8.4.1平面——(教學(xué)方式：深化學(xué)習(xí)課—梯度進(jìn)階式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]1．借助日常生活中的實(shí)物，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義．2．了解基本事實(shí)1～3和確定平面的推論，掌握平面的畫(huà)法及表示方法．1．平面(1)畫(huà)法我們常用矩形的直觀圖，即________________表示平面．當(dāng)平面水平放置時(shí)，常把平行四邊形的一邊畫(huà)成________；當(dāng)平面豎直放置時(shí)，常把平行四邊形的一邊畫(huà)成________．(2)表示方法①用希臘字母____________等表示平面，如平面α，平面β，平面γ等，并將它寫(xiě)在代表平面的平行四邊形的一個(gè)______內(nèi)．②用代表平面的平行四邊形的________作為這個(gè)平面的名稱，如平面ABCD.③用代表平面的平行四邊形的相對(duì)的______表示的大寫(xiě)字母作為這個(gè)平面的名稱，如平面AC或者平面BD.2．平面的基本性質(zhì)及作用(1)基本事實(shí)項(xiàng)目文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言作用基本事實(shí)1過(guò)__________的三個(gè)點(diǎn)，________一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α①確定平面的依據(jù)②判定點(diǎn)線共面基本事實(shí)2如果一條直線上的______在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在_________A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?________①確定直線在平面內(nèi)的依據(jù)②判定點(diǎn)在平面內(nèi)基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的________P∈α且________?α∩β＝l，且P∈l①判定兩平面相交的依據(jù)②判定點(diǎn)在直線上(2)平面的基本事實(shí)的三個(gè)推論推論內(nèi)容圖形作用推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，_______平面確定平面的依據(jù)推論2經(jīng)過(guò)兩條__________，有且只有一個(gè)平面推論3經(jīng)過(guò)兩條__________，有且只有一個(gè)平面|微|點(diǎn)|助|解|準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)三個(gè)基本事實(shí)的意義和作用(1)要注意基本事實(shí)1的條件“不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)”，事實(shí)上，同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面．(2)從集合的角度看，基本事實(shí)2可以表述為：如果一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)屬于一個(gè)平面，那么這條直線就是這個(gè)平面的真子集．即整條直線在平面內(nèi)．(3)基本事實(shí)3反映了平面與平面的位置關(guān)系——相交，只要“兩平面共有一點(diǎn)”，就有“兩平面共有一條直線”，且點(diǎn)在直線上，直線是唯一的．eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練)1.如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為()A．平面MN B．平面NQPC．平面α D．平面MNPQ2．“直線a經(jīng)過(guò)平面α外一點(diǎn)P”用符號(hào)表示為()A．P∈a，a∥α B．a(chǎn)∩α＝PC．P∈a，P?α D．P∈a，a?α3．下列圖形中，不一定是平面圖形的是()A．三角形 B．菱形C．梯形 D．四條邊相等的四邊形題型(一)文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化[例1]用符號(hào)表示下列語(yǔ)句，并畫(huà)出圖形．(1)平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點(diǎn)A，B.(2)點(diǎn)A，B在平面α內(nèi)，直線a與平面α交于點(diǎn)C，點(diǎn)C不在直線AB上．聽(tīng)課記錄：|思|維|建|模|三種語(yǔ)言轉(zhuǎn)換的注意點(diǎn)(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示．(2)要注意符號(hào)語(yǔ)言的意義，如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”．(3)根據(jù)符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫(huà)相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別．[針對(duì)訓(xùn)練]1．如圖所示，用符號(hào)語(yǔ)言可表達(dá)為()A．α∩β＝m，n?α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n?α，A?m，A?nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n2．如果A點(diǎn)在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點(diǎn)B在α內(nèi)，可以用集合語(yǔ)言和符號(hào)表示為()A．A?a，a?α，B∈α B．A∈a，a?α，B∈αC．A?a，a∈α，B?α D．A∈a，a∈α，B∈α題型(二)點(diǎn)、線共面問(wèn)題[例2]如圖，已知a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQ?α.聽(tīng)課記錄：[變式拓展]將本例中的兩條平行線改為三條，即求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)，符號(hào)表示為已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：a，b，c和l共面．|思|維|建|模|證明點(diǎn)、線共面問(wèn)題的常用方法(1)先由部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面，再證其余的點(diǎn)、線都在這個(gè)平面內(nèi)，即用“納入法”；(2)先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面α，其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”；(3)假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出矛盾，即用“反證法”．[針對(duì)訓(xùn)練]3.已知A，B，C，D，E是空間五個(gè)點(diǎn)，且線段CE，AC和BD兩兩相交，求證：A，B，C，D，E這五個(gè)點(diǎn)在同一平面上．題型(三)點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問(wèn)題[例3]已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，求證：DE，BF，CC1三線交于一點(diǎn)．聽(tīng)課記錄：[變式拓展]本例條件增加“AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，若A1C交平面DBFE于點(diǎn)R，”其他條件不變，求證：P，Q，R三點(diǎn)共線．|思|維|建|模|1．證明三點(diǎn)共線的方法(1)首先找出兩個(gè)平面，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)基本事實(shí)3可知，這些點(diǎn)都在兩個(gè)平面的交線上．(2)選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一點(diǎn)也在此直線上．2．證明三線共點(diǎn)的步驟證明三線共點(diǎn)問(wèn)題可把其中一條作為分別過(guò)其余兩條直線的兩個(gè)平面的交線，然后再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上．[針對(duì)訓(xùn)練]4.如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點(diǎn)E，G，H，F(xiàn)，求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線．eq\a\vs4\al(課下請(qǐng)完成課時(shí)跟蹤檢測(cè)二十八)8．4.1平面課前預(yù)知教材1．(1)平行四邊形橫向豎向(2)①α、β、γ角②四個(gè)頂點(diǎn)③兩個(gè)頂點(diǎn)2．(1)不在一條直線上有且只有兩個(gè)點(diǎn)這個(gè)平面內(nèi)l?α公共直線P∈β(2)有且只有一個(gè)相交直線平行直線[基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練]1．選A表示平面不能用一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)表示，但可以表示為平面MP.故選A.2．選C由于點(diǎn)P在平面α外，所以有P?α.又直線a經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，所以P∈a.故選C.3．選D三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為不共線的三點(diǎn)，因此一定是平面圖形；菱形、梯形分別有兩組、一組對(duì)邊平行，故為平面圖形；四邊相等的四邊形可能為空間四邊形．課堂題點(diǎn)研究[題型(一)][例1]解：(1)用符號(hào)表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖．(2)用符號(hào)表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如圖．[針對(duì)訓(xùn)練]1．選A如題圖所示，兩個(gè)平面α與β相交于直線m，直線n在平面α內(nèi)，直線m和直線n相交于點(diǎn)A，故用符號(hào)語(yǔ)言可表達(dá)為α∩β＝m，n?α，m∩n＝A.2．選BA點(diǎn)在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點(diǎn)B在α內(nèi)，表示為A∈a，a?α，B∈α.[題型(二)][例2]證明：因?yàn)镻Q∥a，所以PQ與a確定一個(gè)平面β.所以直線a?β，點(diǎn)P∈β.因?yàn)镻∈b，b?α，所以P∈α.又因?yàn)閍?α，P?a，所以α與β重合，所以PQ?α.[變式拓展]證明：如圖，∵a∥b，∴a與b確定一個(gè)平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α.∵b∥c，∴b與c確定一個(gè)平面β，同理l?β.∵平面α與β都包含l和b，且b∩l＝B，由基本事實(shí)1的推論知，經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面，∴平面α與平面β重合．∴a，b，c和l共面．[針對(duì)訓(xùn)練]3．證明：設(shè)CE∩BD＝M，CA∩BD＝N，∵CA∩CE＝C，∴CA，CE確定一個(gè)平面α.∵M(jìn)∈CE，∴M∈α，同理N∈α.∴直線MN即直線BD?α，∴B∈α，D∈α.∴A，B，C，D，E這五個(gè)點(diǎn)在同一平面上．[題型(三)][例3]證明：因?yàn)镋F∥BD且EF＜BD，所以DE與BF相交，設(shè)交點(diǎn)為M，則由M∈DE，DE?平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1.同理，點(diǎn)M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三線交于一點(diǎn)M.[變式拓展]證明：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)平面AA1C1C為α，平面BDEF為β.因?yàn)镼∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α與β的公共點(diǎn)．同理，P也是α與β的公共點(diǎn)．所以α∩β＝PQ