教材回歸必記知識清單兩條直線的平行和垂直已知l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2.①l1∥l2?k1=k2,b1≠b2;②中點坐標公式與定比分點公式1.中點坐標公式:設P是線段P1P2的中點,點P1,P2的坐標分別是(x1,y1),(x2,y2),則P點坐標為x12.定比分點公式:設P是線段P1P2上的點,點P1,P2的坐標分別是(x1,y1),(x2,y2),若P1P=λP圓的方程(1)圓的標準方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圓心為(a,b),半徑為r.(2)圓的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).①當D2+E2-4F>0時,方程表示圓;②當D2+E2-4F=0時,方程表示點-D③當D2+E2-4F<0時,方程無幾何意義點與圓的位置關系點P(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置關系有三種:設d=(ad>r?點P在圓外;d=r?點P在圓上;d<r?點P在圓內距離公式①兩點A(x1,y1),B(x2,y2)間的距離dAB=(x②點(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離d=|A③兩平行線l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0間的距離d=|直線與圓的位置關系直線Ax+By+C=0與圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置關系有三種:設d=|Aa+Bb+C①相離?d>r?Δ<0;②相切?d=r?Δ=0;(求切線長,求切線方程)③相交?d<r?Δ>0.(求弦長,求弦所在直線的方程)弦心距公式圓與圓的位置關系圓(x-a)2+(y-b)2=r12(r1>0)與圓(x-c)2+(y-d)2=r22(r①外離?d>r1+r2;(有4條公切線)(求公切線方程)②外切?d=r1+r2;(有3條公切線)(求公切線方程)③相交?|r2-r1|<d<r1+r2;(有2條公切線)弦心距公式④內切?d=|r2-r1|;(有1條公切線)(求公切線方程)⑤內含?d<|r2-r1|.(沒有公切線)直線系、圓系方程①過直線m:A1x+B1y+C1=0與n:A2x+B2y+C2=0交點的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0;②過直線m:Ax+By+C=0與圓O:x2+y2+Dx+Ey+F=0交點的圓系方程為Ax+By+C+λ(x2+y2+Dx+Ey+F)=0(A,B不同時為0);③過圓O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0參數(shù)方程(1)直線l的參數(shù)方程為x=x0+at,y=(2)圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的參數(shù)方程為x=a+rcos(3)橢圓x2a2+y其中φ是動點M(x,y)所對應的圓的半徑的旋轉角.(4)雙曲線x2a2-y橢圓、雙曲線、拋物線的定義(1)橢圓的標準方程已知P為動點,F1,F2為定點,|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c.①若|PF1|+|PF2|>|F1F2|,即2a>2c,則動點P的軌跡為橢圓;②若|PF1|+|PF2|=|F1F2|,即2a=2c,則動點P的軌跡為線段F1F2;③若|PF1|+|PF2|<|F1F2|,即2a<2c,則動點P沒有軌跡,動點P沒有軌跡方程.(2)雙曲線的標準方程已知P為動點,F1,F2為定點,||PF1|-|PF2||=2a,|F1F2|=2c.①若||PF1|-|PF2||<|F1F2|,即2a<2c,則動點P的軌跡為雙曲線,若|PF1|-|PF2|<|F1F2|,則動點P的軌跡為雙曲線的一支;②若||PF1|-|PF2||=|F1F2|,即2a=2c,則動點P的軌跡為兩條射線;③若||PF1|-|PF2||<|F1F2|,即2a<2c,則動點P沒有軌跡,動點P沒有軌跡方程;④若||PF1|-|PF2||=0,即2a=0,則動點P的軌跡為線段F1F2的垂直平分線.(3)拋物線的幾何意義:拋物線上的點到焦點的距離等于它到準線的距離橢圓、雙曲線、拋物線的離心率離心率e=ca①橢圓:e∈(0,1),e越大橢圓越扁,e越小橢圓越圓;②拋物線:e=1;③雙曲線:e>1,e越大雙曲線開口越大,e越小雙曲線開口越小橢圓、雙曲線、拋物線的第二定義與焦半徑平面內到一個定點F與到一條定直線l(F不在l上)的距離的比等于常數(shù)e的點的軌跡.當0<e<1時,它是橢圓;當e>1時,它是雙曲線;當e=1時,它是拋物線.(其中e是圓錐曲線的離心率,定點F是圓錐曲線的焦點,定直線是圓錐曲線的準線)①橢圓的焦半徑:橢圓的焦點F1,F2在x軸上時(不妨設F1為左焦點,F2為右焦點),設P(x0,y0)為橢圓上一點,則|PF1|,|PF2|為橢圓的焦半徑,|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,且|PF1|∈[a-c,a+c],|PF2|∈[a-c,a+c].②雙曲線的焦半徑:雙曲線的焦點F1,F2在x軸上時(不妨設F1為左焦點,F2為右焦點),設P(x0,y0)為雙曲線上一點,則|PF1|,|PF2|為雙曲線的焦半徑,|PF1|=|ex0+a|,|PF2|=|ex0-a|且|PF1|∈[c-a,+∞),|PF2|∈[c-a,+∞).③拋物線的焦半徑:設拋物線方程為y2=2px(p>0),P(x0,y0)為拋物線上一點,F為拋物線的焦點,則|PF|為拋物線的焦半徑,且|PF|∈p2,+∞,|PF|=x即拋物線上的點到焦點的距離等于它到準線的距離圓錐曲線的第三定義平面內的動點到兩定點A1(-a,0),A2(a,0)的斜率乘積等于常數(shù)e2-1的點的軌跡叫作橢圓或雙曲線,其中兩個定點為橢圓或雙曲線的兩個頂點.如果常數(shù)e2-1>0,那么軌跡為雙曲線,如果e2-1∈(-1,0),那么軌跡為橢圓.反之,若橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),過原點的直線交橢圓于A,B兩點,P是橢圓上異于A,B的任一點,則有k若雙曲線的方程為x2a2-y2b2回歸教材本源本源一坐標法與曲線方程【教材來源】【高考真題】1-1[2022·北京卷]若直線2x+y-1=0是圓(x-a)2+y2=1的一條對稱軸,則a= ()A.12 B.-C.1 D.-11-2[2024·新課標Ⅱ卷]已知曲線C:x2+y2=16(y>0),從C上任意一點P向x軸作垂線PP',P'為垂足,則線段PP'的中點M的軌跡方程為 ()A.x216+y2B.x216+y2C.y216+x2D.y216+x21-3[2019·北京卷]數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,曲線C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如圖).給出下列三個結論:①曲線C恰好經過6個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點);②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過2;③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中,所有正確結論的序號是 ()A.① B.②C.①② D.①②③【拓展延伸】1.已知A,B分別為橢圓x22+y2=1的左、右頂點,P是橢圓在第一象限內的點,滿足|PA|=λ|PB|,且∠PBA=2∠PAB,則λ的值為2.(多選題)已知動點P到定點F(0,1)的距離與到定直線l:y=3的距離之和為4,記動點P的軌跡為曲線C,則下列結論正確的是 ()A.曲線C的方程為x2+(y-1)2=(4-|y-3|)2B.曲線C關于y軸對稱C.若點(x0,y0)在曲線C上,則-23<x0<23D.曲線C上的點到直線3x-y-15=0的距離的最大值為123.已知A(-a,0),B(a,0),a>0,曲線C的方程為(x2+y2)2+14=xx2+3y2.若C上存在點P,使得PA⊥PB,則log本源二平面幾何與解析幾何【教材來源】題組一點線位置【高考真題】2-1(多選題)[2021·新高考全國Ⅱ卷]已知直線l:ax+by-r2=0(r>0)與圓C:x2+y2=r2,點A(a,b),則下列說法正確的是 ()A.若點A在圓C上,則直線l與圓C相切B.若點A在圓C內,則直線l與圓C相離C.若點A在圓C外,則直線l與圓C相離D.若點A在直線l上,則直線l與圓C相切【拓展延伸】4.過點P(m,3)作圓C:(x+2)2+(y+2)2=1的一條切線,切點為Q,則|PQ|的最小值為 ()A.26 B.5C.26 D.4+2題組二線段、角度、三角狀態(tài)【高考真題】2-2[2019·全國卷Ⅰ]已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為 ()A.x22+y2=1 B.x2C.x24+y23=1 D.2-3(多選題)[2024·新課標Ⅱ卷]拋物線C:y2=4x的準線為l,P為C上動點,過P作☉A:x2+(y-4)2=1的一條切線,Q為切點,過P作l的垂線,垂足為B,則 ()A.l與☉A相切B.當P,A,B三點共線時,|PQ|=15C.當|PB|=2時,PA⊥ABD.滿足|PA|=