時(shí)間序列分析張成思2

第8章向量自回歸(VAR)模型

8.1VAR模型介紹

8.2VAR模型的估計(jì)與相關(guān)檢驗(yàn)

8.3格蘭杰因果關(guān)系

8.4VAR模型與脈沖響應(yīng)分析

8.5VAR模型與方差分解8.1VAR模型介紹8.1.1VAR模型的基本概念如果使用滯后算子

8.1.2VAR模型的平穩(wěn)性條件對(duì)于一個(gè)VAR(p)模型,其平穩(wěn)性條件是換成等同的判斷方法的所有根都落在單位圓內(nèi),那么對(duì)應(yīng)的VAR(p)模型是平穩(wěn)的

為了深入地理解VAR模型的平穩(wěn)性條件，為了考慮含有2個(gè)變量的簡單VAR（1）模型：

在上面給出的例子中，很明顯第一個(gè)等式的自回歸系數(shù)是1()，但是整個(gè)VAR(1)系統(tǒng)是平穩(wěn)的！所以，整個(gè)VAR模型系統(tǒng)的平穩(wěn)與否，千萬不能單憑某一個(gè)等式中的自回歸系數(shù)判斷，而是要考慮整個(gè)系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件。這是因?yàn)椋谥豢紤]單個(gè)等式中的某個(gè)自回歸系數(shù)時(shí)，卻忽略了

和

之間的互動(dòng)關(guān)系，整個(gè)VAR模型是一個(gè)互動(dòng)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)！另外一個(gè)例子

8.1.3VAR(p)模型與VAR(1)的轉(zhuǎn)化8.1.4向量自協(xié)方差和向量自相關(guān)函數(shù)

用自協(xié)方差除以方差矩陣對(duì)應(yīng)的對(duì)角線元素，就可以獲得向量自相關(guān)函數(shù)VACF。

8.1.5VAR模型與VMA模型的轉(zhuǎn)化VMA過程，就是用向量形式表示的移動(dòng)平均過程，在這樣的移動(dòng)平均過程中，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)以向量白噪音的形式出現(xiàn)。所以，一個(gè)VMA(q)過程的定義為：其中，表示常數(shù)向量，表示系數(shù)矩陣，仍然表示向量白噪音。

8.1.5.1VAR(1)模型的轉(zhuǎn)化8.1.5.2VAR(p)模型的轉(zhuǎn)化滯后算子多項(xiàng)式的性質(zhì)

關(guān)于VMA，以下幾點(diǎn)需要注意:

第一，因?yàn)榫仃嘑是由VAR模型中的系數(shù)組成的，所以，

是這些系數(shù)的非線性函數(shù)。

第二，在VMA模型中，方程右側(cè)只有向量白噪音過程（和均值

）

出現(xiàn)。這可以理解為，當(dāng)滯后項(xiàng)

經(jīng)過反復(fù)迭代之后都從VAR(p)中被替換掉了。8.2VAR模型的估計(jì)與相關(guān)檢驗(yàn)8.2.1VAR模型的估計(jì)方法

雖然VAR模型系統(tǒng)比一維模型看上去復(fù)雜得多，但是用來估計(jì)VAR的方法卻并不一定很繁難。常見的估計(jì)方法包括最大似然估計(jì)和常見的最小二乘估計(jì)。在特定條件下，極大似然估計(jì)與普通最小二乘估計(jì)獲得的系數(shù)是完全相同的。估計(jì)方法

如果熟悉OLS估計(jì)的系數(shù)矩陣表達(dá)式，很容易看出，模型(10.45)就等于OLS估計(jì)的系數(shù)矩陣。將

的第j行明確地寫出來，則為：

可以看出，模型(10.46)對(duì)應(yīng)的正是利用OLS方法，

對(duì)

進(jìn)行回歸得到的系數(shù)估計(jì)值。

8.2.2VAR模型的設(shè)定

8.2.2.1使用平穩(wěn)變量還是非平穩(wěn)變量Sims,Stock,和Watson(1990)提出，非平穩(wěn)序列仍然可以放在VAR模型中，通過估計(jì)結(jié)果分析經(jīng)濟(jì)、金融含義。

但是，如果利用VAR模型分析實(shí)際問題時(shí)，使用非平穩(wěn)序列變量，卻會(huì)帶來統(tǒng)計(jì)推斷方面的麻煩，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)推斷要求分析的所有序列必須都是平穩(wěn)序列。

作為指導(dǎo)性的原則，如果要分析不同變量之間可能存在的長期均衡關(guān)系，則可以直接選用非平穩(wěn)序列；而如果分析的是短期的互動(dòng)關(guān)系，則選用平穩(wěn)序列，對(duì)于涉及到的非平穩(wěn)序列，必須先進(jìn)行差分或去除趨勢使其轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的平穩(wěn)序列，然后包含在VAR模型中進(jìn)行進(jìn)一步分析。

8.2.2.2VAR模型中變量的選擇VAR模型中選擇哪些變量來進(jìn)行分析，一般來說沒有確定性地嚴(yán)格規(guī)定。變量的選擇需要根據(jù)經(jīng)濟(jì)、金融理論，同時(shí)還需要考慮手中的樣本大小。8.2.2.3VAR模型中滯后期數(shù)的選擇

b)似然比率檢驗(yàn)法，即LikelihoodRatio(LR)檢驗(yàn)

簡單地說，LR檢驗(yàn)法就是比較不同滯后期數(shù)對(duì)應(yīng)的似然函數(shù)值。

具體地說，考慮VAR與VAR，并且

。這樣，分別估計(jì)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)VAR系統(tǒng)，獲得相應(yīng)的

和

。LR檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量定義為：

實(shí)際應(yīng)用中，首先需要給定一個(gè)最大的滯后期數(shù)，然后循環(huán)運(yùn)用LR檢驗(yàn)來判斷最優(yōu)滯后期數(shù)。正因?yàn)槿绱?，有些?jì)量軟件的輸出結(jié)果會(huì)顯示“sequentialLRtest”（循環(huán)LR檢驗(yàn)）的字樣，實(shí)際上就是循環(huán)地應(yīng)用了以上介紹的LR檢驗(yàn)過程。

最大滯后期數(shù)的設(shè)定具有一定的主觀性。但是，通常可以根據(jù)分析的數(shù)據(jù)的頻率來確定。

例如，對(duì)于月度數(shù)據(jù)，可以考慮12、18或者24期為最大滯后期數(shù)；對(duì)于季度數(shù)據(jù)，一般可以先給定一個(gè)最大的4或8期滯后期；對(duì)于年度數(shù)據(jù)，可以考慮2、3或者4為最大滯后期數(shù)。

FinalPredictionError(FPE)Hannan-Quinn(HQ)

很多情況下，不同的準(zhǔn)則或檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量選擇的最優(yōu)滯后期數(shù)可能會(huì)不同。在這種情況下，我們可以根據(jù)“多數(shù)原則”，即超過半數(shù)以上的可用判斷準(zhǔn)則指向的那個(gè)滯后期數(shù)，很可能就是一個(gè)最優(yōu)的選擇。

如果利用這個(gè)原則仍然無法判斷，則可以對(duì)不同滯后期的VAR模型進(jìn)行回歸估計(jì)，然后考查結(jié)果是否對(duì)滯后期很敏感，不同滯后期對(duì)分析的問題的結(jié)論是否影響很大。這樣的過程實(shí)際上就是所謂的穩(wěn)健性檢驗(yàn)過程。表8-2EViewsVAR模型滯后期數(shù)的判斷結(jié)果

8.3格蘭杰因果關(guān)系

從計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展的歷史來看，格蘭杰因果關(guān)系的概念要早于VAR模型。

格蘭杰因果關(guān)系檢驗(yàn)經(jīng)常被解釋為在VAR模型中，某個(gè)變量是否可以用來提高對(duì)其他相關(guān)變量的預(yù)測能力。所以，“格蘭杰因果關(guān)系”的實(shí)質(zhì)是一種“預(yù)測”關(guān)系，而并非真正漢語意義上的“因果關(guān)系”。考慮一個(gè)簡單的兩個(gè)變量的VAR(p)模型如果原假設(shè)成立，則有：如何檢驗(yàn)y2t是不是y1t的格蘭杰因果關(guān)系

在VAR的相關(guān)內(nèi)容中，與格蘭杰因果關(guān)系一個(gè)相關(guān)的概念就是所謂的blockexogeneity檢驗(yàn)，翻譯過來可以稱為“區(qū)塊外生性”或“一攬子”外生性檢驗(yàn)。在選擇VAR模型中是否要包含額外的變量時(shí)，經(jīng)常使用blockexogeneity檢驗(yàn)。

表8-3格蘭杰因果關(guān)系LR檢驗(yàn)結(jié)果8.4VAR模型與脈沖響應(yīng)分析8.4.1VAR模型中的脈沖響應(yīng)介紹

在很多情況下，VAR模型中的各個(gè)等式中的系數(shù)并不是研究者關(guān)注的對(duì)象，其主要原因就是VAR模型系統(tǒng)中的系數(shù)往往非常多。經(jīng)濟(jì)學(xué)家和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)者經(jīng)常使用脈沖響應(yīng)函數(shù)來解釋VAR模型的經(jīng)濟(jì)學(xué)上的含義。圖8-3EViews中VAR脈沖響應(yīng)分析的菜單界面8.4.2簡單脈沖響應(yīng)函數(shù)

這里介紹的簡單IRF包括兩種形式：一是所謂的單位殘差脈沖響應(yīng)函數(shù)；另一個(gè)是單位標(biāo)準(zhǔn)差脈沖響應(yīng)函數(shù)。

8.4.2.1單位殘差脈沖響應(yīng)函數(shù)

8.4.2.2單位標(biāo)準(zhǔn)差脈沖響應(yīng)函數(shù)

從模型(8.67)可以看到，當(dāng)隨機(jī)沖擊為單位1時(shí)，即

時(shí)，其影響馬上就能體現(xiàn)在模型(8.67)中。但是，因?yàn)閂AR模型中的變量之間是線性關(guān)系，所以這種影響的大小會(huì)隨隨機(jī)沖擊的單位變化而變化。為此，經(jīng)常使用的是隨機(jī)沖擊的一個(gè)單位的標(biāo)準(zhǔn)差。

所以，單位標(biāo)準(zhǔn)差I(lǐng)RF的定義是變量在受到隨機(jī)沖擊一個(gè)單位標(biāo)準(zhǔn)差的變化后的動(dòng)態(tài)變化路徑。在這種IRF的計(jì)算過程中，同樣不考慮各個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)之間的相關(guān)性（即假定相關(guān)性為0）。

8.4.3正交脈沖響應(yīng)函數(shù)

在簡單IRF的介紹中，實(shí)際上有一個(gè)非常強(qiáng)假設(shè)，就是我們假設(shè)當(dāng)

發(fā)生變化時(shí)，如變化了一個(gè)單位或者一個(gè)單位的標(biāo)準(zhǔn)差，其他的擾動(dòng)項(xiàng)的變化為0。這種假設(shè)實(shí)質(zhì)上是假定擾動(dòng)項(xiàng)的方差-協(xié)方差矩陣為對(duì)角矩陣，即：

但一般情況下，這個(gè)方差—協(xié)方差矩陣卻并不是一個(gè)對(duì)角矩陣。解決這個(gè)問題的辦法之一就是使用所謂的“正交脈沖響應(yīng)函數(shù)”。正交IRF的基本思想是依據(jù)VAR模型中變量的排列順序，將互相有相關(guān)性的擾動(dòng)項(xiàng)

轉(zhuǎn)化成不相關(guān)的一組隨機(jī)干擾項(xiàng)

，這種互不相關(guān)的特性在計(jì)量經(jīng)濟(jì)里稱為“正交”。

如果我們能夠找到這樣的

，則有

。

這樣，就可以分析VAR模型中的變量在受到1個(gè)單位的

的沖擊后的動(dòng)態(tài)路徑了，這就是正交IRF。

從上面的分析不難看到，關(guān)鍵是要將相關(guān)的擾動(dòng)項(xiàng)向量分解成不相關(guān)的擾動(dòng)項(xiàng)向量。到目前為止有以下幾種常用的分解方法。

8.4.3.1三角分解

的沖擊對(duì)

的影響，就可以通過正交IRF計(jì)算，即：8.4.3.2喬利斯基分解

設(shè)

表示一個(gè)對(duì)角矩陣，對(duì)角線

位

置的元素等于

的標(biāo)準(zhǔn)差。這樣，就可以將模型

重新寫成：

其中：

。

8.4.3.3

廣義脈沖響應(yīng)函數(shù)

上文已經(jīng)介紹過，正交IRF的一個(gè)主要問題是其對(duì)VAR模型中變量排序比較敏感。為了克服這一問題，PesaranandShin(1998)在一篇快訊文章中（EconomicsLetters）提出了一種新方法，用以構(gòu)建隨機(jī)沖擊項(xiàng)的一系列正交集。該方法稱為廣義IRF。這種方法不需要將所有沖擊項(xiàng)都正交化，并且不受

VAR模型中變量的排序影響。8.4.3.4使用者自定義的脈沖響應(yīng)函數(shù)

有些軟件，如EViews，還為實(shí)踐者提供了自行設(shè)立脈沖響應(yīng)的選項(xiàng)。你需要在相應(yīng)的編輯窗口給出用來保存脈沖響應(yīng)函數(shù)的矩陣或者是向量。但是要注意，如果VAR模型有n個(gè)內(nèi)生變量，那么脈沖響應(yīng)函數(shù)的矩陣必須具有n行、1或n列，這樣，每一列便對(duì)應(yīng)一個(gè)脈沖函數(shù)向量。

8.5VAR模型與方差分解所謂方差分解，就是指我們希望知道一個(gè)沖擊要素

的方差能由其他隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)解釋多少。通過獲得這個(gè)信息，我們可以獲知每個(gè)特定的沖擊因素對(duì)于

的相對(duì)重要性。

未來h期預(yù)測所對(duì)應(yīng)的均方差：

未來h期預(yù)測對(duì)應(yīng)的均方差的表達(dá)式為

因此，第j個(gè)正交沖擊項(xiàng)對(duì)未來h期預(yù)測的均方差的貢獻(xiàn)為

方差分解的結(jié)果有時(shí)候?qū)AR模型中變量的排序很敏感。然而，正如Enders(2004,p.280)所指出的，無論是正交脈沖響應(yīng)還是方差分解，在研究經(jīng)濟(jì)變量之間的互動(dòng)關(guān)系時(shí)還是非常有幫助的。特別是，當(dāng)VAR系統(tǒng)中各個(gè)等式中的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)彼此之間的相關(guān)性比較小時(shí)，脈沖響應(yīng)和方差分解受變量排序的影響就非常小了。在一個(gè)極端情況下，VAR系統(tǒng)中的各個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)彼此正交，互不相關(guān)，那么