第1頁（共1頁）2025-2026學(xué)年廣東省中山市紀雅學(xué)校九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CCACBAAADC一、單選題（本大題共10小題，每題3分，共30分）1．（3分）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A． B．a(chǎn)x2+bx+c＝0 C．x2+1＝0 D．x2+x＝x2【解答】解：A、該方程不是整式方程，故本選項不符合題意．B、該方程中，當(dāng)a＝0時，該方程是不是關(guān)于x的一元二次方程，故本選項不符合題意．C、該方程符合一元二次方程的定義，故本選項符合題意．D、由該方程得到x＝0，它屬于一元一次方程，故本選項不符合題意．故選：C．2．（3分）已知函數(shù)y＝（m+3）x2+1是二次函數(shù)，則m的取值范圍為（）A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m≠﹣3 D．任意實數(shù)【解答】解：由題意得：m+3≠0，∴m≠﹣3，故選：C．3．（3分）若x＝﹣2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣kx+k+2＝0的一個根，則k的值為（）A．﹣2 B．2 C． D．6【解答】解：把x＝﹣2代入程x2﹣kx+k+2＝0得4+2k+k+2＝0，解得k＝﹣2．故選：A．4．（3分）將拋物線y＝x2先向右平移2個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到的新的拋物線的解析式為（）A．y＝（x+2）2+4 B．y＝（x+2）2﹣4 C．y＝（x﹣2）2+4 D．y＝（x﹣2）2﹣4【解答】解：拋物線y＝x2先向右平移2個單位長度，得：y＝（x﹣2）2；再向上平移4個單位長度，得：y＝（x﹣2）2+4．故選：C．5．（3分）新能源汽車已逐漸成為人們的交通工具，據(jù)某品牌新能源汽車經(jīng)銷商1月至3月份統(tǒng)計，該品牌新能源汽車1月份銷售1000輛，3月份銷售1210輛．設(shè)月平均增長率為x，根據(jù)題意，下列方程正確的是（）A．1210（1﹣x）2＝1000 B．1000（1+x）2＝1210 C．1000（1+2x）＝1210 D．1210（1﹣2x）＝1000【解答】解：設(shè)某品牌新能源汽車銷售量的月均增長率為x，根據(jù)題意得：1000（1+x）2＝1210，故選：B．6．（3分）若方程x2﹣2x﹣4＝0的兩個實數(shù)根為x1、x2，則（x1﹣1）（x2﹣1）值為（）A．﹣5 B．3 C．7 D．9【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的兩個實數(shù)根為x1、x2，∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣4，則（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝﹣4﹣2+1＝﹣5．故選：A．7．（3分）已知A（﹣3，y1），B（2，y2），C（﹣1，y3）是二次函數(shù)y＝x2﹣4x+2k的圖象上的三點，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（）A．y1＞y3＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y1＞y2＞y3【解答】解：∵y＝x2﹣4x+2k，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣＝2，∴x＜2時，y隨x增大而減小，∵﹣3＜﹣2＜＜2，∴y1＞y3＞y2，故選：A．8．（3分）函數(shù)y＝ax+1與y＝ax2+bx+1（a≠0）的圖象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：當(dāng)a＞0時，直線y＝ax+1從左至右上升，拋物線y＝ax2+bx+1開口向上，選項A正確，選項B，D錯誤．當(dāng)a＜0時，直線y＝ax+1從左至右下降，拋物線y＝ax2+bx+1開口向下，選項C錯誤．故選：A．9．（3分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．下列說法：①若a+b+c＝0，則b2﹣4ac≥0；②若方程兩根為﹣1和2，則2a+c＝0；③若方程ax2+c＝0有兩個不相等的實根，則方程ax2+bx+c＝0必有兩個不相等的實根；④若b＝2a+3c，則方程有兩個不相等的實根．其中結(jié)論正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①若a+b+c＝0，方程ax2+bx+c＝0有一根為1，又a≠0，則b2﹣4ac≥0，正確；②由兩根關(guān)系可知，﹣1×2＝，整理得：2a+c＝0，正確；③若方程ax2+c＝0有兩個不相等的實根，則﹣ac＞0，可知b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0必有兩個不相等的實根，正確；④由b＝2a+3c，b2﹣4ac＝（2a+3c）2﹣4ac＝4（a+c）2+5c2＞0，所以④正確．故選：D．10．（3分）如圖，在直角坐標系中，點A（0，a2+a）和點B（0，﹣a﹣2）在y軸上，點M在x軸負半軸上，S△ABM＝2，當(dāng)線段OM最長時，點M的坐標為（）A．（﹣2，0） B．（﹣3，0） C．（﹣4，0） D．（﹣5，0）【解答】解：∵點A（0，a2+a）和點B（0，﹣a﹣2），∴AB＝a2+a﹣（﹣a﹣2）＝a2+2a+2＝（a+1）2+1，∴AB的最小值為1，此時OM最長，S△ABM＝AB?OM＝×1?OM＝2，解得OM＝4，又∵點M在x軸負半軸，∴點M的坐標為（﹣4，0）．故選：C．二、填空題（本大題共5小題，每題3分，共15分）211．（3分）將一元二次方程3x2﹣6x＝4化成一般式為3x2﹣6x﹣4＝0．【解答】解：由3x2﹣6x＝4移項得到：3x2﹣6x﹣4＝0，故答案是：3x2﹣6x﹣4＝0．12．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+（b+1）x+4＝0有兩個相等的實數(shù)根，則常數(shù)b的值b＝3或﹣5．【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝（b+1）2﹣4×4＝0，解得b＝3或﹣5．故答案為3或﹣5．13．（3分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+3的對稱軸為直線x＝2，則b＝﹣4．【解答】解：∵對稱軸為直線x＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4．14．（3分）二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣2的圖象如圖所示，則函數(shù)值y＜0時，x的取值范圍是﹣1＜x＜2．【解答】解：根據(jù)拋物線與x軸兩交點坐標為（﹣1，0），（2，0）故當(dāng)函數(shù)值y＜0時，對應(yīng)x的取值范圍上是：﹣1＜x＜2．故答案為：﹣1＜x＜2．15．（3分）如圖，若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對稱軸為直線x＝1，與y軸交于點C，與x軸交于點A、點B（﹣1，0），則以下結(jié)論：①abc＞0；②二次函數(shù)的最大值為a+b+c；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；⑤2a+b＝0；⑥a+b≥m（am+b）（m為實數(shù)）；其中正確有②⑤⑥（填序號）．【解答】解：①∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象開口向下，對稱軸為x＝1，與y軸的正半軸相交，∴a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①不正確；②∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象開口向下，對稱軸為x＝1，∴當(dāng)x＝1時，二次函數(shù)的最大值為a+b+c，∴②正確；③∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象過點B（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴③不正確；④∵拋物線與x軸有兩個不同的交點，∴b2﹣4ac＞0，∴④不正確；⑤∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）對稱軸為x＝1，∴﹣＝1，∴2a+b＝0∴⑤正確；⑥∵二次函數(shù)的最大值為a+b+c，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥m（am+b）（m為實數(shù)），∴⑥正確．故答案為：②⑤⑥．三、解答題（一）（本大題共3小題，每題7分，共21分）16．（7分）解方程：（1）x2﹣7x+12＝0；（2）（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝0．【解答】解：（1）x2﹣7x+12＝0，（x﹣3）（x﹣4）＝0，則x﹣3＝0或x﹣4＝0，所以x1＝3，x2＝4．（2）（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝0，（x﹣1）（x﹣1﹣1）＝0，（x﹣1）（x﹣2）＝0，則x﹣1＝0或x﹣2＝0，所以x1＝1，x2＝2．17．（7分）已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為（1，4），且經(jīng)過點（4，﹣5）．（1）求該二次函數(shù)表達式；（2）直接寫出y隨x的增大而減小時，x的取值范圍．【解答】解：（1）由條件可設(shè)二次函數(shù)表達式為y＝a（x﹣1）2+4，把（4，﹣5）代入y＝a（x﹣1）2+4，得a（4﹣1）2+4＝﹣5，解得a＝﹣1，所以二次函數(shù)表達式為y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）∵a＝﹣1＜0，拋物線的開口向下，拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴當(dāng)y隨x的增大而減小時x的取值范圍x＞1．18．（7分）在2025年跳水世界杯女子十米臺單人賽中，中國隊包攬冠亞軍，某商場為宣傳體育精神，計劃在如圖所示的長36dm，寬12dm的矩形海報上分別展示全紅嬋和陳芋汐兩位運動健兒的照片，每幅小矩形照片（鋪灰部分）的面積均為165dm2，若海報外沿與照片之間及相鄰照片之間的空白區(qū)域的寬度均相等，求空白區(qū)域的寬度．【解答】解：設(shè)空白區(qū)域的寬度為xdm，根據(jù)題意得：（36﹣3x）（12﹣2x）＝2×165，整理得：x2﹣18x+17＝0，解得：x1＝17（不符合題意，舍去），x2＝1，答：空白區(qū)域的寬度為1dm．四、解答想（二）（各大器共3小題.每題9分，共27分）19．（9分）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+（2+2a）x+a+2＝0（a≠0）．（1）求證：此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若此方程的兩個根都為整數(shù)，求整數(shù)a的值．【解答】證明：（1）Δ＝（2+2a）2﹣4a（a+2）＝4+8a+4a2﹣4a2﹣8a＝4．∵Δ＝4＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）∵ax2+（2+2a）x+a+2＝（x+1）（ax+a+2）＝0，∴x1＝﹣1，x2＝﹣＝﹣1﹣．∵方程的根均為整數(shù)，∴a＝±1或a＝±2．20．（9分）浩然文具店新到一種計算器，進價為25元，營銷時發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價定為30元時，每天的銷售量為150件，若銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就會減少10件．（1）寫出商店銷售這種計算器，每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大值是多少？【解答】解：（1）由題意可得，銷售量為150﹣10（x﹣30）＝﹣10x+450，∴w＝（x﹣25）（﹣10x+450）＝﹣10x2+700x﹣11250（25≤x≤45）．（2）∵w＝﹣10x2+700x﹣11250＝﹣10（x﹣35）2+1000，∴當(dāng)x＝35時，w取得最大值，為1000．故當(dāng)單價為35元時，每天的利潤最大，最大利潤是1000元．21．（9分）如圖所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，點P從點A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)．（1）經(jīng)過幾秒，使△PBQ的面積等于8cm2？（2）線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出運動時間；若不能說明理由．【解答】解：（1）設(shè)運動時間為ts（0≤t≤4），則BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，依題意得：×2t（6﹣t）＝8，整理得：t2﹣6t+8＝0，解得：t1＝2，t2＝4．答：經(jīng)過2s或4s，使△PBQ的面積等于8cm2．（2）線段PQ不能將△ABC分成面積相等的兩部分，理由如下：設(shè)運動時間為xs（0≤x≤4），則BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，依題意得：×2x（6﹣x）＝××6×8，整理得：x2﹣6x+12＝0．∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×12＝﹣12＜0，∴該方程無實數(shù)根，即線段PQ不能將△ABC分成面積相等的兩部分．五、解答題（三）（本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分）22．（13分）【綜合與實踐】數(shù)學(xué)來源于生活，同時數(shù)學(xué)也可以服務(wù)于生活．【知識背景】如圖，校園中有兩面直角圍墻，墻角內(nèi)的P處有一古棵樹與墻CD，AD的距離分別是15m和6m，在美化校園的活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組想借助圍墻（兩邊足夠長），用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設(shè)AB＝xm．【方案設(shè)計】設(shè)計一個矩形花園，使之面積最大，且要將古棵樹P圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細）．【解決問題】思路：把矩形ABCD的面積S與邊長x（即AB的長）的函數(shù)解析式求出，并利用函數(shù)的性質(zhì)來求面積的最大值即可．（1）請用含有x的代數(shù)式表示BC的長；（2）花園的面積能否為192m2？若能，求出x的值，若不能，請說明理由；（3）求面積S與x的函數(shù)解析式，寫出x的取值范圍；并求當(dāng)x為何值時，花園面積S最大？【解答】解：（1）由題意，AB＝xm，∴BC＝（28﹣x）m．（2）∵AB＝x，則BC＝（28﹣x），∴x（28﹣x）＝192，解得：x＝12或x＝16（由于樹與墻CD為15m，從而x＝16不合題意，舍去），∴花園的面積可等于192m2，此時x的值為12m．（3）①S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196．∵在點P與CD，AD的距離分別是15m和6m，∴28﹣15＝13．∴6≤x≤13．∴面積S與x的函數(shù)解析式為：S＝﹣（x﹣14）2+196（6≤x≤13）．②∵﹣1＜0，拋物線的開口向下，對稱軸為直線x＝14，∴當(dāng)6≤x≤13時，S隨x的增大而增大．∴當(dāng)x＝13時，S取到最大值＝﹣（13﹣14）2+196＝195，即當(dāng)x＝13m時，花園面積S最大，最大值為195m2．23．（14分）綜合與實踐：根據(jù)以下素材，分析問題，探索解決問題．如何設(shè)計建造花園？提出問題某高端酒店準備打造一個面積為450m2的長方形花園，現(xiàn)有墻AB長25m，籬笆長65m的（全部用于建造花園），設(shè)計公司為酒店提供了兩種方案，請通過計算幫助酒店作出合理決策．決策依據(jù)長方形的寬與長的長度之比越接近黃金比越美觀，黃金比約為0.6．方案一如圖，選取境AB的一部分作為長方形的一邊，其他三邊用籬笆圍成．方案二如圖，將墻AB全部借用，并在墻AB的延長線上拓展BF，構(gòu)成長方形ADEF，其中BF，F(xiàn)E，ED和DA都由籬