時間序列分析TimeSeriesAnalysis02

時間序列分析的基礎(chǔ)概率分布與特征統(tǒng)計量，時間序列的平穩(wěn)性、純隨機性檢驗，線性差分方程DYMWUST第2章主要內(nèi)容平穩(wěn)性檢驗2.4時間序列的平穩(wěn)性概念2.3隨機過程2.1概率分布與特征統(tǒng)計量2.2白噪聲2.5時間序列的自回歸和移動平均2.6線性差分方程2.7

2.1隨機過程----2.1.1定義

2.1隨機過程---2.1.2矩統(tǒng)計量2.1隨機過程---2.1.3隨機過程的平穩(wěn)性

2.1隨機過程---2.1.3隨機過程的平穩(wěn)性如果一個過程有直至n階的混合矩，且矩不隨時間變化，則稱該過程是寬平穩(wěn)的。2.1隨機過程---2.1.3隨機過程的平穩(wěn)性當隨機過程的分布很難以獲得時，過程的平穩(wěn)性判斷難以進行。尤其對于非獨立同分布（i.i.d.）的時間序列，難以給出其分布函數(shù)，尤其時聯(lián)合分布函數(shù)。此時，我們通常根據(jù)過程的矩條件來判斷平穩(wěn)性。如果一個過程有直至n階的混合矩，且矩不隨時間變化，則稱該過程時寬平穩(wěn)的，實際中常取n=2。因此，一個二階寬屏問的過程有常數(shù)均值和方差，并且二階協(xié)方差是與時間t無關(guān)的常數(shù)。一階矩和二階矩有限的嚴平穩(wěn)過程也是寬平穩(wěn)過程，或稱協(xié)方差平穩(wěn)過程。一個嚴平穩(wěn)過程可能沒有有限的矩，如獨立同分布的柯西隨機變量形成的隨機過程，不存在混合矩，故雖然是嚴平穩(wěn)的，但不是任何階的寬平穩(wěn)隨機過程。

舉例舉例

第2章主要內(nèi)容平穩(wěn)性檢驗2.4時間序列的平穩(wěn)性概念2.3隨機過程2.1概率分布與特征統(tǒng)計量2.2白噪聲2.5時間序列的自回歸和移動平均2.6線性差分方程2.7從統(tǒng)計學(xué)角度來說，一個隨機變量X的第n階矩可以定義為：

隨機變量的1階矩叫做均值。隨機變量的2階矩叫做方差。隨機變量的3階矩又稱為偏度，它度量了隨機變量分布的非對稱程度。隨機變量的4階矩又稱峰度，其衡量隨機變量分布的尖峰程度或平坦程度。

隨機變量的矩2.2概率分布與特征統(tǒng)計量低階樣本矩:2.2概率分布與特征統(tǒng)計量有用的運算規(guī)則:小練習(xí)：2.2概率分布與特征統(tǒng)計量特征統(tǒng)計量均值函數(shù)

方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)

自相關(guān)(系數(shù))函數(shù)（ACF）為標準差函數(shù)特別地

特征統(tǒng)計量樣本的特征統(tǒng)計量

第2章主要內(nèi)容平穩(wěn)性檢驗2.4時間序列的平穩(wěn)性概念2.3隨機過程2.1概率分布與特征統(tǒng)計量2.2白噪聲2.5時間序列的自回歸和移動平均2.6線性差分方程2.72.3平穩(wěn)時間序列的定義嚴平穩(wěn)嚴平穩(wěn)是一種條件比較苛刻的平穩(wěn)性定義，它認為只有當序列所有的統(tǒng)計性質(zhì)都不會隨著時間的推移而發(fā)生變化時，該序列才能被認為平穩(wěn)。精確定義滿足如下條件的序列稱為嚴平穩(wěn)序列

寬平穩(wěn)寬平穩(wěn)是使用序列的特征統(tǒng)計量來定義的一種平穩(wěn)性。它認為序列的統(tǒng)計性質(zhì)主要由它的低階矩決定，所以只要保證序列低階矩平穩(wěn)（二階），就能保證序列的主要性質(zhì)近似穩(wěn)定。

滿足如下條件的序列稱為寬平穩(wěn)序列2.3平穩(wěn)時間序列的定義定義的理解（思考練習(xí)）1，設(shè)E(U)=E(V)=0,Var(U)=Var(V)=s2,E(UV)=0,Xt=Ucos(wt)+Vsin(wt),w是不為0的常數(shù)，則判斷Xt的平穩(wěn)性。2，練習(xí)：若X為平穩(wěn)序列，則其線性變換依然為平穩(wěn)序列。嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系一般關(guān)系嚴平穩(wěn)條件比寬平穩(wěn)條件苛刻，通常情況下，嚴平穩(wěn)（低階矩存在）能推出寬平穩(wěn)成立，而寬平穩(wěn)序列不能反推嚴平穩(wěn)成立特例不存在低階矩的嚴平穩(wěn)序列不滿足寬平穩(wěn)條件，例如服從柯西分布的嚴平穩(wěn)序列就不是寬平穩(wěn)序列當序列服從多元正態(tài)分布時，寬平穩(wěn)可以推出嚴平穩(wěn)1.嚴寬2.寬嚴3.嚴平穩(wěn)＋二階矩存在寬平穩(wěn)4.對于正態(tài)分布序列，嚴寬平穩(wěn)時間序列的統(tǒng)計性質(zhì)

常數(shù)均值常數(shù)方差

自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)只依賴于時間的平移長度（間隔）而與時間的起止點無關(guān)

延遲k自協(xié)方差函數(shù)

延遲k自相關(guān)系數(shù)注：平穩(wěn)序列經(jīng)過線性變換后依然是平穩(wěn)的。自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)規(guī)范性對稱性

非負定性

非唯一性

一個平穩(wěn)時間序列一定唯一決定了它的自相關(guān)函數(shù)，但一個自相關(guān)函數(shù)未必唯一對應(yīng)著一個平穩(wěn)時間序列。是非負定的，即對任一非零n維向量非負定性對n階自協(xié)方差陣平穩(wěn)性的重大意義在平穩(wěn)序列場合，序列的均值等于常數(shù)，這意味著原本含有可列多個隨機變量的均值序列變成了只含有一個變量的常數(shù)序列。原本每個隨機變量的均值（方差，自相關(guān)系數(shù)）只能依靠唯一的一個樣本觀察值去估計，現(xiàn)在由于平穩(wěn)性，每一個統(tǒng)計量都將擁有大量的樣本觀察值。這極大地減少了隨機變量的個數(shù)，并增加了待估變量的樣本容量。極大地簡化了時序分析的難度，同時也提高了對特征統(tǒng)計量的估計精度對于平穩(wěn)序列而言，有注：大多數(shù)軟件采用后一種來進行計算acvf和acf（保證正定性）第2章主要內(nèi)容平穩(wěn)性檢驗2.4時間序列的平穩(wěn)性概念2.3隨機過程2.1概率分布與特征統(tǒng)計量2.2白噪聲2.5時間序列的自回歸和移動平均2.6線性差分方程2.7時間序列的平穩(wěn)性檢驗檢驗方法方法一：圖檢驗時序圖檢驗自相關(guān)圖檢驗

方法三：PP檢驗KPSS檢驗2.4平穩(wěn)性檢驗

方法二：構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量進行假設(shè)檢驗單位根檢驗方法一：圖檢驗時序圖檢驗自相關(guān)圖檢驗2.4平穩(wěn)性檢驗平穩(wěn)性的時序圖檢驗時序圖檢驗原理：平穩(wěn)時間序列具有常數(shù)均值和方差。這意味著平穩(wěn)序列的時序圖應(yīng)該顯示出該序列始終在一個常數(shù)值附近波動，而且波動的范圍有界、無明顯趨勢及周期特征的特點。時序圖檢驗技巧如果序列的時序圖顯示出該序列有明顯的趨勢性或周期性，那該序列通常就不是平穩(wěn)序列。根據(jù)這個性質(zhì)，很多非平穩(wěn)序列，通過查看它的時序圖就可以直接識別出來。平穩(wěn)性檢驗（時序圖）例電力是國民經(jīng)濟的重要基礎(chǔ)工業(yè)，是能源行業(yè)的中心。一個國家的工業(yè)發(fā)展離不開電力事業(yè)的發(fā)展，隨著中國工業(yè)化的發(fā)展，中國的用電量也保持持續(xù)增長。我國現(xiàn)在的主要電力供應(yīng)來源主要包括風(fēng)電、火電、水電、光電等幾個方面。火電作為我國的主要供電來源，其發(fā)電量占我國發(fā)電量的80%，但由于發(fā)電的化石能源的不可再生性，以及火力發(fā)電帶來的環(huán)境污染。所以進入21世紀以來我國的新能源逐漸得到重視，風(fēng)電、光電、水電得到大力發(fā)展。收集了2016年5月至2021年9月我國的火電、水電、光電、風(fēng)電發(fā)電量數(shù)據(jù)序列，做出序列圖，如圖2-1所示。平穩(wěn)性檢驗（時序圖）直觀上看，風(fēng)電、火電、光電時間序列隨時間演進都呈現(xiàn)遞增趨勢，故非平穩(wěn)；水電序列表現(xiàn)出平穩(wěn)性。圖2-12016年5月至2021年9月我國的火電、水電、光電、風(fēng)電發(fā)電量時間序列圖R代碼實現(xiàn)如下：

library(xlsx)library(zoo)library(aTSA)library(forecast)data<-read.xlsx("C:/Users/20228/Desktop/power.xlsx",1)for(iin2:5)data[-1,i]<-na.spline(data[-1,i])#對數(shù)據(jù)進行樣條插值wind<-ts(data$wind,start=c(2016,5),frequency=12)fire<-ts(data$fire,start=c(2016,5),frequency=12)water<-ts(data$water,start=c(2016,5),frequency=12)sun<-ts(data$sun,start=c(2016,5),frequency=12)#將數(shù)據(jù)變?yōu)闀r間序列#時序圖par(mfrow=c(2,2))plot(wind,main='wind',col=1)plot(fire,main='fire',col=2)plot(water,main='water',col=3)plot(sun,main='sun',col=4)另一個例子太陽黑子時間序列。研究發(fā)現(xiàn)，太陽黑子的運動周期和農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的周期長度非常接近，這引起了英國天文學(xué)家、天王星的發(fā)現(xiàn)者威廉·赫歇爾（F.W.Herschel）的關(guān)注。十九世紀中后期，他發(fā)現(xiàn)當太陽黑子變少時，地球上的雨量也會減少。農(nóng)業(yè)生產(chǎn)會呈現(xiàn)出和太陽黑子近似的變化周期，從而可記錄太陽黑子隨時間變動的規(guī)律后，來指導(dǎo)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，增產(chǎn)增收，提高生活質(zhì)量。圖2.2太陽黑子的時序圖該序列呈現(xiàn)出穩(wěn)定狀態(tài)，圍繞著某一定值波動，且波動范圍有界。從而我們認為，太陽黑子序列為一平穩(wěn)時間序列。特殊的平穩(wěn)過程：白噪聲一個最簡單的隨機時間序列是一具有零均值同方差的獨立分布序列：Xt=

t

，

t~N(0,

2)該序列常被稱為是一個白噪聲（whitenoise）。

由于Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零,由定義,一個白噪聲序列是平穩(wěn)的。特殊的非平穩(wěn)過程：隨機游走序列另一個簡單的隨機時間列序被稱為隨機游走（randomwalk），該序列由如下隨機過程生成：Xt=Xt-1+

t這里，

t是一個白噪聲。容易知道該序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)為了檢驗該序列是否具有相同的方差，可假設(shè)Xt的初值為X0，則易知X1=X0+

1X2=X1+

2=X0+

1+

2

……Xt=X0+

1+

2+…+

t

由于X0為常數(shù)，

t是一個白噪聲，因此Var(Xt)=t

2

即Xt的方差與時間t有關(guān)而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)序列。特殊的非平穩(wěn)過程：隨機游走序列然而，對X取一階差分（firstdifference）:

Xt=Xt-Xt-1=

t由于

t是一個白噪聲，則序列{Xt}是平穩(wěn)的。后面將會看到:如果一個時間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。事實上，隨機游走過程是下面我們稱之為1階自回歸AR(1)過程的特例Xt=

Xt-1+

t

不難驗證:1)|

|>1時，該隨機過程生成的時間序列是發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升(

>1)或持續(xù)下降(

<-1)，因此是非平穩(wěn)的；2)

=1時，是一個隨機游走過程，也是非平穩(wěn)的自相關(guān)圖檢驗自相關(guān)圖自相關(guān)圖是一個平面二維坐標懸垂線圖，橫坐標表示延遲時期數(shù)，縱坐標表示自相關(guān)系數(shù)，懸垂線的長度表示自相關(guān)系數(shù)的大小.自相關(guān)圖檢驗技巧在下一章，我們會證明平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性.這就是我們利用自相關(guān)圖進行平穩(wěn)性判別的標準.該性質(zhì)用自相關(guān)系數(shù)來描述就是隨著延遲階數(shù)k的增加，平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)會很快地衰減向零;而非平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)衰減向零的速度通常比較慢。平穩(wěn)性檢驗（自相關(guān)圖）例考察2014-2019年我國進出口貿(mào)易月度數(shù)據(jù)時間序列，如圖2-3所示。原始序列圖顯示出一定的周期特征。圖2.4為該序列的自相關(guān)圖，該序列自相關(guān)系數(shù)長期位于零軸的一邊，這是具有單調(diào)趨勢的序列的典型特征，同時自相關(guān)圖呈現(xiàn)出明顯的正弦波動規(guī)律，這是具有周期變化規(guī)律的非平穩(wěn)序列的特征。平穩(wěn)性檢驗（自相關(guān)圖）圖2.3進出口貿(mào)易時間序列圖

圖2.4圖3序列的自相關(guān)圖該圖示的R代碼實現(xiàn)如下：

data<-read.xlsx("C:/Users/20228/Desktop/chapter2_data.xlsx",1)data<-ts(data,start=c(2014,7),frequency=12)plot(data)acf(data)圖2.5為北京市每年最高氣溫時序圖，從直觀觀察知，該序列平穩(wěn)；圖2.6展示的自相關(guān)圖，顯示出該序列的自相關(guān)系數(shù)迅速衰減至零左右，該序列為平穩(wěn)的。平穩(wěn)性檢驗（自相關(guān)圖）圖2.5北京市每年最高氣溫時序圖

圖2.6圖2..5的自相關(guān)圖例

今年在卡塔爾舉行的世界杯足球賽，震撼人心。我們用時間序列分析技術(shù)也來蹭一波熱度。

英格蘭足球超級聯(lián)賽中的曼聯(lián)隊是英超乃至全世界最成功的球隊之一，C羅、貝克漢姆、魯尼、拉什福德等眾多足球巨星曾效力于此。在英超28年的歷史上，曼聯(lián)奪得了13次英超冠軍，是英超當之無愧的霸主。雖然曼聯(lián)在傳奇教練弗格森爵士退休之后成績有所下滑，但仍是不可小覷的強隊。

為了研究曼聯(lián)在英超將近30年的進攻和防守水平，我們選取了1992-2018年進球數(shù)、失球數(shù),2006-2018年射門數(shù)、搶斷數(shù)等4項典型的數(shù)據(jù)來表示曼聯(lián)的進攻和防守水平，作出序列圖，檢驗平穩(wěn)性。平穩(wěn)性檢驗（自相關(guān)圖）顯然，序列的自相關(guān)程度會隨著滯后期數(shù)的增加而逐漸減弱，也即自相關(guān)性會隨著滯后階數(shù)的增加而逐漸衰減到零。平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)衰減的速度會很快，而非平穩(wěn)時間序列的衰減速度通常比較慢，自相關(guān)圖的這一特點一般作為判斷序列是否平穩(wěn)的依據(jù)之一。圖2-8中，兩條平行虛線是自相關(guān)系數(shù)兩倍標準差的參考線，自相關(guān)系數(shù)落在兩倍標準差范圍以外時，則認為自相關(guān)程度高，相關(guān)系數(shù)顯著非零；自相關(guān)系數(shù)落在兩倍標準差范圍以內(nèi)，則可認為該自相關(guān)系數(shù)很小，近似為零。圖2-8（a）中，滯后2階及以上的自相關(guān)系數(shù)都落入兩倍標準差范圍以內(nèi)，該序列平穩(wěn)；圖2-8（b）中，除0階外的自相關(guān)系數(shù)都在兩倍標準差范圍以內(nèi)，序列顯然平穩(wěn)；圖2-8（c）和圖2-8(d)的原始序列圖顯示出下降趨勢，表現(xiàn)為非平穩(wěn)，但是樣本自相關(guān)圖卻反映出平穩(wěn)性特征，這是因為數(shù)據(jù)序列比較短，短期內(nèi)難以直觀判斷出該序列的平穩(wěn)性。R代碼實現(xiàn)上述過程的R代碼如下：##做出序列圖繪制該序列時序圖，如圖2-7所示。goals<-ts(goals,start=1992)goalsconceded<-ts(goalsconceded,start=1992)goalsconceded<-ts(goalsconceded,start=1992)shots<-ts(shots,start=2006)tackles<-ts(tackles,start=2006)plot(goals)plot(goalsconceded)plot(shots)plot(tackles)Start=1992End=2018Frequency=1[1]678077737673809779877464587283806886788986646249546865[2]313828354426374531453435263427222428373343433735292854TimeSeries:Start=2006End=2018Frequency=1[3]698696715695618646561526512430591512526[4]890978741828693803731676739760690564581###做自相關(guān)圖acf(goals)acf(goalsconceded)acf(shots)acf(tackles)R代碼再來看一個例子1949年時，我國的鋼鐵產(chǎn)量一年也不過16萬噸。然而隨著一代又一代的發(fā)展，在2009年的時候，我國的鋼鐵產(chǎn)量就躍居到了世界第一。選取2000年3月至2020年12月每月的中國鋼材產(chǎn)量當期值，做時間序列圖及其自相關(guān)圖。圖2-9我國鋼材產(chǎn)量序列圖圖2-10我國鋼材產(chǎn)量序列的自相關(guān)圖

圖2-9顯示，我國鋼材產(chǎn)量呈現(xiàn)明顯上升趨勢，圖2-10顯示，自相關(guān)系數(shù)始終在兩倍標準差范圍以外，且衰減速度較慢，表現(xiàn)出明顯的非平穩(wěn)性。

方法二：構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量進行假設(shè)檢驗單位根檢驗2.4平穩(wěn)性檢驗單位根檢驗是構(gòu)造統(tǒng)計量進行序列平穩(wěn)性檢驗的最常用方法。它的理論基礎(chǔ)是：如果序列是平穩(wěn)的，那么該序列的所有特征根都應(yīng)該在單位圓內(nèi)?；谶@個性質(zhì)構(gòu)造的序列平穩(wěn)性檢驗方法叫作單位根檢驗。最早的單位根檢驗方法是由統(tǒng)計學(xué)家Dickey和Fuller提出來的，所以人們以他們名字的首字母DF命名了最早的平穩(wěn)性檢驗方法——DF檢驗。隨著學(xué)科的發(fā)展，后續(xù)又產(chǎn)生了很多種單位根檢驗方法，比如ADF檢驗，PP檢驗等等。2.4平穩(wěn)性檢驗（單位根檢驗）2.4平穩(wěn)性檢驗（單位根檢驗）DF檢驗是從最簡單的一種情況著手進行構(gòu)造的單位根檢驗方法。它假設(shè)序列只存在一階相關(guān)，即確定性部分可以只由過去一期的歷史數(shù)據(jù)描述，即序列可以表達為式中，

為序列的隨機部分，常常假設(shè)顯然該序列只有一個特征根，且特征根為通過檢驗特征根是在單位圓內(nèi)還是單位圓上（外）可以檢驗序列的平穩(wěn)性。由于現(xiàn)實生活中絕大多數(shù)序列都是非平穩(wěn)序列，所以單位根檢驗的原假設(shè)為序列非平穩(wěn)，備擇假設(shè)是序列平穩(wěn).2.4平穩(wěn)性檢驗（單位根檢驗）2.4平穩(wěn)性檢驗（單位根檢驗）2.4平穩(wěn)性檢驗（單位根檢驗）為了使DF檢驗?zāi)苓m用于任意期確定性信息提取，人們對DF檢驗進行了一定的修正，得到了增廣DF檢驗（augmentedDickey-Fuller）,簡記為ADF檢驗。2.4平穩(wěn)性檢驗（單位根檢驗）舉例對前例中的鋼材產(chǎn)量序列進行ADF檢驗，判斷該序列的平穩(wěn)性。舉例對1978-2020年中國貨物進出口總額的二階差分序列進行平穩(wěn)性檢驗。在顯著性水平為5%的條件下，該序列通過了平穩(wěn)性檢驗。2.4平穩(wěn)性檢驗

方法三：PP檢驗KPSS檢驗2.4平穩(wěn)性檢驗---PP檢驗使用ADF檢驗需要有一個基本的假定：，即等方差。因此，ADF檢驗只能適用于等方差的場合，對于異方差序列的平穩(wěn)性檢驗效果不佳。針對序列可能存在高階相關(guān)的情況，和可能是異方差的情形，Phillips和Perron千1988年對ADF檢驗進行了非參數(shù)修正，提出了Phillips-Perron檢驗，簡稱為PP檢驗。該檢驗的統(tǒng)計量（稱為Phillips-Perron檢驗統(tǒng)計量）即可適用于異方差場合的平穩(wěn)性檢驗，又服從相應(yīng)的ADF檢驗統(tǒng)計量的極限分布。

可以使用tseries程序包中的pp.test(）函數(shù)完成序列的PP檢驗，其使用格式為pp.test(x,alternative=c("stationary","explosive"),type=c("Z(alpha)","Z(t_alpha)"),lshort=TRUE)前2個參數(shù)的名稱、取值及意義與adf.test()函數(shù)相同舉例例

在R的airmiles的數(shù)據(jù)集中，記錄了1937年至1960年美國商業(yè)飛行的年乘客英里數(shù)，用PP檢驗(pp.test()函數(shù)）分析該序列是否為平穩(wěn)序列。>pp.test(airmiles)Phillips-PerronUnitRootTestdata:airmilesDickey-FullerZ(alpha)=-1.5491,Truncationlagparameter=2,p-value=0.9745Alternativehypothesis:stationary無法拒絕原假設(shè)，說明序列是非平穩(wěn)的再作另一個備擇假設(shè)檢驗>pp.test(airmiles,alternative="explosive")Phillips-PerronUnitRootTestdata:airmilesDickey-FullerZ(alpha)=-1.5491,Truncationlagparameter=2,p-value=0.02549alternativehypothesis:explosive拒絕原假設(shè)，說明序列有“爆炸式”的增長。舉例舉例例

用pp檢驗(pp.test(）函數(shù)）分析美國康涅狄格州NewHaven市的年平均氣溫序列（R的基本數(shù)據(jù)集nhtemp)是否為平穩(wěn)序列。>pp.test(nhtemp)Phillips-PerronUnitRootTestdata:nhtempDickey-FullerZ(alpha)"'-56.952,Truncationlagparameter"'3,p-value"'0.01Alternativehypothesis:stationary拒絕原假設(shè)，說明nhtemp數(shù)據(jù)集的序列是平穩(wěn)的。2.4平穩(wěn)性檢驗---KPSS檢驗Kwiatkowski等人(Kwiatkowski,Phillips,Schmidt和Shin)于1992年發(fā)展了與DF檢驗不同的單位根檢驗（稱為KPSS模型）。該檢驗的原假設(shè)或者是平穩(wěn)的，或者是趨勢平穩(wěn)的?？紤]序列滿足如下過程

2.4平穩(wěn)性檢驗---KPSS檢驗tseries程序包中的kpss.test(）函數(shù)提供了KPSS檢驗，其使用格式為kpss.test(x,null=c("Level","Trend"),lshort=TRUE)舉例用KPSS檢驗(kpss.test()函數(shù)）分析美國商業(yè)飛行的年乘客英里數(shù)序列（R的airmiles的數(shù)據(jù)集)是否為平穩(wěn)序列。KPSS檢驗的命令和計算結(jié)果如下：>kpss.test(AirPassengers)KPSSTestforLevelStationaritydata:AirPassengersKPSSLevel=4.3423,Truncationlagparameter=2,p-value=0.01>kpss.test(AirPassengers,null="Trend")KPSSTestforTrendStationaritydata:AirPassengersKPSSTrend=0.10264,Truncationlagparameter=2,p-value=0.1第一個檢驗結(jié)果是拒絕原假設(shè)，第二個檢驗結(jié)果是接受原假設(shè)，兩個檢驗結(jié)果得到的結(jié)論是，序列是非平穩(wěn)的，且具有線性增長趨勢。2.4平穩(wěn)性檢驗---KPSS檢驗舉例用KPSS檢驗(kpss.test()函數(shù)）分析美國康涅狄格州NewHaven市的年平均氣溫序列（R的基本數(shù)據(jù)集nhtemp)是否為平穩(wěn)序列。解KPSS檢驗的命令和計算結(jié)果如下：>kpss.test(nhtemp)KPSSTestforLevelStationaritydata:nhtempKPSSLevel=1.329,Truncationlagparameter=1,p-value=0.01>kpss.test(nhtemp,null="Trend")KPSSTestforTrendStationaritydata:nhtempKPSSTrend=0.11475,Truncationlagparameter=1,p-value=0.1第一個檢驗結(jié)果是拒絕原假設(shè)，第二個檢驗結(jié)果是接受原假設(shè)，說明序列是非平穩(wěn)的，且具有線性增長趨勢。這個結(jié)論與前面的分析結(jié)果不一致。說明在上述三種檢驗中，不同的檢驗方法可能會得出不同的結(jié)論，那么究竟哪一種檢驗的結(jié)果最適合于實際情況呢？還需要作進一步的分析。需要研究被檢驗的序列是否滿足檢驗的基本條件，例如，在序列不滿足等方差的條件下，PP檢驗要優(yōu)于ADF檢驗。第2章主要內(nèi)容平穩(wěn)性檢驗2.4時間序列的平穩(wěn)性概念2.3隨機過程2.1概率分布與特征統(tǒng)計量2.2白噪聲2.5時間序列的自回歸和移動平均2.6線性差分方程2.72.5白噪聲本節(jié)結(jié)構(gòu)純隨機序列的定義純隨機性的性質(zhì)純隨機性檢驗2.5.1純隨機序列的定義純隨機序列也稱為白噪聲序列，如果它滿足如下兩條性質(zhì)注：白噪聲序列是平穩(wěn)序列

例2-5R下模擬的白噪聲過程set.seed(100);x=rnorm(1000)par(mfrow=c(1,2))ts.plot(x);hist(x)舉例[例2-6]隨機產(chǎn)生1000個服從[0,1]區(qū)間上的均勻分布的白噪聲序列，繪制時序圖。uni<-runif(1000)uni<-ts(uni)plot(uni)白噪聲（純隨機）序列的性質(zhì)

純隨機性

各序列值之間沒有任何相關(guān)關(guān)系，即

白噪聲序列中的觀測值彼此之間不相關(guān)（獨立），沒有“記憶性”，因此也不能由其以前的信息來預(yù)測。方差齊性

根據(jù)馬爾可夫定理，只有方差齊性假定成立時，用最小二乘法得到的未知參數(shù)估計值才是準確的、有效的對于純隨機序列，由于沒有相關(guān)性，通常不再進行分析。Barlett定理

如果一個時間序列是純隨機的，得到一個觀察期數(shù)為n的觀察序列，那么該序列的延遲非零期的樣本自相關(guān)系數(shù)將近似服從均值為零，方差為序列觀察期數(shù)倒數(shù)的正態(tài)分布根據(jù)Barlett定理,我們可以構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量來檢驗序列的純隨機性純隨機性檢驗原理純隨機性檢驗原理：Barlett定理純隨機性檢驗也稱為白噪聲檢驗,是專門用來檢驗序列是否為純隨機序列的一種方法如果一個序列是純隨機序列,那么它的序列值之間應(yīng)該沒有任何相關(guān)關(guān)系,即滿足這是一種理論上才會出現(xiàn)的理想狀況。實際上,由于觀察值序列的有限性,純隨機序列的樣本自相關(guān)系數(shù)不會絕對為零。純隨機性檢驗

純隨機性檢驗的步驟純隨機性檢驗原定理純隨機性檢驗

純隨機性檢驗的步驟純隨機性檢驗原定理純隨機性檢驗

通常地，我們對檢驗序列的延遲6期、延遲12期等進行白噪聲檢驗，這里的延遲期數(shù)可以隨機選擇，但不宜選擇過大。因為平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性,如果序列值之間存在顯著的相關(guān)關(guān)系,通常只存在于延遲時期比較短的序列值之間。所以,如果一個平穩(wěn)序列短期延遲的序列值之間都不存在顯著的相關(guān)關(guān)系,通常長期延遲之間就可能更不會存在顯著的相關(guān)關(guān)系了。另一方面是因為,假如一個平穩(wěn)序列顯示出顯著的短期相關(guān)性,那么該序列就一定不是白噪聲序列,我們就可以對序列值之間存在的相關(guān)性進行分析。假如此時考慮的延遲時期數(shù)太長,反而可能淹沒了該序列的短期相關(guān)性。因為平穩(wěn)序列只要延遲時期足夠長,自相關(guān)系數(shù)都會收斂于零。純隨機性檢驗的統(tǒng)計量純隨機性檢驗原定理純隨機性檢驗

例

繪制標準正態(tài)白噪聲序列的樣本自相關(guān)圖。該序列樣本自相關(guān)圖顯示：這個純隨機序列沒有一個樣本自相關(guān)系數(shù)嚴格等于零。但這些自相關(guān)系數(shù)確實都非常小,都在零值附近以一個很小的幅度隨機波動。這就提醒我們應(yīng)該考慮樣本自相關(guān)系數(shù)的分布性質(zhì),從統(tǒng)計意義上判斷序列的純隨機性質(zhì)。自相關(guān)系數(shù)純隨機性檢驗

例（續(xù)）模擬產(chǎn)生的白噪聲序列檢驗結(jié)果延遲統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量值P值延遲6期5.94210.4297延遲12期14.5230.2686由于P值顯著大于顯著性水平，所以該序列不能拒絕純隨機的原假設(shè)。檢驗結(jié)果解讀由于LB檢驗統(tǒng)計量的P值顯著大于顯著性水平α,所以該序列不能拒絕純隨機的原假設(shè)。換言之,我們判斷該序列為白噪聲序列，認為該序列的波動沒有任何統(tǒng)計規(guī)律可循。還需要解釋的一點是,為什么在本例中只檢驗了前6期和前12期延遲的Q統(tǒng)計量就直接判斷該序列是白噪聲序列呢?為什么不進行全部999期延遲檢驗?zāi)?一方面,平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性。如果序列值之間存在顯著的相關(guān)關(guān)系,通常只存在于延遲時期比較短的序列值之間。所以,如果一個平穩(wěn)序列短期延遲的序列值之間都不存在顯著的相關(guān)關(guān)系,通常長期延遲之間就更不會存在顯著的相關(guān)關(guān)系了。另一方面,假如一個平穩(wěn)序列顯示出顯著的短期相關(guān)性,那么該序列就一定不是白噪聲序列,我們就可以對序列值之間存在的相關(guān)性進行分析。假如此時考慮的延遲時期數(shù)太長,反而可能淹沒了該序列的短期相關(guān)性。因為平穩(wěn)序列只要延遲時期足夠長,自相關(guān)系數(shù)都會收斂于零。例標準正態(tài)白噪聲序列純隨機性檢驗樣本自相關(guān)圖例對1900—1998年全球7級以上地震發(fā)生次數(shù)序列進行平穩(wěn)性和純隨機性檢驗。時序圖顯示該序列沒有明顯的趨勢和周期.自相關(guān)圖顯示，除了延遲1一5階的自相關(guān)系數(shù)在兩倍標準差之外，其他自相關(guān)系數(shù)均在兩倍標準差之內(nèi).我們可以認為該序列具有短期相關(guān)性.因此，我們可以判斷該序列為平穩(wěn)序列.例對1900—1998年全球7級以上地震發(fā)生次數(shù)序列進行純隨機性檢驗。檢驗結(jié)果顯示，延遲6階的LB統(tǒng)計量的P值顯著小于顯著性水平0.05，所以拒絕原假設(shè)，認為該序列為非白噪聲序列。本利通過圖檢驗和純隨機性檢驗，我們可以認為全球每年發(fā)生7.0+級地震次數(shù)序列是平穩(wěn)非白噪聲序列。在統(tǒng)計時序分析領(lǐng)域，平穩(wěn)非白噪聲序列被認為是值得分析且最容易分析的一種序列?！咀⒁狻繉τ谝粋€觀察值序列，一旦相關(guān)信息全部提取（通過擬合模型進行）完畢，則剩余的殘差序列應(yīng)具有純隨機性。所以檢驗?zāi)Ｐ蜌埐畹募冸S機性是用于判定序列相關(guān)信息是否提取充分（即模型好壞）的標準之一。對2009年1月-2020年1月中美匯率序列進行純隨機性檢驗pop<-read.table("D:/網(wǎng)頁下載/USD_CNY歷史數(shù)據(jù).csv",sep=",",header=T)pirce<-pop$closeHL<-ts(pirce,frequency=12,start=2009)plot(HL,main="匯率變動",xlab="年份",ylab="匯率變動量")for(iin1:2)print(Box.test(HL,type="Ljung-Box",lag=6*i))acf(HL)例Box-LjungtestData:2009年1月-2020年1月X-squared=664.74 df=6 P_value<2.2e-16X-squared=1029.8 Df=12 P_value<2.2e-16在0.05的顯著性水平下，拒絕原假設(shè)，表明該序列為非白噪聲序列。自相關(guān)圖顯示出該序列前后具有顯著的相關(guān)性，且緩慢衰減，直觀判斷該序列非平穩(wěn)。時間序列的預(yù)處理小結(jié)白噪聲平穩(wěn)純隨機性檢驗

非白噪聲平穩(wěn)性檢驗