第1頁（共1頁）2025-2026學(xué)年四川省綿陽市東辰學(xué)校九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）題號1234567891011答案AADDADADCDA題號12答案B一．選擇題（本題共12個小題，每小題3分，共36分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x2＝﹣2 B．x3﹣2x+1＝0 C．x2+3xy+1＝0 D．解：A、該方程符合一元二次方程的定義，故本選項符合題意；B、該方程屬于一元三次方程，故本選項不符合題意；C、該方程中未知數(shù)項的最高次數(shù)是2且含有兩個未知數(shù)，不屬于一元二次方程，故本選項不符合題意；D、該方程是分式方程，不屬于一元二次方程，故本選項不符合題意；故選：A．2．（3分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一個根為﹣1，則m的值為（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一個根是﹣1，∴（﹣1）2﹣2×（﹣1）+m＝0，解得：m＝﹣3．故選：A．3．（3分）拋物線y＝﹣3x2﹣4的頂點坐標(biāo)是（）A．（﹣3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（0，4） D．（0，﹣4）解：根據(jù)題意，得拋物線y＝﹣3x2﹣4的頂點坐標(biāo)是（0，﹣4），故選：D．4．（3分）拋物線y＝x2，y＝﹣3x2的共同性質(zhì)是（）A．開口向上 B．都有最大值 C．對稱軸都是x軸 D．頂點都是原點解：拋物線y＝x2，開口向上，有最小值，對稱軸是y軸，頂點在原點；y＝﹣3x2開口向下，有最大值，對稱軸是y軸，頂點在原點；∴兩個函數(shù)的共同性質(zhì)是頂點在原點，對稱軸是y軸．故選：D．5．（3分）要由拋物線y＝2x2得到拋物線y＝2（x+1）2﹣3，則拋物線y＝2x2必須（）A．向左平移1個單位，再向下平移3個單位 B．向右平移1個單位，再向上平移3個單位 C．向右平移1個單位，再向下平移3個單位 D．向左平移1個單位，再向上平移3個單位解：拋物線y＝2x2必須向左平移1個單位，再向下平移3個單位才得到y(tǒng)＝2（x+1）2﹣3．故選：A．6．（3分）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化為（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5解：x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5，故選：D．7．（3分）等腰三角形兩邊長為方程x2﹣7x+10＝0的兩根，則它的周長為（）A．12 B．12或9 C．9 D．7解：方程分解因式得：（x﹣2）（x﹣5）＝0，解得：x＝2或x＝5，當(dāng)2為腰時，三邊長分別為：2，2，5，不能構(gòu)成三角形，舍去；當(dāng)2為底時，三邊長為5，5，2，周長為5+5+2＝12．故選：A．8．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1解：∵關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有實數(shù)根，∴，解得：m≤2且m≠1．故選：D．9．（3分）在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝ax與二次函數(shù)y＝ax2﹣a的圖象可能是（）A． B． C． D．解：選項A，直線下降a＜0，拋物線開口向上，a＞0，不符合題意．選項B，直線下降，a＜0，拋物線開口向下a＜0，拋物線與y軸交點在x軸下方，﹣a＜0，即a＞0，不符合題意．選項C，直線上升，a＞0，拋物線開口向上a＞0，拋物線與y軸交點在x軸下方，﹣a＜0，即a＞0，符合題意．選項D，直線上升，a＞0，拋物線開口向下a＜0，不符合題意．故選：C．10．（3分）如圖，要設(shè)計一幅寬20cm，長30cm的矩形圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為2：3．如果要使彩條所占面積是圖案面積的三分之一，應(yīng)如何設(shè)計彩條的寬度？若設(shè)每個橫彩條的寬度為2xcm，則每個豎彩條的寬度為3xcm，則根據(jù)題意，列方程為（）A． B． C． D．解：若設(shè)每個橫彩條的寬度為2xcm，則每個豎彩條的寬度為3xcm，剩余部分可合成長為30﹣2×2x＝（30﹣4x）cm，寬為20﹣2×3x＝（20﹣6x）的矩形，根據(jù)題意得：（20﹣6x）（30﹣4x）＝（1﹣）×20×30．故選：D．11．（3分）關(guān)于未知數(shù)x的方程kx2+4x﹣1＝0只有正實數(shù)根，則k的取值范圍為（）A．﹣4≤k≤0 B．﹣4≤k＜0 C．﹣4＜k≤0 D．﹣4＜k＜0解：由題知，當(dāng)k＝0時，方程為4x﹣1＝0，解得x＝，所以k＝0符合題意．當(dāng)k≠0時，則x＝．因為方程只有正實數(shù)根，所以k＜0且16+4k≥0，解得﹣4≤k＜0，綜上所述，k的取值范圍是﹣4≤k≤0．故選：A．12．（3分）歐幾里得的《原本》記載，形如x2+ax＝b2的方程的圖解法是：畫Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜邊AB上截取BD＝．則該方程的一個正根是（）A．AC的長 B．AD的長 C．BC的長 D．CD的長解：畫Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜邊AB上截取BD＝，設(shè)AD＝x，根據(jù)勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2，整理得：x2+ax﹣b2＝0（a≠0，b≠0），∵Δ＝a2+4b2＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根之積為﹣b2＜0，即方程的根一正一負(fù)，則該方程的一個正根是AD的長，故選：B．二．填空題（本題共6個小題，每小題4分，共24分）13．（4分）若y＝（k﹣2）x|k|﹣1是關(guān)于x的二次函數(shù)，則k的值是﹣2．解：由題意得，|k|＝2且k﹣2≠0，解得k＝﹣2，故答案為：﹣2．14．（4分）已知A（﹣2，y1），B（1，y2）是拋物線y＝﹣（x+1）2+3上的兩點，則y1＞y2．解：∵A（﹣2，y1），B（1，y2）是拋物線y＝﹣（x+1）2+3上的兩點，∴，，∴y1＞y2，故答案為：＞．15．（4分）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干，支干和小分支的總數(shù)是73，則每個支干長出的小分支數(shù)是8個．解：設(shè)每個支干長出x個小分支，則1+x+x2＝73，解得：x1＝8，x2＝﹣9（舍去），∴每個支干長出8個小分支．故答案為：8．16．（4分）若二次函數(shù)y＝（2x﹣1）2+1的二次項系數(shù)為a，一次項系數(shù)為b，常數(shù)項為c，則b2﹣4ac＜0（填寫“＞”或“＜”或“＝”）解：∵y＝（2x﹣1）2+1，∴a＝4，b＝﹣4，c＝2，∴b2﹣4ac＝16﹣4×4×2＝﹣16＜0，故答案為＜．17．（4分）若a，b是方程2x2﹣5x﹣1＝0的兩根，則2a2+3ab+5b的值為12．解：∵a，b是方程2x2﹣5x﹣1＝0的兩根，∴，，∵a是方程2x2﹣5x﹣1＝0的根，∴將x＝a代入得2a2﹣5a﹣1＝0，即2a2＝5a+1，再將其代入到2a2+3ab+5b中得5a+1+3ab+5b＝5（a+b）+3ab+1，將，代入得＝＝12，故答案為：12．18．（4分）已知m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，則代數(shù)式的值為11．解：將n2+2n﹣1＝0可得n≠0，方程兩邊同時除以n2，得，即，∵m2﹣2m﹣1＝0，∴m和同時滿足x2﹣2x﹣1＝0，又∵mn≠1，∴，∴m和是x2﹣2x﹣1＝0的兩個不同根，∴，∵＝＝，將代入，原式＝5×2+1＝11，故答案為：11．三．解答題（本大題共7小題）19．解方程：（1）4（x+1）2＝9x2；（2）x2﹣7x﹣1＝0；（3）x（2x﹣5）＝4x﹣10；（4）．解：（1）4（x+1）2＝9x2，∴4（x+1）2﹣9x2＝0，∴[2（x+1）﹣3x][2（x+1）+3x]＝0，∴（﹣x+2）（5x+2）＝0，∴﹣x+2＝0或5x+2＝0，解得x1＝2，；（2）x2﹣7x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣7，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×（﹣1）＝49+4＝53＞0，∴，∴，；（3）x（2x﹣5）＝4x﹣10，∴x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，∴（2x﹣5）（x﹣2）＝0，∴2x﹣5＝0或x﹣2＝0，解得，x2＝2；（4），∵a＝7，b＝﹣，c＝﹣5，∴Δ＝b2﹣4ac＝＝6+140＝146＞0，∴＝，∴，．20．關(guān)于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2+1＝0有實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若方程的兩根x1，x2滿足（x1﹣2）（x2﹣2）＝11，求k的值．解：（1）根據(jù)題意得Δ＝4（k﹣1）2﹣4（k2+1）≥0，解得k≤0；（2）根據(jù)題意得x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2+1，∵（x1﹣2）（x2﹣2）＝11，∴x1x2﹣2（x1+x2）+4＝11，∴k2+1+4（k﹣1）+4＝11，解得k1＝﹣2+，k2＝﹣2﹣，∵k≤0，∴k的值為﹣2﹣．21．有一個拋物線形的拱形橋洞，橋洞離水面的最大高度為4m，跨度為12m．現(xiàn)將它的圖形放在如圖所示的直角坐標(biāo)系中．（1）求這條拋物線的解析式．（2）一艘寬為4米，高出水面3米的貨船，能否從橋下通過？解：（1）由圖象可知，拋物線的頂點坐標(biāo)為（6，4），過點（12，0），設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x﹣6）2+4，則0＝a（12﹣6）2+4，解得，a＝﹣，即這條拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣6）2+4；（2）當(dāng)x＝（12﹣4）＝4時，y＝﹣（4﹣6）2+4＝＞3，∴貨船能順利通過此橋洞．22．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，動點P從點A開始沿著邊AB向點B以2cm/s的速度移動（不與點B重合），動點Q從點B開始沿著邊BC向點C以4cm/s的速度移動（不與點C重合）．若P、Q兩點同時移動t（s）；（1）當(dāng)移動幾秒時，△BPQ的面積為32cm2．（2）設(shè)四邊形APQC的面積為S（cm2），當(dāng)移動幾秒時，四邊形APQC的面積為108cm2？解：（1）運動時間為t秒時（0≤t＜6），PB＝AB﹣2t＝12﹣2t，BQ＝4t，∴S△BPQ＝PB?BQ＝24t﹣4t2＝32，解得：t1＝2，t2＝4．答：當(dāng)移動2秒或4秒時，△BPQ的面積為32cm2．（2）S＝S△ABC﹣S△BPQ＝AB?BC﹣（24t﹣4t2）＝4t2﹣24t+144＝108，解得：t＝3．答：當(dāng)移動3秒時，四邊形APQC的面積為108cm2．23．某商場將進(jìn)貨價為30元的臺燈以40元售出，1月份銷售400個，2月份和3月份這種臺燈銷售量持續(xù)增加，在售價不變的基礎(chǔ)上，3月份的銷售量達(dá)到576個，設(shè)2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率不變．（1）求2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率；（2）從4月份起，在3月份銷售量的基礎(chǔ)上，商場決定降價促銷．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價在35元至40元范圍內(nèi)，這種臺燈的售價每降價0.5元，其銷售量增加6個．若商場要想使4月份銷售這種臺燈獲利4800元，則這種臺燈售價應(yīng)定為多少元？解：（1）設(shè)2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率為x，根據(jù)題意，得400（1+x）2＝576，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），答：2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率為20%；（2）設(shè)這種臺燈售價應(yīng)定為m元，根據(jù)題意，得（m﹣30）[576+（40﹣m）]＝4800，解得m1＝38，m2＝80，∵售價在35元至40元范圍內(nèi)，∴m＝38，答：這種臺燈售價應(yīng)定為38元．24．綜合與實踐【主題】黃金分割數(shù)【素材】如圖1，我們知道，如果點P是線段AB上的一點，將線段分割成AP，BP兩條線段（AP＞BP），且滿足BP：AP＝AP：AB，那么這種分割就叫做黃金分割．其中線段AP與AB的比值或線段BP與AP的比值叫做黃金分割數(shù)．【實踐操作】（1）若設(shè)線段AB＝1，AP的長為x，則BP可表示為1﹣x，∵BP：AP＝AP：AB，∴（1﹣x）：x＝x：1，…，根據(jù)此方法可計算出黃金分割數(shù)為（結(jié)果保留根號）．【實踐探索】（2）二胡是中國古老的民族拉弦樂器之一，演奏家發(fā)現(xiàn)，二胡的“千斤”鉤在琴弦長的黃金分割點處（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出來的音調(diào)最和諧悅耳．如圖2，一把二胡的琴弦長為80cm，求“千斤”下面一截琴弦長（結(jié)果保留根號）．解：（1）由（1﹣x）：x＝x：1得，x2＝1﹣x，則x2+x﹣1＝0，解得x＝（舍負(fù)），所以黃金分割數(shù)為．故答案為：；（2）設(shè)“千斤”下面一截琴弦長為ycm，則，解得y＝，所以“千斤”下面一截琴弦長為（）cm．25．如圖1，拋物線與x軸交于點A，B（4，0）（A點在B點左側(cè)），與y軸交于點C（0，6），點P是拋物線上一個動點，連接PB，PC，BC．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖2所示，當(dāng)點P在直線BC上方運動時（不含B、C點），設(shè)△BPC面積為S，寫出S與P點橫坐標(biāo)x的函數(shù)關(guān)系