qū)間上是“友好”的；當(dāng)時(shí)，與與在區(qū)間上是“不友好”的.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的新定義問題，主要涉及到不等式恒成立的問題，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想、數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，是一道有一定難度的題.13、【解析】利用兩角和的正弦公式即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，由，，可得，，所?故答案為：.14、##【解析】利用指數(shù)的性質(zhì)及已知條件求a、b的范圍，討論c的取值范圍，結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)求c的范圍【詳解】由，由，又，當(dāng)時(shí)，，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，，不成立；當(dāng)時(shí)，；綜上，.故答案為：15、【解析】根據(jù)二次函數(shù)的特點(diǎn)即可求解.【詳解】由x2-5x+6≤0，可以看作拋物線，拋物線開口向上，與x軸的交點(diǎn)為，∴，即原不等式的解集為.16、1【解析】根據(jù)正弦及余弦函數(shù)的對稱性的性質(zhì)可得的對稱軸為函數(shù)g（x）＝3cos（ωx+φ）+1的對稱中心，即可求值.【詳解】∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x對稱∵f（x）＝3sin（ωx+φ）的對稱軸為函數(shù)g（x）＝3cos（ωx+φ）+1的對稱中心故有則1故答案為1【點(diǎn)睛】本題考查了正弦及余弦函數(shù)的性質(zhì)屬于基礎(chǔ)題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)并集的概念和運(yùn)算，求得.（2）三個(gè)條件都是表示，由此列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以.（2）三個(gè)條件、、都表示，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本小題主要考查集合并集的概念和運(yùn)算，考查根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）證明出平面，平面，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，可得出平面，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】證明：翻折前，，翻折后，則有，，因?yàn)槠矫?，平面，平面，因?yàn)槠矫妫矫?，平面，因?yàn)?，因此，平面平?【小問2詳解】證明：翻折前，在梯形中，，，則，，則，翻折后，對應(yīng)地，，，因?yàn)?，所以，平面，，則平面，平面，因此，平面平面.19、（1）證明見解析；（2）函數(shù)具有性質(zhì)P，證明見解析；（3）.【解析】（1）直接利用對數(shù)的運(yùn)算求解；（2）取函數(shù)圖象上四個(gè)點(diǎn)，證明函數(shù)具有性質(zhì)P；（3）設(shè)（或），求出,再換元利用二次函數(shù)求函數(shù)的最值得解.【小問1詳解】解：【小問2詳解】解：由（1）知，的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，取函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，，顯然線段CD的中點(diǎn)恰為點(diǎn)M；再取函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，，顯然線段EF的中點(diǎn)也恰為點(diǎn)M因此四邊形CEDF的對角線互相平分，所以四邊形CEDF為平行四邊形，所以函數(shù)具有性質(zhì)P小問3詳解】解：，則（或），則，記（或），則，記，則，所以，當(dāng)，即時(shí)，20、(Ⅰ)1；(Ⅱ)；(Ⅲ)【解析】Ⅰ利用是函數(shù)的零點(diǎn)，代入解析式即可求實(shí)數(shù)的值；Ⅱ由不等式在上恒成立，利用參數(shù)分類法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍；Ⅲ原方程等價(jià)于，利用換元法，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的個(gè)數(shù)進(jìn)行求解即可【詳解】Ⅰ是函數(shù)的零點(diǎn)，，得；Ⅱ，，則不等式在上恒成立，等價(jià)為，，同時(shí)除以，得，令，則，，，故的最小值為0，則，即實(shí)數(shù)k的取值范圍；Ⅲ原方程等價(jià)為，，兩邊同乘以得，此方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，則，則，得或，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)，要使方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則必須有有兩個(gè)解，則，得【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程根的問題，利用換元法結(jié)合一元二次方程根的個(gè)數(shù)，以及不等式恒成立問題，屬于