02

時(shí)間序列分析的發(fā)展歷程時(shí)間序列分析簡(jiǎn)史和基本數(shù)學(xué)工具時(shí)間序列分析TimeSeriesAnalysis描述性時(shí)間序列分析7000年前，古埃及人從長(zhǎng)期的觀察中發(fā)現(xiàn)，尼羅河的泛濫是有規(guī)律的。為了研究尼羅河泛濫的規(guī)律，古埃及人發(fā)明了元旦和天的概念。把每天尼羅河水漲落潮的規(guī)律記在竹竿上。這個(gè)竹竿上的數(shù)據(jù)就是歷史上最早的時(shí)間序列。通過(guò)對(duì)這個(gè)時(shí)間序列長(zhǎng)期的觀察，他們發(fā)現(xiàn)元旦之后再過(guò)200天左右，尼羅河開(kāi)始漲潮，漲潮期大概 天，落潮期大會(huì)有豐厚1月1日6月17日

10月

12月《史記-貨殖列傳》中記載，公元前500年左右，范蠡認(rèn)為我國(guó)農(nóng)作物生成存在“六歲穰，六歲旱，十二歲一大饑”的自然規(guī)律，提出了我國(guó)最早穩(wěn)定糧價(jià)的方法：“平糶法”。60概60天。洪水過(guò)后，土地肥沃，隨意播種就的收成。尼羅河泛濫期范蠡描述性時(shí)間序列分析描述性時(shí)間序列分析是時(shí)間序列分析方法的萌芽。對(duì)于很多自然現(xiàn)象，只要人們觀察的時(shí)間足夠長(zhǎng)，就能運(yùn)用描述性時(shí)序分析發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含在時(shí)間里的自然規(guī)律。歐洲人在1500年左右，也發(fā)現(xiàn)了農(nóng)作物生產(chǎn)與價(jià)格序列具有12年左右的周期；他們關(guān)心的是為什么有這個(gè)周期，J.

Herschel根據(jù)S.

H.

Schwabe發(fā)現(xiàn)的太陽(yáng)黑子序列規(guī)律，揭示了太陽(yáng)黑子數(shù)量影響降雨量，降雨量影響農(nóng)作物產(chǎn)量的規(guī)律貝弗里奇小麥價(jià)格指數(shù)序列太陽(yáng)黑子序列J.Herschel英國(guó)天文學(xué)家，發(fā)現(xiàn)太陽(yáng)黑子變少時(shí)，地球降雨量也會(huì)變少，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)會(huì)和太陽(yáng)黑子有近似的周期描述性時(shí)間序列分析描述性時(shí)間序列分析是時(shí)間序列分析方法的萌芽。對(duì)于很多自然現(xiàn)象，只要人們觀察的時(shí)間足夠長(zhǎng)，就能運(yùn)用描述性時(shí)序分析發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含在時(shí)間里的自然規(guī)律。但序列又是不斷在發(fā)展變化當(dāng)中的，從來(lái)沒(méi)有哪個(gè)描述性時(shí)間序列規(guī)律是絕對(duì)正確的。怎么看待描述性統(tǒng)計(jì)規(guī)律，直接產(chǎn)生了兩種不同的統(tǒng)計(jì)哲學(xué)思想。統(tǒng)計(jì)相關(guān)：關(guān)注點(diǎn)是How; 真實(shí)相關(guān)：關(guān)注點(diǎn)是WhyHowardG.

Funkhouser美國(guó)數(shù)學(xué)家、歷史學(xué)家；于1927年在《A

note

on

a

tenth

centurygraph》描述行星軌道的變化“theoldesttimediagramknowninthewestern

world”早期時(shí)間序列相關(guān)概念的研究John

Graunt.

英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家，人口統(tǒng)計(jì)學(xué)奠基人。1622年出版《NaturalandPoliticalObservationsMadeUpon

the

Billsof

Mortality》（關(guān)于死亡公報(bào)的自然和政治觀察），整理了倫敦教會(huì)自1604年起每周一次的死亡公報(bào)的龐大數(shù)據(jù)，并對(duì)當(dāng)時(shí)有關(guān)人口和死亡的原因提出論斷。說(shuō)明統(tǒng)計(jì)比率相對(duì)于時(shí)間和空間的穩(wěn)定性（某個(gè)時(shí)間或特性出現(xiàn)的頻率隨著觀察次數(shù)的增加趨向于一個(gè)固定值）通過(guò)序列的一階差分確定“病態(tài)年”通過(guò)對(duì)原始序列的分析，估計(jì)人口占比，對(duì)未來(lái)情況進(jìn)行預(yù)測(cè)和估計(jì)早期的差分思想英國(guó)商人，經(jīng)濟(jì)學(xué)家，擔(dān)任《經(jīng)濟(jì)學(xué)人》主編，在期刊的表格中添加數(shù)值（商品價(jià)格，貸款利率）相對(duì)于以前時(shí)間的增減變化欄Walter

Bagehot1858John

Norton1902澳大利亞新聞工作者，用一階差分對(duì)1879-1900紐約錢幣市場(chǎng)每周的結(jié)余、儲(chǔ)蓄、貸款數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，用差分去除序列的“生長(zhǎng)元素”（趨勢(shì)項(xiàng)）英國(guó)數(shù)學(xué)家，研究氣壓序列時(shí)引入一階差分相關(guān)性，氣壓度數(shù)表示為??????

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Cave-Browne-Cave1904早期的差分思想Oskar

Anderson俄國(guó)/德國(guó)數(shù)學(xué)家WilliamSealyGosset(Student)英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家1914年《Biomeitrika》（生物統(tǒng)計(jì)）分別刊登了Anderson和Gosset的關(guān)于時(shí)間序列差分方法的論文，核心觀點(diǎn)是只有當(dāng)變量和時(shí)間是線性關(guān)系是，一階差分方法才有效。將隨機(jī)變量

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階差分后得到的相關(guān)與進(jìn)行????

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1階差分后得到的相關(guān)相等，則??,

??高階差分的相關(guān)和殘差??1,

??2的差分相關(guān)相等，也和??1,

??2本身的相關(guān)相等Anderson對(duì)變量差分方法的后續(xù)發(fā)展主要集中于序列分解和識(shí)別平穩(wěn)時(shí)間序列19世紀(jì)末-20世紀(jì)初，是現(xiàn)代時(shí)間序列分析方法萌芽期。這個(gè)時(shí)期產(chǎn)生了兩種不同的時(shí)序分析方向現(xiàn)代時(shí)間序列分析方法萌芽期由外向內(nèi)的分析視角產(chǎn)生的方法是與確定性因素分解相關(guān)的方法由內(nèi)向外的分析視角產(chǎn)生的方法是時(shí)域分析方法確定性因素分解方法因素分解方法（Time

SeriesDecomposition）由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家W.M.

Persons于1919年在論文《Indices

of

Business

Conditions》中首次使用。認(rèn)為所有的序列波動(dòng)都可以歸納為受到如下四大類因素的綜合影響：長(zhǎng)期趨勢(shì)（secular

Trends）。序列呈現(xiàn)出明顯的長(zhǎng)期遞增或遞減的變化趨勢(shì)。循環(huán)波動(dòng)（Cyclical

fluctuations）。序列呈現(xiàn)出從低到高再由高到低的反復(fù)循環(huán)波動(dòng)。循環(huán)周期可長(zhǎng)可短，不一定是固定的。季節(jié)性變化（Seasonalvariation）。序列呈現(xiàn)出和季節(jié)變化相關(guān)的穩(wěn)定周期波動(dòng)。隨機(jī)波動(dòng)(Irregularvariation)。除了長(zhǎng)期趨勢(shì)、循環(huán)波動(dòng)和季節(jié)性變化之外，其他不能用確定性因素解釋的序呈現(xiàn)出不同的波動(dòng)特征。換言之，任何列波動(dòng)，都屬于隨機(jī)波動(dòng)。假定序列會(huì)受到這四個(gè)因素中的全部或部分的影響，導(dǎo)致序列一個(gè)時(shí)間序列都可以用這四個(gè)因素的某個(gè)函數(shù)進(jìn)行擬合常用模型加法模型：????

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??????確定性因素分解方法的發(fā)展指數(shù)平滑預(yù)測(cè)方法簡(jiǎn)單指數(shù)平滑（平穩(wěn)序列預(yù)測(cè)）Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑（趨勢(shì)序列預(yù)測(cè)）HoltWinters三參數(shù)指數(shù)平滑（周期序列預(yù)測(cè)）以X11模型為核心的各種季節(jié)調(diào)整模型X11模型是第二次世界大戰(zhàn)之后，美國(guó)人口普查局委托統(tǒng)計(jì)學(xué)家進(jìn)行的基于計(jì)算機(jī)自動(dòng)進(jìn)行的時(shí)間序列因素分解方法。1954年，X0版本面世，隨后十多年陸續(xù)推出新的改進(jìn)版本。1965年，推出成熟版本X11。1975年，加拿大統(tǒng)計(jì)局將ARIMA模型引入X11模型，開(kāi)發(fā)了X11-ARIMA模型。ARIMA模型可以對(duì)序列進(jìn)行向后預(yù)測(cè)擴(kuò)充數(shù)據(jù)，以保證擬合數(shù)據(jù)的完整性，彌補(bǔ)了中心移動(dòng)平均方法的缺陷。1998年，美國(guó)人口普查局開(kāi)發(fā)了X12-ARIMA模型。它的改進(jìn)是將一些特殊因素作為干預(yù)變量引入研究。這些干預(yù)變量包括：特殊節(jié)假日、固定季節(jié)因素、工作日因素、交易日因素、閏年因素，以及研究人員自行定義的任意自變量。2006年美國(guó)人口普查局再次推出更新版本X13-ARIMA-Seats，它是在X12-ARIMA的基礎(chǔ)上，增加了seats季節(jié)調(diào)整方法。時(shí)間序列的頻域分析方法假定任何一種無(wú)趨勢(shì)的時(shí)間序列都可以分解為若干不同頻率的周期波動(dòng)，借助傅里葉變換，用正弦、余弦之后來(lái)逼近某個(gè)函數(shù)。信號(hào)（函數(shù)）的傅里葉級(jí)數(shù)表示無(wú)法有效處理序列中的噪聲Schuster發(fā)展頻域分析方法，創(chuàng)建周期圖方法，用于估計(jì)序列的周期，是時(shí)間序列頻域分析的奠基人Joseph

Fourier法國(guó)數(shù)學(xué)家Arthur

Schuster英國(guó)物理學(xué)家隨機(jī)性因素分解方法20世紀(jì)60年代，J.

P.

Burg在分析地震信號(hào)時(shí)提出最大熵譜估計(jì)理論，該理論克服了傳統(tǒng)譜分析所固有的分辨率不高和頻率漏泄等缺點(diǎn)，使譜分析方法進(jìn)入一個(gè)新階段，稱為現(xiàn)代譜分析階段。譜分析方法具有很高的數(shù)學(xué)門(mén)檻，且需要的數(shù)據(jù)量與計(jì)算量都非常大，且計(jì)算結(jié)果不易進(jìn)行直觀解釋。這使得譜分析方法的使用主要局限在某些特殊領(lǐng)域，比如：地震研究領(lǐng)域、電子信號(hào)領(lǐng)域、醫(yī)學(xué)研究領(lǐng)域、海洋學(xué)、天文學(xué)、軍事領(lǐng)域等等。隨著電子信息技術(shù)的發(fā)展，我們獲取的數(shù)據(jù)頻率越來(lái)越高，數(shù)據(jù)量越來(lái)越大。傳統(tǒng)的時(shí)域分析方法受到挑戰(zhàn)，譜分析方法在高頻數(shù)據(jù)場(chǎng)合越來(lái)越受到重視和使用。JohnParker

Burg美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家時(shí)域分析方法的萌芽1926年，Yule從隨機(jī)序列開(kāi)始，整理出新序列，計(jì)算其相關(guān)系數(shù)，發(fā)現(xiàn)相關(guān)的分布特別依賴于一階差分的相關(guān)性，而不是序列本身的相關(guān)性。1927年，

Yule在對(duì)單擺運(yùn)動(dòng)和太陽(yáng)黑子序列的分析中，形成新觀點(diǎn)：很多時(shí)間序列變量不是和時(shí)間相關(guān)，而是和同一序列中的滯后變量相關(guān)，且觀察值的差分也和滯后變量的差分相關(guān)。發(fā)表論文《On

aMethod

ofInvestigatingPeriodicitiesinDisturbedSeries,withSpecialReferencetoWolfer‘sSunspot

Numbers》提出了AR(2),

AR(4)模型時(shí)域分析方法主要是從序列自相關(guān)的角度揭示時(shí)間序列的發(fā)展規(guī)律。假設(shè)時(shí)間的發(fā)展擁有慣性，引入統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行刻畫(huà)。GeorgeUdnyYule英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家時(shí)域分析方法的萌芽時(shí)域分析方法主要是從序列自相關(guān)的角度揭示時(shí)間序列的發(fā)展規(guī)律。假設(shè)時(shí)間的發(fā)展擁有慣性，引入統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行刻畫(huà)。Walker完善了AR(s)模型，于1931年發(fā)表論文《On

Periodicity

in

Series

ofRelated

Terms》，并用于分析達(dá)爾文港口的氣壓?jiǎn)栴}（分析氣壓的周期，不同地區(qū)氣壓的關(guān)聯(lián)性）Slutsky探究隨機(jī)擾動(dòng)疊加之后模型及其性質(zhì)，不同于把隨機(jī)成分看做誤差，Slutsky把隨機(jī)成分視為擾動(dòng)，且認(rèn)為擾動(dòng)也是數(shù)據(jù)產(chǎn)生過(guò)程中的一個(gè)重要部分，于1927年發(fā)表《The

Summation

ofRandom

Causes

as

aSource

ofCyclical

Processes》，提出MA(n)模型GilbertThomas

Walker英國(guó)物理學(xué)家，統(tǒng)計(jì)學(xué)家Eugen

Slutsky蘇聯(lián)統(tǒng)計(jì)學(xué)家時(shí)域分析方法的理論基礎(chǔ)Wold分解定理1938年在博士論文《A

study

in

the

Analysis

of

Stationary

timeSeries》給出平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義，ARMA模型同時(shí)提出了Wold分解定理，證明任何平穩(wěn)序列都可以分解為確定性序列和隨機(jī)序列之和；Wold是現(xiàn)代時(shí)間序列分析理論的靈魂，是構(gòu)造ARMA模型擬合平穩(wěn)序列的理論基礎(chǔ)。Cramer分解定理Cramer

分解定理（1962年）是Wold分解定理的理論推廣，它是非平穩(wěn)序列的分解理論，是構(gòu)造ARIMA模型的理論基礎(chǔ)。HaraldCramer瑞典統(tǒng)計(jì)學(xué)家和保險(xiǎn)精算學(xué)家Herman

Wold瑞典統(tǒng)計(jì)學(xué)家時(shí)域分析方法的核心1970年，Box和Jenkins出版了《TimeSeriesAnalysis

Forecasting

and

Control》一書(shū)，將前人的知識(shí)進(jìn)行了系統(tǒng)的梳理和分析，構(gòu)造了ARIMA模型，并系統(tǒng)地闡述了ARIMA模型的識(shí)別、估計(jì)、檢驗(yàn)及預(yù)測(cè)的原理及方法。這些知識(shí)現(xiàn)在被稱為經(jīng)典時(shí)間序列分析方法，是時(shí)域分析方法的核心內(nèi)容。為了記念Box和Jenkins對(duì)時(shí)間序列發(fā)展的特殊貢獻(xiàn)，現(xiàn)在人們也常把ARIMA模型稱為Box-Jenkins模型。ARIMA模型的實(shí)質(zhì)單變量、同方差場(chǎng)合的線性模型George

Box英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Gwilym

Jenkins英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家時(shí)間序列分析的階段和流派描述性時(shí)間序列分析古埃及人分析尼羅河漲落周期范蠡時(shí)間序列分析頻域分析方法時(shí)間序列分析時(shí)域分析方法（統(tǒng)計(jì)方法）時(shí)間序列分析萌芽時(shí)期時(shí)間序列分析時(shí)域分析擴(kuò)展異方差多變量非線性H.

G.

Funkhouser，美國(guó)數(shù)學(xué)家、歷史學(xué)家；于1927年在《A

note

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atenth

century

graph》描述行星軌道的變化Arthur

SchusterOskar

AndersonJohn

GrauntJohnParker

BurgUdny

YuleThomas

WalkerEugen

SlutskyHerman

Wold時(shí)域分析方法的完善：異方差1982年，Engle根據(jù)1958年2季度至1977年2季度的數(shù)據(jù)，研究英國(guó)因工資上漲導(dǎo)致通貨膨脹問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)在方差齊性的假定下，很容易預(yù)測(cè)出1977年3季度物價(jià)指數(shù)的置信區(qū)間。但是Engle認(rèn)為這個(gè)置信區(qū)間偏小，與實(shí)際情況可能不符。為刻劃通貨膨脹率序列的波動(dòng)性，Engle構(gòu)造了ARCH（Autoregressive

conditional

hetero-scedasticity)模型。與無(wú)條件方差比，條件異方差模型能更準(zhǔn)確地?cái)M合出序列即期波動(dòng)的特征。之后，有很多人對(duì)ARCH模型進(jìn)行了拓展和衍生。比較重要的拓展模型是Bollerslov在1986年提出的GARCH模型。GARCH的衍生模型數(shù)不勝數(shù)，常用的有EGARCH；IGARCH；GARCH-M；TGARCHRobertF.

Engle美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家，提出ARCH模型，獲2003年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)時(shí)域分析方法的完善：多元時(shí)序（單一回歸模型）1968年，Granger發(fā)現(xiàn)多元非平穩(wěn)序列構(gòu)建回歸模型，容易出現(xiàn)偽回歸現(xiàn)象。而且在1974年進(jìn)行了非平穩(wěn)序列偽回歸的隨機(jī)模擬試驗(yàn)。模擬檢驗(yàn)非常有說(shuō)服力地證明在非平穩(wěn)的場(chǎng)合，回歸方程的顯著性檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于0.05，偽回歸顯著成立。這導(dǎo)致多元非平穩(wěn)序列的回歸分析困難。1970年，Box

&

Jenkins

提出ARIMAX模型，用于多元平穩(wěn)序列建立回歸模型。1975年，Box&Tiao，首次使用干預(yù)模型分析經(jīng)濟(jì)政策（定性數(shù)據(jù)）對(duì)空氣污染控制所帶來(lái)的影響。發(fā)展出了專門(mén)評(píng)估特殊事件對(duì)序列產(chǎn)生的影響大小的分析方法，這種方法統(tǒng)稱為干預(yù)分析。1987年，Granger提出了協(xié)整的概念，不再要求“變量平穩(wěn)”而只要求其“某種現(xiàn)行組合”平穩(wěn)，解決了多變量回歸無(wú)法判斷是否存在偽回歸的問(wèn)題。為多變量回歸徹底松綁。Granger英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家提出“協(xié)整”理論提出多元時(shí)序的Granger因果檢驗(yàn)2003年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)時(shí)域分析方法的完善：多元時(shí)序（多元方程組模型）SYSLINE模型（聯(lián)立線性方程組模型）是1940年代興起的，是以公認(rèn)的經(jīng)濟(jì)學(xué)說(shuō)為基礎(chǔ)，根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)中實(shí)際數(shù)據(jù)所作的經(jīng)驗(yàn)性估算，建立宏觀經(jīng)濟(jì)體制的數(shù)學(xué)模型，并用其分析經(jīng)濟(jì)波動(dòng)和經(jīng)濟(jì)政策，預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)趨勢(shì)，為政策提供者提供政策決策參考的模型。Klein-I

模型：Klein以美國(guó)1920-1941年的年度宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)為樣本，建立旨在分析美國(guó)在兩次世界大戰(zhàn)之間的經(jīng)濟(jì)發(fā)展的小型宏觀經(jīng)濟(jì)模型。該模型非常簡(jiǎn)單只有3個(gè)行為方程，但是它在宏觀計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展史上占有重要地位。以后的宏觀計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型大都是在此基礎(chǔ)上擴(kuò)充、改進(jìn)和發(fā)展起來(lái)的。以至于薩繆爾森認(rèn)為“美國(guó)的許多模型，剝到最后，發(fā)現(xiàn)都有一個(gè)小的Klein模型”。Klein-II

模型：二戰(zhàn)以后，由于美國(guó)經(jīng)濟(jì)環(huán)境的改變以及美國(guó)政府對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)的逐步干預(yù)，Klein-I模型不再適合美國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)現(xiàn)狀。所以Klein以1953-1984年美國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)為樣本，基于凱恩斯經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，建立了Klein-II模型。Lawrence

Klein美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家1980年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)時(shí)域分析方