天津南開中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校2026屆數(shù)學(xué)高一上期末監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：駕駛?cè)搜褐械木凭看笥冢ɑ虻扔冢┖量?毫升，小于毫克/毫升的情況下駕駛機動車屬于飲酒駕車；含量大于（或等于）毫克/毫升的情況下駕駛機動車屬于醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員一天晚上點鐘喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到毫克/毫升．如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小時的速度減少，則他次日上午最早（）點（結(jié)果取整數(shù)）開車才不構(gòu)成酒駕．（參考數(shù)據(jù)：，）A. B.C. D.2．如果全集,,,則A. B.C. D.3．若函數(shù)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)與其圖象相符的是A. B.C. D.4．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則=A. B.C. D.5．若實數(shù)，滿足，則關(guān)于的函數(shù)圖象的大致形狀是（）A. B.C. D.6．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德最為滿意的一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是“圓柱容球”，即在球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等時，球的體積是圓柱體積的，且球的表面積也是圓柱表面積的.已知體積為的圓柱的軸截面為正方形.則該圓柱內(nèi)切球的表面積為（）A B.C. D.7．已知全集，集合，，則（）A. B.C D.8．下列四個函數(shù)，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.9．計算的值為A. B.C. D.10．已知，若，則（）A.或 B.3或5C.或5 D.3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知角的終邊過點（1，－2），則________12．已知函數(shù)，則函數(shù)零點的個數(shù)為_________13．無論實數(shù)k取何值，直線kx-y+2+2k＝0恒過定點__14．若直線：與直線：互相垂直，則實數(shù)的值為__________15．函數(shù)的最小值為_______16．直線關(guān)于定點對稱的直線方程是_________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分別是PA，BC的中點，且AD=2PD=2（1）求證：MN∥平面PCD；（2）求證：平面PAC⊥平面PBD；（3）求四棱錐P-ABCD的體積18．化簡并求值（1）求的值.（2）已知，且是第三象限角，求的值.19．已知集合，，.（1）求，（2）若，求實數(shù)a的取值范圍20．中國茶文化博大精深，小明在茶藝選修課中了解到，不同類型的茶葉由于在水中溶解性的差別，達(dá)到最佳口感的水溫不同.為了方便控制水溫，小明聯(lián)想到牛頓提出的物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：如果物體的初始溫度是，環(huán)境溫度是，則經(jīng)過時間（單位：分）后物體溫度將滿足：，其中為正的常數(shù).小明與同學(xué)一起通過多次測量求平均值的方法得到初始溫度為98℃的水在19℃室溫中溫度下降到相應(yīng)溫度所需時間如表所示：從98℃下降到90℃所用時間1分58秒從98℃下降到85℃所用時間3分24秒從98℃下降到80℃所用時間4分57秒（1）請依照牛頓冷卻模型寫出冷卻時間（單位：分）關(guān)于冷卻水溫（單位：℃）函數(shù)關(guān)系，并選取一組數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的值（精確到0.01）.（2）“碧螺春”用75℃左右的水沖泡可使茶湯清澈明亮，口感最佳.在（1）的條件下，水煮沸后在19℃室溫下為獲得最佳口感大約冷卻___________分鐘左右沖泡，請在下列選項中選擇一個最接近的時間填在橫線上，并說明理由.A.5B.7C.10（參考數(shù)據(jù)：，，，，）21．設(shè)函數(shù)，函數(shù)，且，的圖象過點及（1）求和的解析式；（2）求函數(shù)的定義域和值域

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】根據(jù)題意可得不等式，解不等式可求得，由此可得結(jié)論.【詳解】假設(shè)經(jīng)過小時后，駕駛員開車才不構(gòu)成酒駕，則，即，，則，，次日上午最早點，該駕駛員開車才不構(gòu)成酒駕.故選：D.2、A【解析】根據(jù)題意,先確定的范圍,再求出即可.【詳解】,,故選:A.【點睛】本題考查集合的運算,屬于簡單題.3、B【解析】由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)，則下圖中對于選項A，是減函數(shù)，所以A錯誤；對于選項B,的圖象是正確的；對C，是減函數(shù)，故C錯；對D，函數(shù)是減函數(shù)，故D錯誤。故選B4、C【解析】因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即，因此，選C.5、B【解析】利用特殊值和，分別得到的值，利用排除法確定答案.【詳解】實數(shù)，滿足，當(dāng)時，，得，所以排除選項C、D，當(dāng)時，，得，所以排除選項A，故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)圖像的識別，屬于簡單題.6、A【解析】由題目給出的條件可知，圓柱內(nèi)切球的表面積圓柱表面積的，通過圓柱的體積求出圓柱底面圓半徑和高，進(jìn)而得出表面積，再計算內(nèi)切球的表面積.【詳解】設(shè)圓柱底面圓半徑為，則圓柱高為，圓柱體積，解得，又圓柱內(nèi)切球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，所以內(nèi)切球的表面積是圓柱表面積的，圓柱表面積為，所以內(nèi)切球的表面積為.故選：A.7、C【解析】根據(jù)集合補集和交集運算方法計算即可.【詳解】表示整數(shù)集Z里面去掉這四個整數(shù)后構(gòu)成的集合，∴.故選：C.8、A【解析】先判斷各函數(shù)最小正周期，再確定各函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性，即可選擇判斷.【詳解】最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減；最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減；最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞增；最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞增；故選：A9、D【解析】直接由二倍角的余弦公式，即可得解.【詳解】由二倍角公式得：，故選D.【點睛】本題考查了二倍角的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】根據(jù)分段函數(shù)的定義，分與兩種情況討論即可求解.【詳解】解：由題意，當(dāng)時，，解得或（舍去）；當(dāng)，，解得（舍去）；綜上，.故選：D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】的終邊過點（1，－2），故答案為：12、【解析】解方程，即可得解.【詳解】當(dāng)時，由，可得（舍）或；當(dāng)時，由，可得.綜上所述，函數(shù)零點的個數(shù)為.故答案為：.13、【解析】由kx-y+2+2k＝0，得(x+2)k+(2-y)＝0，由此能求出無論實數(shù)k取何值，直線kx-y+2+2k＝0恒過定點【詳解】∵kx-y+2+2k＝0，∴(x+2)k+(2-y)＝0，解方程組，得∴無論實數(shù)k取何值，直線kx-y+2+2k＝0恒過定點故答案為：14、-2【解析】由于兩條直線垂直，故.15、【解析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求的最小值.【詳解】由正弦型函數(shù)的性質(zhì)知：，∴的最小值為.故答案為：.16、【解析】先求出原直線上一個點關(guān)于定點的對稱點，然后用對稱后的直線與原直線平行【詳解】在直線上取點，點關(guān)于的對稱點為過與原直線平行的直線方程為，即為對稱后的直線故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析（3）【解析】（1）先證明平面MEN∥平面PCD，再由面面平行的性質(zhì)證明MN∥平面PCD；（2）證明AC⊥平面PBD，即可證明平面PAC⊥平面PBD；（3）利用錐體的體積公式計算即可【詳解】（1）證明：取AD的中點E，連接ME、NE，∵M(jìn)、N是PA、BC的中點，∴在△PAD和正方形ABCD中，ME∥PD，NE∥CD；又∵M(jìn)E∩NE=E，PD∩CD=D，∴平面MEN∥平面PCD，又MN?平面MNE，∴MN∥平面PCD；（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，且PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD；（3）∵PD⊥底面ABCD，∴PD是四棱錐P-ABCD的高，且PD=1，∴正方形ABCD的面積為S=4，∴四棱錐P-ABCD的體積為VP-ABCD=×S四邊形ABCD×PD=×4×1=【點睛】本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了錐體體積計算問題，是中檔題18、（1）3；（2）－.【解析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡求值即可；（2）應(yīng)用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)式化簡為sinα＋cosα，再根據(jù)已知及與sinα＋cosα的關(guān)系，求值即可.【詳解】（1）.（2）原式＝－＝－＝－＝＝sinα＋cosα.∵sinαcosα＝，且α是第三象限角，∴sinα＋cosα＝－＝－＝－＝－19、（1）；；（2）.【解析】(1)解不等式化簡集合B，再利用交集、并集、補集的定義直接計算作答.(2)由已知可得，再利用集合的包含關(guān)系列式計算作答.【小問1詳解】解得：，則，而，所以，或，.【小問2詳解】，因，則，于是得，所以實數(shù)a的取值范圍是.20、（1）；（2）大約冷卻分鐘，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)求得冷卻時間（單位：分）關(guān)于冷卻水溫（單位：℃）的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合對數(shù)運算求得.（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)關(guān)系式列方程，由此求得冷卻時間.【小問1詳解】依題意，，，，，，.，依題意，則.若選：從98℃下降到90℃所用時間：1分58秒，即分，則若選：從98℃下降到85℃所用時間：3分24秒，即分，若選：從98℃下降到80℃所用時間：4分57秒，即分，所以.【小問2詳解】結(jié)合（1）可知：，依題意，.所以大約冷卻分鐘.21、（1），；（2）,.【解析】(1)根據(jù)得出關(guān)于方程，求解方程即可；（2）根據(jù)的圖象過點及，列方程組求得的解析式，可得，解不等式可求得定義域，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，配方可得，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）因