時間序列分析2

第8章向量自回歸(VAR)模型

8.1VAR模型介紹

8.2VAR模型的估計與相關檢驗

8.3格蘭杰因果關系

8.4VAR模型與脈沖響應分析

8.5VAR模型與方差分解8.1VAR模型介紹8.1.1VAR模型的基本概念如果使用滯后算子

8.1.2VAR模型的平穩(wěn)性條件對于一個VAR(p)模型,其平穩(wěn)性條件是換成等同的判斷方法的所有根都落在單位圓內,那么對應的VAR(p)模型是平穩(wěn)的

為了深入地理解VAR模型的平穩(wěn)性條件，為了考慮含有2個變量的簡單VAR（1）模型：

在上面給出的例子中，很明顯第一個等式的自回歸系數(shù)是1()，但是整個VAR(1)系統(tǒng)是平穩(wěn)的！所以，整個VAR模型系統(tǒng)的平穩(wěn)與否，千萬不能單憑某一個等式中的自回歸系數(shù)判斷，而是要考慮整個系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件。這是因為，在只考慮單個等式中的某個自回歸系數(shù)時，卻忽略了

和

之間的互動關系，整個VAR模型是一個互動的動態(tài)系統(tǒng)！另外一個例子

8.1.3VAR(p)模型與VAR(1)的轉化8.1.4向量自協(xié)方差和向量自相關函數(shù)

用自協(xié)方差除以方差矩陣對應的對角線元素，就可以獲得向量自相關函數(shù)VACF。

8.1.5VAR模型與VMA模型的轉化VMA過程，就是用向量形式表示的移動平均過程，在這樣的移動平均過程中，隨機擾動項以向量白噪音的形式出現(xiàn)。所以，一個VMA(q)過程的定義為：其中，表示常數(shù)向量，表示系數(shù)矩陣，仍然表示向量白噪音。

8.1.5.1VAR(1)模型的轉化8.1.5.2VAR(p)模型的轉化滯后算子多項式的性質

關于VMA，以下幾點需要注意:

第一，因為矩陣F是由VAR模型中的系數(shù)組成的，所以，

是這些系數(shù)的非線性函數(shù)。

第二，在VMA模型中，方程右側只有向量白噪音過程（和均值

）

出現(xiàn)。這可以理解為，當滯后項

經(jīng)過反復迭代之后都從VAR(p)中被替換掉了。8.2VAR模型的估計與相關檢驗8.2.1VAR模型的估計方法

雖然VAR模型系統(tǒng)比一維模型看上去復雜得多，但是用來估計VAR的方法卻并不一定很繁難。常見的估計方法包括最大似然估計和常見的最小二乘估計。在特定條件下，極大似然估計與普通最小二乘估計獲得的系數(shù)是完全相同的。估計方法

如果熟悉OLS估計的系數(shù)矩陣表達式，很容易看出，模型(10.45)就等于OLS估計的系數(shù)矩陣。將

的第j行明確地寫出來，則為：

可以看出，模型(10.46)對應的正是利用OLS方法，

對

進行回歸得到的系數(shù)估計值。

8.2.2VAR模型的設定

8.2.2.1使用平穩(wěn)變量還是非平穩(wěn)變量Sims,Stock,和Watson(1990)提出，非平穩(wěn)序列仍然可以放在VAR模型中，通過估計結果分析經(jīng)濟、金融含義。

但是，如果利用VAR模型分析實際問題時，使用非平穩(wěn)序列變量，卻會帶來統(tǒng)計推斷方面的麻煩，因為標準的統(tǒng)計檢驗和統(tǒng)計推斷要求分析的所有序列必須都是平穩(wěn)序列。

作為指導性的原則，如果要分析不同變量之間可能存在的長期均衡關系，則可以直接選用非平穩(wěn)序列；而如果分析的是短期的互動關系，則選用平穩(wěn)序列，對于涉及到的非平穩(wěn)序列，必須先進行差分或去除趨勢使其轉化成對應的平穩(wěn)序列，然后包含在VAR模型中進行進一步分析。

8.2.2.2VAR模型中變量的選擇VAR模型中選擇哪些變量來進行分析，一般來說沒有確定性地嚴格規(guī)定。變量的選擇需要根據(jù)經(jīng)濟、金融理論，同時還需要考慮手中的樣本大小。8.2.2.3VAR模型中滯后期數(shù)的選擇

b)似然比率檢驗法，即LikelihoodRatio(LR)檢驗

簡單地說，LR檢驗法就是比較不同滯后期數(shù)對應的似然函數(shù)值。

具體地說，考慮VAR與VAR，并且

。這樣，分別估計對應的兩個VAR系統(tǒng)，獲得相應的

和

。LR檢驗統(tǒng)計量定義為：

實際應用中，首先需要給定一個最大的滯后期數(shù)，然后循環(huán)運用LR檢驗來判斷最優(yōu)滯后期數(shù)。正因為如此，有些計量軟件的輸出結果會顯示“sequentialLRtest”（循環(huán)LR檢驗）的字樣，實際上就是循環(huán)地應用了以上介紹的LR檢驗過程。

最大滯后期數(shù)的設定具有一定的主觀性。但是，通?？梢愿鶕?jù)分析的數(shù)據(jù)的頻率來確定。

例如，對于月度數(shù)據(jù)，可以考慮12、18或者24期為最大滯后期數(shù)；對于季度數(shù)據(jù)，一般可以先給定一個最大的4或8期滯后期；對于年度數(shù)據(jù)，可以考慮2、3或者4為最大滯后期數(shù)。

FinalPredictionError(FPE)Hannan-Quinn(HQ)

很多情況下，不同的準則或檢驗統(tǒng)計量選擇的最優(yōu)滯后期數(shù)可能會不同。在這種情況下，我們可以根據(jù)“多數(shù)原則”，即超過半數(shù)以上的可用判斷準則指向的那個滯后期數(shù)，很可能就是一個最優(yōu)的選擇。

如果利用這個原則仍然無法判斷，則可以對不同滯后期的VAR模型進行回歸估計，然后考查結果是否對滯后期很敏感，不同滯后期對分析的問題的結論是否影響很大。這樣的過程實際上就是所謂的穩(wěn)健性檢驗過程。表8-2EViewsVAR模型滯后期數(shù)的判斷結果

8.3格蘭杰因果關系

從計量經(jīng)濟學發(fā)展的歷史來看，格蘭杰因果關系的概念要早于VAR模型。

格蘭杰因果關系檢驗經(jīng)常被解釋為在VAR模型中，某個變量是否可以用來提高對其他相關變量的預測能力。所以，“格蘭杰因果關系”的實質是一種“預測”關系，而并非真正漢語意義上的“因果關系”?？紤]一個簡單的兩個變量的VAR(p)模型如果原假設成立，則有：如何檢驗y2t是不是y1t的格蘭杰因果關系

在VAR的相關內容中，與格蘭杰因果關系一個相關的概念就是所謂的blockexogeneity檢驗，翻譯過來可以稱為“區(qū)塊外生性”或“一攬子”外生性檢驗。在選擇VAR模型中是否要包含額外的變量時，經(jīng)常使用blockexogeneity檢驗。

表8-3格蘭杰因果關系LR檢驗結果8.4VAR模型與脈沖響應分析8.4.1VAR模型中的脈沖響應介紹

在很多情況下，VAR模型中的各個等式中的系數(shù)并不是研究者關注的對象，其主要原因就是VAR模型系統(tǒng)中的系數(shù)往往非常多。經(jīng)濟學家和計量經(jīng)濟學者經(jīng)常使用脈沖響應函數(shù)來解釋VAR模型的經(jīng)濟學上的含義。圖8-3EViews中VAR脈沖響應分析的菜單界面8.4.2簡單脈沖響應函數(shù)

這里介紹的簡單IRF包括兩種形式：一是所謂的單位殘差脈沖響應函數(shù)；另一個是單位標準差脈沖響應函數(shù)。

8.4.2.1單位殘差脈沖響應函數(shù)

8.4.2.2單位標準差脈沖響應函數(shù)

從模型(8.67)可以看到，當隨機沖擊為單位1時，即

時，其影響馬上就能體現(xiàn)在模型(8.67)中。但是，因為VAR模型中的變量之間是線性關系，所以這種影響的大小會隨隨機沖擊的單位變化而變化。為此，經(jīng)常使用的是隨機沖擊的一個單位的標準差。

所以，單位標準差IRF的定義是變量在受到隨機沖擊一個單位標準差的變化后的動態(tài)變化路徑。在這種IRF的計算過程中，同樣不考慮各個隨機擾動項之間的相關性（即假定相關性為0）。

8.4.3正交脈沖響應函數(shù)

在簡單IRF的介紹中，實際上有一個非常強假設，就是我們假設當

發(fā)生變化時，如變化了一個單位或者一個單位的標準差，其他的擾動項的變化為0。這種假設實質上是假定擾動項的方差-協(xié)方差矩陣為對角矩陣，即：

但一般情況下，這個方差—協(xié)方差矩陣卻并不是一個對角矩陣。解決這個問題的辦法之一就是使用所謂的“正交脈沖響應函數(shù)”。正交IRF的基本思想是依據(jù)VAR模型中變量的排列順序，將互相有相關性的擾動項

轉化成不相關的一組隨機干擾項

，這種互不相關的特性在計量經(jīng)濟里稱為“正交”。

如果我們能夠找到這樣的

，則有

。

這樣，就可以分析VAR模型中的變量在受到1個單位的

的沖擊后的動態(tài)路徑了，這就是正交IRF。

從上面的分析不難看到，關鍵是要將相關的擾動項向量分解成不相關的擾動項向量。到目前為止有以下幾種常用的分解方法。

8.4.3.1三角分解

的沖擊對

的影響，就可以通過正交IRF計算，即：8.4.3.2喬利斯基分解

設

表示一個對角矩陣，對角線

位

置的元素等于

的標準差。這樣，就可以將模型

重新寫成：

其中：

。

8.4.3.3

廣義脈沖響應函數(shù)

上文已經(jīng)介紹過，正交IRF的一個主要問題是其對VAR模型中變量排序比較敏感。為了克服這一問題，PesaranandShin(1998)在一篇快訊文章中（EconomicsLetters）提出了一種新方法，用以構建隨機沖擊項的一系列正交集。該方法稱為廣義IRF。這種方法不需要將所有沖擊項都正交化，并且不受

VAR模型中變量的排序影響。8.4.3.4使用者自定義的脈沖響應函數(shù)

有些軟件，如EViews，還為實踐者提供了自行設立脈沖響應的選項。你需要在相應的編輯窗口給出用來保存脈沖響應函數(shù)的矩陣或者是向量。但是要注意，如果VAR模型有n個內生變量，那么脈沖響應函數(shù)的矩陣必須具有n行、1或n列，這樣，每一列便對應一個脈沖函數(shù)向量。

8.5VAR模型與方差分解所謂方差分解，就是指我們希望知道一個沖擊要素

的方差能由其他隨機擾動項解釋多少。通過獲得這個信息，我們可以獲知每個特定的沖擊因素對于

的相對重要性。

未來h期預測所對應的均方差：

未來h期預測對應的均方差的表達式為

因此，第j個正交沖擊項對未來h期預測的均方差的貢獻為

方差分解的結果有時候對VAR模型中變量的排序很敏感。然而，正如Enders(2004,p.280)所指出的，無論是正交脈沖響應還是方差分解，在研究經(jīng)濟變量之間的互動關系時還是非常有幫助的。特別是，當VAR系統(tǒng)中各個等式中的隨機擾動項彼此之間的相關性比較小時，脈沖響應和方差分解受變量排序的影響就非常小了。在一個極端情況下，VAR系統(tǒng)中的各個擾動項彼此正交，互不相關，那么矩陣

應該是對角矩陣。在這種情況下，依據(jù)模型（8.69）可知道，矩陣A必定是一個單位矩陣，從而

。

這時，模型（8.58）中的第j個方差貢獻就變成

或者寫成更簡單的形式：

這樣，對

未來h期的預測方差歸結到

的貢獻，或者說歸結到

的貢獻，即方差分解，可以計算為：表8-4VAR模型方差分析結果

時間序列分析

張成思

第9章結構向量自回歸(SVAR)模型

9.1SVAR模型初步

9.2SVAR模型的基本識別方法

9.3SVAR模型的三種類型

9.4SVAR模型的估計方法總結

9.5SVAR模型與縮減的VAR模型的脈沖響應及方差分解比較9.1SVAR模型初步9.1.1SVAR模型的基本概念

所謂結構向量自回歸模型，正如其名稱所表明的，它可以捕捉模型系統(tǒng)內各個變量之間的即時的結構性關系。

SVAR的建立一般都是基于一定的經(jīng)濟理論基礎。例如，現(xiàn)代貨幣政策傳導機制的一條途徑是通過歐拉等式（即IS等式）、菲利普斯曲線和貨幣政策反應方程（Taylor規(guī)則）的動態(tài)系統(tǒng)實現(xiàn)的。

（9.1）

定義向量：

這樣，就可以將公式(9.1)重新寫成如下形式，即：

其中：

，，

以及：

基于以上定義，模型(11.3)就是一個SVAR(1)模型的形式。9.1.2SVAR模型與VAR模型假設矩陣有定義，并且可逆，則

所以，VAR模型從某種程度上說，是SVAR模型的縮減形式。

SVAR(p)模型：

其中:p表示滯后期數(shù)。相應的縮減VAR形式為：

其中：以及：

9.2SVAR模型的基本識別方法9.2.1SVAR模型的識別問題

基本思想:如果通過一定的約束條件，使得估計出的VAR模型對應的系數(shù)矩陣、對應的方差矩陣等統(tǒng)計量的個數(shù)不少于SVAR模型中待求的未知量的個數(shù)。

要想獲得SVAR模型中的結構性系數(shù)，首先需要考慮所謂的“排序”（order）問題。什么是order問題呢？簡單地解釋即，order問題就是對比SVAR模型中待估計量的個數(shù)與VAR模型中可以估計出來的對應量的個數(shù)。

比較含有n個變量的VAR(p)與SVAR(p)模型的這些數(shù)字關系，我們看到，SVAR(p)模型要比VAR(p)模型多

個未知量待估計。因此，如果希望通過估計VAR模型然后利用VAR與SVAR的內在聯(lián)系再估計出SVAR模型的所有系數(shù)，那么就必須對SVAR模型施加

個約束條件。

常見的一個約束條件是令矩陣

的對角線上的元素都為1。但是這個約束只能獲得n個限制條件，所以如果要保證SVAR模型能夠被識別，就還需要至少n(n-1)個限制條件。當然，如果約束條件多于這個標準，則稱為“過度識別”，反之則稱為“不足識別”。

9.2.2識別SVAR模型的約束條件9.2.2.1對結構沖擊項的方差協(xié)方差矩陣約束

假定SVAR模型中包含的兩個變量分別是真實GDP增長率和貨幣供應量增長率，分別使用

和

來表示這兩個變量。

這樣，我們就可以獲得由總供給和貨幣供給反應方程組成的SVAR模型:

就上面這個SVAR模型，如果把它看成模型(9.10)的形式，那么對應的矩陣

的對角線上的元素都為1，從前面的介紹我們知道這個約束給出了n個限制條件。而如果要保證SVAR模型能夠被識別，還需要至少

個限制條件。

其中一個約束條件可以考慮對該SVAR模型中的擾動項的方差—協(xié)方差矩陣

進行限制而實現(xiàn)。對這個矩陣的限制一般采用的形式是令對稱矩陣

為對角矩陣。如果限制了這個條件，那就意味著我們假設SVAR模型中的結構擾動項之間彼此互不相關。注意,這里限制Ωu為對角矩陣,只給出了n(n-1)/2=2×(2-1)/2=1個約束條件,還需要至少n(n-1)/2=2×(2-1)/2=1個額外的約束條件。這額外的約束條件如何獲得呢?通?？梢钥紤]采用下面介紹的方法,即對矩陣Γ0的約束條件。

9.2.2.2對Γ0矩陣的約束

尚缺的1個額外約束條件，可以考慮通過對矩陣

進行適當?shù)南拗苼慝@得。當然，對

的限制也應該有一定的經(jīng)濟含義解釋。以上面的“產出—貨”SVAR模型為例，必須找到對

或者

的限制條件。

從經(jīng)濟理論角度出發(fā)，我們可以考慮貨幣政策對現(xiàn)實經(jīng)濟影響普遍存在的時滯特點，從而假定當期的貨幣政策沖擊對當期的經(jīng)濟產出并不馬上產生影響。這樣，

對

的影響乘數(shù)應該為0，即：

如果限制了這個條件，那么考查模型(9.16)和(9.17)就知道，這個假設要求實質上要求

。

如果有了這個限制條件，加上前面介紹的對矩陣

的限制條件，對應的SVAR模型就可以被識別了。

對n變量情況下矩陣

的約束：

這種情況下，對

進行類似的約束，經(jīng)常被稱為“伍德因果鏈”（WoldCausalChain：WCC）約束，即：

如果n=3，WCC約束給出的模型可以寫成如下形式，即：這個例子中，矩陣

的形式為：

拓展到n個變量的SVAR系統(tǒng)，WCC約束條件對應的矩陣

就變成如下形式：

9.2.2.3長期關系約束

長期關系約束的實質可以通過下面的公式說明：

長期關系約束條件限制矩陣

是一個下三角矩陣，從而就可以獲得

個約束條件。

9.3SVAR模型的三種類型Amisano和Giannini(1997)根據(jù)SVAR系統(tǒng)中對當期變量之間的結構性關系假設不同，提出了三種不同類型的SVAR模型，即C-模型，K-模型和AB-模型。預備知識：

將n個變量組成的向量表示為

。這樣，可以將縮減VAR模型寫成：

其中：

這里，VGW（VectorGaussianWhiteNoise）表示向量高斯白噪音過程，

是滯后算子多項式的向量表現(xiàn)形式。另外，我們假設等式

（即矩陣

的行列式）的所有根均落在單位圓外。

矩陣的喬利斯基分解：

其中：

A是一個可以唯一確定的下三角矩陣；D是可以唯一確定的對角線矩陣。

在

的左右同時左乘矩陣

的喬利斯基因子，有：

不難看出，各種系數(shù)矩陣滿足以下關系，即：

9.3.1AB模型

9.3.1.1AB模型的基本定義

假設A和B都是

維的可逆矩陣，并且滿足下列條件：

AB模型可以明確建立系統(tǒng)內各個內生變量的當期結構關系，并且可以直觀地分析標準正交隨機擾動項對系統(tǒng)產生沖擊后的影響情況，即

對系統(tǒng)的沖擊影響情況。

就是所謂的“標準正交隨機擾動項”。

在模型(9.31)中，矩陣A和B被稱為正交因子分解矩陣。從模型(9.31)第二個等式可以看到，矩陣A將縮減式VAR模型中的擾動項

的向量進行轉化，生成一個新的向量

。所以，

可以理解為n個互相獨立的擾動項

通過一定的線性組合（通過矩陣B）而生成的。

9.3.1.2AB模型的識別與估計利用關系式

和

，可得：

模型的識別問題就是要尋找到

個約束條件?？梢园l(fā)現(xiàn)模型(9.32)的兩側表達式都是對稱矩陣。

而通過以上對模型(9.32)性質的分析可以知道，SVAR的AB模型一旦設立，首先就對矩陣A和B中的系數(shù)施加

個非線性約束條件。這樣，要識別AB模型，實質上也就還剩下

個額外的約束條件需要加以限制。

一般來講，剩下的

個約束條件可以考慮兩種不同的限制方法，分別稱為短期約束條件和長期約束條件。但這兩種方法都是對矩陣A和B進行進一步的限制，故我們經(jīng)常把加以限制的這兩個矩陣稱為“類型矩陣”。

（1）短期約束條件

在許多情況下，對矩陣A和B施加的約束條件是限制這兩個矩陣中的某些位置上的元素取特定的值。這種直接令矩陣A和B中某些元素為特定值的約束條件稱為短期約束條件。

為了方便說明，一般可以使用類型矩陣來說明短期約束條件的具體實現(xiàn)過程。

以兩個變量的VAR模型為例，假設要限制矩陣A為下三角矩陣并且主對角線元素為1，而約束B為對角矩陣。那么類型矩陣可以分別寫成以下形式，即：圖9-1EViews中SVAR矩陣選項對話窗口圖9-2EViews中創(chuàng)建矩陣的對話窗口圖9-3EViews中SVAR文本選項對話窗口

（2）長期約束條件

長期約束條件是基于結構擾動項的累積長期脈沖響應的性質設定的。結構隨機沖擊項的累積長期脈沖響應可以通過模型(9.26)中的矩陣C來刻畫。所以所謂長期約束，實質上就是要限定短期條件下的矩陣A和B與長期條件下的矩陣C之間的關系。

長期約束關系就是對矩陣C中的元素加以限制，然后利用這些限制條件以及C與矩陣A、B的關系模型(9.38)估計出矩陣A和B中的系數(shù)。例如，常用的約束形式是設定

，

即：

這個假設的含義是，第i個變量對第j個結構沖擊項的反應從長期看是0?！俺~識別”(over-identification)

表9-1長期約束條件式(9.39)對應的SVAR模型的估計結果

“恰好識別”(exact-identification)

表9-2長期約束條件式(9.41)對應的SVAR模型的估計結果“不能識別”(under-identification)

圖9-4EViews中SVAR模型估計的警告提示2出模型9.3.2C模型C模型的基本定義如下：

從模型(11.43)中我們還可以得到：

模型(10.44)兩側同取期望，則有：

從模型(8.43)中的關系式，我們還可以進一步得到：

現(xiàn)在，如果假設

可以估計出來，那么實際上已經(jīng)對矩陣C施加了

個約束條件，所以還需要通過一定限制獲得

個約束條件。

9.3.3K模型

基本定義：

模型(9.46)暗示著：

對模型(11.47)兩側同取期望，則有：

模型(9.48)實際上對矩陣K施加了

個約束

條件，所以仍然需要通過限制矩陣K，獲得另外的

個約束條件。

9.4SVAR模型的估計方法總結

9.4.1全信息極大似然估計

全信息最大似然估計是估計SVAR

模型最常用的方法之一。而FIMLE中

最重要的內容便是似然函數(shù)的設立。

對于一般的SVAR模型，全信息的（自然對數(shù)）似然函數(shù)是模型中系數(shù)和擾動項矩陣的函數(shù)可以寫成：

AB、C和K模型對應的具體的似然函數(shù):

9.4.2廣義矩估計

廣義矩估計（GeneralizedMethodofMoments，GMM），是工具變量估計的拓展。GMM估計與FIML估計不同，GMM直接考慮SVAR模型(9.10)與其縮減形式模型(9.11)的系數(shù)關系，然后使用選定的工具變量，運用矩估計法進行估計，從而獲得最終結果。

回歸模型(9.10)與(9.11)，即：

GMM估計從這兩個模型的系數(shù)關系入手：

其中：

和

分別表示模型(9.10)與(9.11)中對應的擾動項的方差—協(xié)方差矩陣。

使用GMM估計模型(9.10)，還需要選擇合適的工具變量，假定存在這樣一組工具變量

，滿足矩條件：

其中：

和

表示未知系數(shù)

的函數(shù)。

還可以將矩條件寫成：

對應的樣本矩條件就可以寫成：

GMM估計通過矩估計法獲得滿足模型(9.55)的系數(shù)

，

具體估計過程使用目標函數(shù)：

其中：

表示一個可以通過循環(huán)機制獲得的權重矩陣，該矩陣是正定對稱矩陣。9.5SVAR與縮減VAR模型的脈沖響應

及方差分解比較

要求解SVAR模型中的脈沖響應和方差分解，基本思路是類似的，都要依據(jù)脈沖響應和方差分解的基本定義進行計算。而基于SVAR模型計算出來的脈沖響應稱為結構脈沖響應函數(shù)。

作為示范，我們使用美國CPI通脹率與聯(lián)邦基金利率的季度數(shù)據(jù)（1959Q2—2005Q2），構建了一個2變量的VAR(2)模型。圖9-5和9-6描繪出了SVAR和VAR模型分別對應的脈沖響應函數(shù)和方差分解的結果。圖9-5結構脈沖響應與縮減脈沖響應比較圖9-5結構脈沖響應與縮減脈沖響應比較(續(xù))

圖96SVAR模型與VAR模型方差分解比較

圖9-6SVAR模型與VAR模型方差分解比較(續(xù))時間序列分析

張成思

第10章協(xié)整與誤差修正模型10.1協(xié)整與誤差修正模型的基本定義10.2Engle-Granger協(xié)整分析方法10.3向量ADF模型與協(xié)整分析10.4向量誤差修正模型10.5確定性趨勢與協(xié)整分析10.6Johansen協(xié)整分析方法10.7向量誤差修正模型的估計與統(tǒng)計推斷10.8Johansen協(xié)整分析方法的應用

12.1協(xié)整與誤差修正模型的基本定義

協(xié)整分析是基于非平穩(wěn)序列基礎之上的，而利用非平穩(wěn)序列進行回歸，經(jīng)常會出現(xiàn)偽回歸現(xiàn)象。而另外一種情況卻是更具有應用價值的協(xié)整關系。

10.1.1偽回歸

對于經(jīng)典線性回歸模型，如：

除了對隨機擾動項的獨立一致性分布要求之外，一般都要求回歸變量

和

為平穩(wěn)時間序列。

偽回歸（spuriousregression），就是指變量之間本來并不存在真正的關系，而是由于變量都是趨勢（非平穩(wěn)）序列造成的虛假顯著性關系。

在介紹偽回歸概念的時候，一般都使用非平穩(wěn)序列回歸來進行演示。我們這里使用計算機模擬生成兩個觀測值為241個的帶截距項的隨機游走序列:

其中：

表示服從正態(tài)一致性分布、均值為0、方差為1的隨機擾動項。

圖10-1模型(10.2)隨機生成的帶有截距項的隨機游走序列表10-1偽回歸估計結果

隨機生成的這兩個變量，雖然并沒有什么經(jīng)濟理論能夠說明它們之間存在一定的聯(lián)系，但回歸估計結果卻顯示，模型中的系數(shù)都具有統(tǒng)計顯著性，說明二者存在顯著的線性關系。并且，表9-1中的回歸結果還顯示，模型擬合得幾近完美，

高達0.99，而DW統(tǒng)計量又非常小，只有0.045！這是典型的偽回歸特征。

但是，并不是所有非平穩(wěn)序列之間都沒有一定的聯(lián)系，有一種特殊情況，即非平穩(wěn)時間序列的線性組合是平穩(wěn)序列，這個時候，我們說這些非平穩(wěn)時間序列之間存在長期的均衡關系，這就是協(xié)整關系。協(xié)整關系與偽回歸不同，因為協(xié)整刻畫了確實存在內在聯(lián)系的經(jīng)濟變量之間的長期關系。10.1.2協(xié)整的定義

對于多個非平穩(wěn)時間序列，有一種特殊的情況，就是由這幾個非平穩(wěn)時間序列變量的線性組合形成的變量，是平穩(wěn)的序列。在這種情況下，我們說這些非平穩(wěn)時間序列存在協(xié)整關系。

假定我們研究兩個時間序列變量，分別為

和

，而且這兩個變量都是一階單整過程，即I(1)過程。如果

和

的一個線性組合，如

，構成了一個平穩(wěn)的時間序列，那么我們說

和

具有協(xié)整關系，并且協(xié)整向量為

。

協(xié)整定義的更一般的陳述形式：

如果兩個或多個一階單整變量的線性組合是平穩(wěn)時間序列，那么這些變量存在協(xié)整關系，而對應的刻畫這種關系的系數(shù)向量稱為協(xié)整向量。

如果m個變量存在協(xié)整關系，那么它們之間的長期均衡關系就可以表示成：

或者寫成矩陣的形式，即：

其中：

如果出現(xiàn)偏離這種長期關系時，就會出現(xiàn)所謂的“均衡誤差”，即：

10.1.3誤差修正模型

模型系統(tǒng)(10.11)就是最簡單形式的誤差修正模型。因為ECM刻畫的是系統(tǒng)內變量的動態(tài)變化（差分形式）對出現(xiàn)偏離均衡狀態(tài)的誤差的反應

，所以在ECM模型中，變量以差分形式出現(xiàn)。

如果考慮到各個變量的滯后項對當期值的影響，模型(12.11)對應的更一般的ECM形式是：

其中的滯后算子多項式定義為：和

對于n個非平穩(wěn)序列的誤差修正模型，可以直觀地進行拓展。如果將n個變量寫成矩陣的形式，即：

類似地，將涉及的擾動項和系數(shù)等均表示成矩陣的形式，那么，向量形式的誤差修正模型可以寫成：

10.2Engle-Granger協(xié)整分析方法10.2.1Engle-Granger協(xié)整分析的步驟

為方便理解，以兩個變量為例。

第1步：變量的（非）平穩(wěn)性檢驗。使用單位根檢驗方法檢驗研究的變量是否為非平穩(wěn)序列。注意，協(xié)整關系的前提是分析具有相同階數(shù)的單整過程變量的線性組合關系。第2步：假設第1步中的檢驗結果表明兩個變量為同階的非平穩(wěn)序列，則對這兩個變量進行回歸，并且獲得OLS回歸的系數(shù)估計值，并且保存殘差序列

。第3步：利用特殊的檢驗臨界值來檢驗殘差序列是否為平穩(wěn)序列。這一步是對上一步保存的殘差序列進行單位根檢驗。表10-5Engle-Granger協(xié)整檢驗中殘差序列單位根檢驗臨界值第4步：設立并估計誤差修正模型。在第3步的基礎上，如果判定了協(xié)整關系的存在，則設立并估計下面的ECM模型：

其中：第5步：診斷檢驗并解釋實證結果。在協(xié)整檢驗和ECM估計滯后，最后就需要運用相關的診斷檢驗進一步驗證誤差修正模型是否完備，如各個滯后項的滯后期數(shù)是否合理等。同時，研究人員要對整個協(xié)整分析的結果進行綜合解釋，如果有可能，最好給出含義分析。

圖10-4Engle-Granger協(xié)整分析方法流程圖

如果以下條件滿足，則向量

為具有(d,b)階的協(xié)整向量

，記做

。這些條件是：1）

所有組成元素具有相同的大于0的單整階數(shù)d>0。2）存在一協(xié)整向量

，

使得線性組合

具有

單整性質。

10.2.2Engle-Granger協(xié)整分析方法的應用

假設我們研究的母國和外國分別為美國和英國,我們利用美國和英國的月度物價指數(shù)和美元兌英鎊的匯率數(shù)據(jù),樣本區(qū)間為USUK1988年1月—2023年5月。其中,我們使用next、Pt和Pt分別表示匯率(1英鎊的美元價格)和美國、英國兩國的消費者價格指數(shù)(數(shù)據(jù)均為取自然對數(shù)后的形式)圖10-5美元兌英鎊匯率和英美兩國的消費價格指數(shù)圖10-5美元兌英鎊匯率和英美兩國的消費價格指數(shù)

長期購買力平價理論（Long-runPPP）要求真實匯率為平穩(wěn)時間序列，而真實匯率

可以寫成：

現(xiàn)在，我們可以利用Engle-Granger協(xié)整分析法檢驗Long-runPPP是否成立。各個變量均為自然對數(shù)形式，所以可以構造一個序列

，用來表示英國物價的美元價值。

然后，考查下列均衡關系：

如果能驗證

，并且

為平穩(wěn)時間序列，則問題得到驗證?？梢钥闯?，這是一個典型的長期均衡問題，即協(xié)整關系問題。根據(jù)設計，我們構造了序列

，構造出來的變量圖示描繪在圖12-6中。圖10-6英國物價的美元價格時序圖

接下來，我們利用Engle-Granger協(xié)整分析方法，以回歸方程（10.21）為基礎考查了此例中的協(xié)整關系問題。

第一，對

和

進行了ADF單位根檢驗，結果歸納在表10-6中。從單位根檢驗的結果可以看到，兩個變量分別進行的單位根檢驗統(tǒng)計量對應的p-值都遠大于10％，所以可以判斷者兩個變量為I(1)序列。表10-6變量和US的ADF檢驗結果ftpt

第二，我們運用OLS對模型(10.21)進行回歸估計，并且將回歸估計的結果報告在表10-7中，同時將獲得的殘差序列保持下來，其時序圖描繪在圖10-7中。表10-7模型(10.21)的普通最小二乘回歸估計結果圖10-7模型(10.21)回歸后的殘差序列

第三，我們對殘差序列進行ADF單位根檢驗，并使用表12-5中歸納的Engle-Granger協(xié)整分析中特殊的ADF單位根檢驗臨界值，來判斷殘差序列是否具有單位根。

表10-8模型(10.21)對應的殘差項單位根檢驗結果10.3向量ADF模型與協(xié)整分析10.3.1向量形式的ADF模型

對于向量形式的自回歸模型，即VAR(p)模型：

VAR模型系統(tǒng)是否穩(wěn)定，由特征方程等式

的根決定。

VAR模型系統(tǒng)內變量的平穩(wěn)特性與特征方程的根緊密相關：

①如果

的所有根都落在單位圓外則VAR模型系統(tǒng)內的所有變量均為平穩(wěn)序列，即I(0)。

②如果

的一個根等于1，而其他所有根都落在單位圓外，那么VAR模型系統(tǒng)內的所有變量均為非平穩(wěn)序列，即I(1)。

含有n個變量的VAR(p)模型可以寫成向量形式的ADF模型，即：

其中：

現(xiàn)在，

維矩陣

實質上決定了VAR模型系統(tǒng)的平穩(wěn)特性。

給定一個

的方陣

，則有：

從而可知：

這樣就可以知道，模型(10.28)中第一個等式的絕對值有如下關系：

其中：

表示矩陣行列式的絕對值。

10.3.2矩陣Π的秩條件與協(xié)整關系

以含有n個變量的VAR(1)模型為例，其相應的特征方程是：

因為這是行列式形式，我們總可以利用因式分解，獲得下面的結果，即：

所以，模型(10.35)的根為

。

現(xiàn)在我們看到，如果特征方程含有一個單位根，即

是方程(12.34)的一個根，那么

。但是，從模型(10.28)中第一個等式我們又知道：

所以，單位根暗示著

。

矩陣

與n個變量的VAR(p)模型系統(tǒng)的平穩(wěn)性以及協(xié)整關系個數(shù)之間的聯(lián)系，這些聯(lián)系可以大致分為3種情況。

情況1：

為非奇異矩陣，即滿秩矩陣，以矩陣秩的形式表示就是：

如果滿足這個條件，那么VAR模型為平穩(wěn)系統(tǒng)，其所有組成變量均為平穩(wěn)序列。顯然，在這種情況下，不存在協(xié)整關系。

情況2：

為非0奇異矩陣，從而

含有一個單位根。在這種情況下，VAR系統(tǒng)的所有組成部分都是一階單整過程，其秩

滿足下列條件，即：

這種情況下，VAR系統(tǒng)存在協(xié)整關系。這種情況經(jīng)常被稱為縮減秩，

中的元素共有

種不同的組合，形成平穩(wěn)序列。

情況3：

為0矩陣，即有：

在這種情況下，模型(10.27)變成：

此時，VAR系統(tǒng)中的一次差分變量

是平穩(wěn)的，但是每個變量自身是隨機游走過程。因此，如果出現(xiàn)這種情況，則暗示著系統(tǒng)內存在n個不同的單位根過程，而這些變量并不構成協(xié)整關系。

從以上討論我們知道，協(xié)整關系的出現(xiàn)要求：

因此，在

的n個變量中，至多存在

個協(xié)整向量。另外，如果

維矩陣

是滿秩矩陣，那么對應的VAR模型系統(tǒng)是平穩(wěn)的，系統(tǒng)內所有變量也是平穩(wěn)時

間序列過程。

10.3.3VAR模型與矩陣Π的演示10.4向量誤差修正模型10.4.1向量誤差修正模型的表達形式

對于含有n個變量的VAR模型，當對應的矩陣

的秩介于0和n之間的時候，即

，

這n個變量之間存在

個協(xié)整關系。讓我們定義一個

維的矩陣B，其中B的列含有

個不同的線性獨立協(xié)整向量，所以

。

從長期來看，即所謂的均衡狀態(tài)或者靜止狀態(tài)，這樣的關系精確地存在，所以在長期，我們有：然而，從短期來看，例如對于每個確定的時刻t，都存在偏離協(xié)整關系

的成分。這種偏離代表了這些長期關系在短期內的一定程度的非均衡狀態(tài)，所以偏離成分一般被稱為誤差。

因此，

促使

增加或者減少，從而使得

朝著它的長期均值移動(長期均值為0，為什么?)。這種增加或者減小的變化，實際上是一種調整，所以稱為誤差修正。因為這里我們研究的對象是VAR模型，所以VECM的名字由此而來。

根據(jù)定義，矩陣A衡量了

中每個變量是如何調整，從而回復到長期的均衡關系的水平上。所以，矩陣A經(jīng)常被稱為調整系數(shù)。另外，在實踐中，經(jīng)常對協(xié)整向量B進行標準化。10.4.2向量誤差修正模型的演示10.4.2.12個變量的VAR(1)模型的向量誤差修正模型表達式

協(xié)整關系的存在暗示著,y1t=2.5y2t的關系是該VAR模型系統(tǒng)內兩個變量的一個長期均衡關系。根據(jù)定義,Zt=y1t-2.5y2t捕捉了y1t相對于y2t的非均衡狀態(tài)的情況。所以,當y1t超過2.5y2t時,Zt是正值,而當y1t小于2.5y2t時,Zt是負值。。

這樣，本例中的VAR模型對應的VECM形式就可以寫成：

或者寫成：

10.4.2.23個變量的VAR(1)模型的向量誤差修正模型表達式

VAR模型的ADF形式，即：或者寫成：

從最簡單的協(xié)整情況開始，如果在這三個變量存在一個協(xié)整關系，即

，那么平穩(wěn)的線性組合可以寫成：

根據(jù)定義，就是一個一維的隨機變量，協(xié)整向量(標準化了的形式)。

調整系數(shù)矩陣A就是一個的向量，從而對應的VECM形式可以寫成：

(12.52)10.5確定性趨勢與協(xié)整分析

在VAR模型中是否包含常數(shù)項，可以影響到協(xié)整檢驗的分析。所以，在大部分情況下，我們需要明確選擇是否在VECM模型中加入常數(shù)項。為了將核心的問題講清楚，我們使用VAR(1)模型來討論向量協(xié)整分析中的確定性趨勢設立問題。

第一種情況，是最簡單的情形，即假設Yt的組成變量都不含有確定性趨勢，協(xié)整向量中也不含有確定性趨勢變量（即常數(shù)項），即：

第二種情況，假設Yt的組成變量都不含有確定性趨勢，而協(xié)整向量中含有確定性趨勢，即：

或者寫成：

第三種情況，假設

的組成變量含有線性趨勢變量（線性趨勢變量就是指以時間t形式表現(xiàn)的），而協(xié)整等式中含有截距項，即：

其中：

指的是在協(xié)整關系之外的確定性趨勢項，

表示系數(shù)矩陣。

第四種情況，假設

和協(xié)整關系式中都含有線性趨勢項，即：(12.60)

第五種情況，假設

含有二次型趨勢項，協(xié)整關系等式含有線性趨勢項，即：

(12.61)

其中：因為

為時間趨勢項，所以

就表示二次型趨勢項。圖10-8EViews中向量誤差修正模型選項10.6Johansen協(xié)整分析方法10.6.1Johansen協(xié)整分析方法介紹

雖然Engle-Granger分析法簡單易用，但是這種方法只能識別出多個變量的一種協(xié)整關系。而如果存在多于一個協(xié)整關系的情形，Engle-Granger協(xié)整分析方法就不再適用了。因此，在多個變量的協(xié)整分析中，更常用的方法是Johansen協(xié)整分析法。

Johansen協(xié)整分析過程中，第一步也是最重要的一步，就是檢驗協(xié)整關系的個數(shù)。在檢驗協(xié)整關系個數(shù)的同時，又會獲得協(xié)整向量的估計結果(矩陣B)。這樣，就得到矩陣

的元素，從而進一步得到VECM系統(tǒng)(12.43)的估計結果。

10.6.2協(xié)整向量個數(shù)的檢驗

Johansen方法在檢驗協(xié)整關系的個數(shù)時，運用了一個重要的矩陣代數(shù)的知識，即每一個

維的方陣都有

個特征根。Johansen方法就是檢驗這些特征根有多少個是大于0的正值。

Johansen的方法，實際上是一個循環(huán)過程，從檢驗第一個總體假設

開始，再檢驗

的情形，一直到一個平穩(wěn)的系統(tǒng)對應的

。這個循環(huán)可以使用下列假設來描述：

矩陣

的特征根是

，約翰森提出以下兩個統(tǒng)計量，都可以用來檢驗向量協(xié)整關系的個數(shù)，這兩個統(tǒng)計量分別定義為：Trace統(tǒng)計量：

MaximalEigenvalue統(tǒng)計量：

表10-9向量協(xié)整關系個數(shù)的Johansen檢驗結果10.7向量誤差修正模型的估計與統(tǒng)計推斷

在上面介紹的Johansen方法中，特征根

估計出之后，矩陣B的列就是對應的特征根向量，這樣，

對應的r個元素就可以被估計出來了。從理論上說，矩陣B的估計涉及到超級一致性問題，因為它是在估計一個由非平穩(wěn)序列組成的平穩(wěn)序列。10.8Johansen協(xié)整分析方法的應用表10-10Johansen協(xié)整檢驗結果圖10-9EViews中向量誤差修正模型假設檢驗對話窗口時間序列分析

張成思第11章ARCH模型與GARCH模型

11.1背景介紹

11.2ARCH模型

11.3GARCH模型

11.4非對稱GARCH模型:TGARCH模型與EGARCH模型

11.5其他GARCH模型11.1背景介紹

AR模型因為自身經(jīng)常表現(xiàn)出較高的平滑性而可以用來捕捉相對頻率較低的時間序列變量，如月度、季度通脹率、GDP增長率等。對這樣的時間序列數(shù)據(jù)其進行AR模型回歸之后的殘差序列一般不表現(xiàn)出很強的異方差性。圖11-1中國M2同比增長率與其AR模型殘差序列:1996年12月—2024年4月圖11-2上海證券綜合指數(shù)收益率和深證成份指數(shù)收益率

11.2ARCH模型

11.2.1ARCH模型的定義ARCH模型的核心思想是，誤差項在時刻t的方差依賴于時刻t

1的誤差平方的大小。因此，在ARCH建模的過程中，要涉及到兩個核心的模型回歸過程，即原始的回歸模型（常被稱為條件均值回歸模型）和方差的回歸模型（條件異方差回歸模型）。

ARCH(1)模型的基本組成形式：(13.1)

(13.2)

其中：

和

分別表示因變量和自變量，

表示無序列相關性的隨機擾動項。表示在t時刻隨機擾動項的方差，因為方差隨時間變化，并且以過去的擾動項的信息為變化條件，所以稱為“條件異方差”。

模型(11.1)表示原始回歸模型，在ARCH以及后面介紹的GARCH模型系統(tǒng)中，經(jīng)常被稱為“條件均值等式”，或者簡稱為“均值等式”。而模型(11.2)體現(xiàn)的ARCH模型的核心內容，該等式被稱為“條件方差等式”，或者簡稱為“方差等式”。

注意，凡是提到ARCH模型，實際上一定包含模型(11.1)和(11.2)這樣的兩個等式，缺一不可。另外，“方差等式”模型(11.2)有時候也可以寫成下面的形式，即：

模型(11.1)和(11.2)構成了ARCH(1)模型，而更一般的，我們可以將這個模型系統(tǒng)拓展到ARCH(p)的形式，即：

(13.15)圖11-3上海證券綜合指數(shù)收益率AR(1)模型殘差及殘差平方項的樣本自相關函數(shù)圖

可觀察到，殘差項自身在各期之間沒有表現(xiàn)出明顯的自相關性，而其平方項呈現(xiàn)出較強的自相關性，說明殘差平方項可能符合自回歸模型的特點。

所以，我們可以通過

的歷史信息來預測

。一般情況下，我們經(jīng)常會觀察到殘差平方項之間存在一定的正相關性。這就是我們常說的股票市場波動性的集群現(xiàn)象，從圖13-2中我們已經(jīng)看到這樣的現(xiàn)象。

ARCH模型突出了條件期望的概念，而在傳統(tǒng)的回歸模型當中，我們以前經(jīng)常使用的是無條件方差的概念。為了說明問題，我們以AR(1)模型

為例。這里，對擾動項的無條件方差和條件方差可以分別寫成：表11-1無條件方差和條件方差對應的期望結果11.2.2ARCH模型的屬性

(13.6)(13.7)(13.8)

(13.9)

11.2.3ARCH模型的估計與檢驗

利用模型(11.7)還可以對回歸模型的參差項進行直接檢驗ARCH效應。步驟如下：

11.3GARCH模型11.3.1GARCH(1,1)模型的基本定義GARCH(1,1)模型的基本表達形式：

由于GARCH(1,1)模型的方差等式比ARCH模型的方差等式多了一項，為了便于區(qū)分，

被稱為ARCH項，而

稱為GARCH項。

11.3.2GARCH(q,p)模型

11.3.3GARCH模型的屬性(13.27)(13.28)對于模型，如果下列方程

的根都落在單位圓外，即滿足平穩(wěn)條件:

的根都落在單位圓外，那么GARCH模型系統(tǒng)中的方差等式為平穩(wěn)過程。另外，

11.3.4GARCH模型的估計與檢驗

這里，我們介紹的GARCH模型的估計過程，通過同時設立均值等式和方差等式，然后直接獲得估計結果。而ARCH模型只不過是GARCH模型的一個特殊情況，所以這里介紹的GARCH模型估計過程和估計方法等，同樣適用于ARCH模型。

要估計GARCH模型，首先要明確組成一個GARCH模型的均值等和方差等式的具體形式。例如，如果我們要對標準普爾500股票收益率

進行AR(1)回歸，并檢驗回歸殘差項是否具有GARCH效應，那么可以設立下面的GARCH(1,1)模型，即：

13.3.5GARCH模型與波動預測

在計量經(jīng)濟學發(fā)展的早期,經(jīng)常使用殘差的平方項來直接代表金融序列變量收益率的波動性σt2。