云南省玉龍縣第一中學2026屆數(shù)學高二上期末教學質量檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓，過點P的直線l被圓C所截，且截得最長弦的長度與最短弦的長度比值為5∶4，若O為坐標原點，則最大值為（）A.3 B.4C.5 D.62．橢圓的短軸長為（）A.8 B.2C.4 D.3．雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）A.1 B.2C. D.4．若是等差數(shù)列的前項和，，則（）A.13 B.39C.45 D.215．經過兩點直線的傾斜角是（）A. B.C. D.6．圓關于直線l：對稱的圓的方程為（）A. B.C. D.7．設雙曲線的方程為，過拋物線的焦點和點的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.8．已知角的終邊經過點，則，的值分別為A.， B.，C.， D.，9．數(shù)列滿足，且，是函數(shù)的極值點，則的值是（）A.2 B.3C.4 D.510．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A. B.C. D.11．將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴廣交會的四個不同地方服務，不同的分配方案有（）種A.· B.·C. D.12．中秋節(jié)吃月餅是我國的傳統(tǒng)習俗，若一盤中共有兩種月餅，其中5塊五仁月餅、6塊棗泥月餅，現(xiàn)從盤中任取3塊，在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．計算：________14．展開式的常數(shù)項是________15．已知直線與圓交于A,B兩點,過A,B分別做l的垂線與x軸交于C,D兩點,若|AB|=4,則|CD|=_____________.16．已知圓，圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，則圓的標準方程為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等比數(shù)列的前n項和為，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個等差數(shù)列，記插入的這n個數(shù)之和為，求數(shù)列的前n項和18．（12分）已知拋物線的焦點為，經過點的直線與拋物線交于兩點，其中點A在第一象限；（1）若直線的斜率為，求的值；（2）求線段的長度的最小值19．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和.20．（12分）如圖，在三棱柱中，點在底面內的射影恰好是點，是的中點，且滿足（1）求證：平面；（2）已知，直線與底面所成角的大小為，求二面角的大小21．（12分）某企業(yè)為響應“安全生產”號召，將全部生產設備按設備安全系數(shù)分為A，兩個等級，其中等設備安全系數(shù)低于A等設備.企業(yè)定時對生產設備進行檢修，并將部分等設備更新成A等設備.據(jù)統(tǒng)計，2020年底該企業(yè)A等設備量已占全體設備總量的30%.從2021年開始，企業(yè)決定加大更新力度，預計今后每年將16%的等設備更新成A等設備，與此同時，4%的A等設備由于設備老化將降級成等設備.（1）在這種更新制度下，在將來的某一年該企業(yè)的A等設備占全體設備的比例能否超過80%？請說明理由；（2）至少在哪一年底，該企業(yè)的A等設備占全體設備的比例超過60%.（參考數(shù)據(jù)：，，）22．（10分）平行六面體，（1）若，，，，，，求長；（2）若以頂點A為端點的三條棱長均為2，且它們彼此的夾角都是60°，則AC與所成角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由題意，點P在圓C內，且最長弦的長度為直徑長10，則最短弦的長度為8，進而可得，所以點P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，從而即可求解.【詳解】解：由題意，圓，所以圓C是以為圓心，半徑為5的圓，因為過點P的直線l被圓C所截，且截得最長弦的長度與最短弦的長度比值為5∶4，所以點P在圓C內，且最長弦的長度為直徑長10，則最短弦的長度為8，所以由弦長公式有，所以點P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，所以，故選：C.2、C【解析】根據(jù)橢圓的標準方程求出，進而得出短軸長.【詳解】由，可得，所以短軸長為.故選：C.3、A【解析】分別求出雙曲線的焦點坐標和漸近線方程，利用點到直線的距離公式求出結果【詳解】雙曲線中，焦點坐標為漸近線方程為：∴雙曲線的焦點到漸近線的距離故選：A4、B【解析】先根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出，然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的下標性質求得答案.【詳解】設等差數(shù)列的公差為d，則，則.故選：B.5、B【解析】求出直線的斜率后可得傾斜角【詳解】經過兩點的直線的斜率為，設該直線的傾斜角為，則，又，所以.故選：B6、A【解析】首先求出圓的圓心坐標與半徑，再設圓心關于直線對稱的點的坐標為，即可得到方程組，求出、，即可得到圓心坐標，從而求出對稱圓的方程；【詳解】解：圓的圓心為，半徑，設圓心關于直線對稱的點的坐標為，則，解得，即圓關于直線對稱的圓的圓心為，半徑，所以對稱圓的方程為；故選：A7、D【解析】由拋物線的焦點可求得直線的方程為，即得直線的斜率為，再根據(jù)雙曲線的漸近線的方程為，可得，即可求出，得到雙曲線的方程【詳解】由題可知，拋物線焦點為，所以直線的方程為，即直線的斜率為，又雙曲線的漸近線的方程為，所以，，因為，解得故選：【點睛】本題主要考查拋物線的簡單幾何性質，雙曲線的幾何性質，以及直線與直線的位置關系的應用，屬于基礎題8、C【解析】利用任意角的三角函數(shù)的定義：，，，代入計算即可得到答案【詳解】由于角的終邊經過點，則,，（為坐標原點），所以由任意角的三角函數(shù)的定義：，.故答案選C【點睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，解決此類問題的關鍵是掌握牢記三角函數(shù)定義并能夠熟練應用，屬于基礎題9、C【解析】利用導數(shù)即可求出函數(shù)的極值點，再利用等差數(shù)列的性質及其對數(shù)的運算性質求解即可【詳解】由，得，因為，是函數(shù)的極值點，所以，是方程兩個實根，所以，因為數(shù)列滿足，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以，所以，故選：C10、D【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關性質可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則故選D.點睛：此題考查等比數(shù)列的實際應用，解決本題的關鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（），數(shù)列等比數(shù)列；（2）等比中項公式法，若數(shù)列中，且（），則數(shù)列是等比數(shù)列.11、B【解析】先按要求分為四組，再四個不同地方，四個組進行全排列.【詳解】兩個組各2人，兩個組各1人，屬于部分平均分組，要除以平均分組的組數(shù)的全排列，故分組方案有種，再將分得的4組，分配到四個不同地方服務，則不同的分配方案有種.故選：B12、C【解析】分別求出取到3塊月餅都是同種月餅和取到3塊月餅都是五仁月餅的種數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得解.【詳解】解：由題意可得，取到3塊月餅都是同種月餅有種情況，取到3塊月餅都是五仁月餅有種情況，所以在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)無窮等比數(shù)列的求和公式直接即可求出答案.【詳解】.故答案為：.14、【解析】求出的通項公式，令的指數(shù)為0，即可求解.【詳解】的通項公式是，，依題意，令，所以的展開式中的常數(shù)項為.故答案為：.15、【解析】先求出圓心和半徑，由于半徑為2，弦|AB|=4，所以可知直線過圓心，從而得，求出，得到直線方程且傾斜角為135°，進而可求出|CD|【詳解】圓,圓心(1,2),半徑r=2,∵|AB|=4,∴直線過圓心(1,2),∴,∴,∴直線,傾斜角為135°,∵過A,B分別做l的垂線與x軸交于C,D兩點,∴.故答案為：4【點睛】此題考查直線與圓的位置關系，考查兩直線的位置關系，考查轉化思想和計算能力，屬于基礎題16、【解析】根據(jù)題干求得圓的圓心及半徑，再利用圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上確定圓的圓心及半徑.【詳解】圓的標準方程為，所以圓心，半徑為由圓心在直線上，可設因為與軸相切，與圓外切，于是圓的半徑為，從而，解得因此，圓的標準方程為故答案為：【點睛】判斷兩圓的位置關系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關系，一般不采用代數(shù)法．兩圓相切注意討論內切外切兩種情況.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】(1)設等比數(shù)列公比為q，利用與關系可求q，在中令n＝1可求；(2)根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式可求，分析{}的通項公式，利用錯位相減法求其前n項和.【小問1詳解】設等比數(shù)列的公比為q，由己知，可得，兩式相減可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比數(shù)列的通項公式為；【小問2詳解】由題意知在與之間插入n個數(shù)，這個數(shù)組成以為首項的等差數(shù)列，∴，設{}前n項和為，①①×3：②①－②：18、（1）3；（2）12.【解析】(1)聯(lián)立直線l與拋物線C的方程，求出A和B的橫坐標即可得AFBF(2)設直線l方程為，與拋物線C方程聯(lián)立，求出線段AB長度求其最小值即可.【小問1詳解】設，拋物線的焦點為，直線l經過點F且斜率，直線l的方程為，將直線l方程與拋物線消去y可得，點A是第一象限內的交點，解方程得，∴.【小問2詳解】設，由題知直線l斜率不為0，故設直線l的方程為：，代入拋物線C的方程化簡得，，∵＞0，∴，∴，當且僅當m＝0時取等號，∴AB長度最小值為12.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)與的關系，分和兩種情況，求出，再判斷是否合并；（2）利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和.【小問1詳解】，當時，，當時，，也滿足上式，數(shù)列的通項公式為：.【小問2詳解】由（1）可得，①②①②得，20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）分別證明出和，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）以C為原點，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，用向量法求二面角的平面角.【小問1詳解】因為點在底面內的射影恰好是點，所以面.因為面,所以.因為是的中點，且滿足．所以，所以.因為，所以，即,所以.因為,面,面,所以平面.【小問2詳解】∵面，∴直線與底面所成角為，即.因為，所以由（1）知，，因，所以，.如圖示，以C為原點，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系.則,,,,所以，設，由得，，即.則.設平面BDC1的一個法向量為，則，不妨令，則.因為面，所以面的一個法向量為記二面角的平面角為，由圖知，為銳角.所以,即.所以二面角的大小為.21、（1）A等設備量不可能超過生產設備總量的80%，理由見解析；（2）在2026屆底實現(xiàn)A等設備量超過生產設備總量的60%.【解析】(1)根據(jù)題意表示出2020年開始，經過年后A等設備量占總設備量的百分比為，求出，根據(jù)的范圍進行判斷；(2)令＞即可求解.【小問1詳解】記該企業(yè)全部生產設備總量為“1”，20