3.5.1

二元一次不等式(組)所表示的平面區(qū)域一二三一、二元一次不等式(組)的概念【問題思考】

1.填空:(1)二元一次不等式是指含有兩個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式不等式.二元一次不等式組是指由幾個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)為1的整式不等式組成的不等式組.(2)二元一次不等式(組)的解集是指滿足這個(gè)不等式(組)的實(shí)數(shù)x和y構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)(x,y)構(gòu)成的集合.(3)二元一次不等式的一般形式為Ax+By+C>0或Ax+By+C<0.一二三2.找出下列問題中x,y滿足的約束條件.完成一項(xiàng)裝修工程,請(qǐng)木工需付工資每人50元,請(qǐng)瓦工需付工資每人40元,現(xiàn)工人工資預(yù)算2000元,設(shè)木工x人,瓦工y人.一二三二、二元一次不等式表示的平面區(qū)域【問題思考】

1.填空:(1)直線l:Ax+By+C=0,它把坐標(biāo)平面分為兩部分,每個(gè)部分叫做開半平面.開半平面與l的并集叫做閉半平面.以不等式解(x,y)為坐標(biāo)的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合,也叫做不等式表示的區(qū)域或不等式的圖象.(2)坐標(biāo)平面內(nèi)的任一條直線都有如下性質(zhì):直線l:Ax+By+C=0把坐標(biāo)平面內(nèi)不在直線l上的點(diǎn)分為兩部分,直線l的同一側(cè)的點(diǎn)的坐標(biāo)使式子Ax+By+C的值具有相同的符號(hào),并且兩側(cè)的點(diǎn)的坐標(biāo)使Ax+By+C的值的符號(hào)相反,一側(cè)都大于0,另一側(cè)都小于0.一二三知識(shí)拓展在判斷不等式Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)所表示的平面區(qū)域時(shí),“代點(diǎn)法”無疑是快捷且準(zhǔn)確的方法.即基本方法是“直線定界,特值定域”.其步驟:(1)畫直線Ax+By+C=0;(2)在直線的一側(cè)任取一點(diǎn)P(x0,y0),可取較特殊的點(diǎn),易計(jì)算;(3)將P(x0,y0)代入Ax+By+C求值;(4)若Ax0+By0+C>0,則此點(diǎn)所在的半平面為不等式Ax+By+C>0所表示的平面區(qū)域;反之此點(diǎn)所在的半平面不是不等式Ax+By+C>0所表示的平面區(qū)域.一二三2.如何確定m的范圍使點(diǎn)(1,2)和點(diǎn)(1,1)在y-3x-m=0的異側(cè)?提示:由于直線y-3x-m=0將平面分成兩部分,在它同一側(cè)的區(qū)域內(nèi)所有的點(diǎn)的坐標(biāo)代入y-3x-m中所得的代數(shù)式符號(hào)相同,因此要使兩點(diǎn)在它的異側(cè),則將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入后所得代數(shù)式的符號(hào)相異,由此得到關(guān)于m的不等式,解之即可.把(1,2)和(1,1)代入y-3x-m所得到的兩個(gè)代數(shù)式的值異號(hào)即可,于是(-1-m)(-2-m)<0,即(m+1)(m+2)<0,解得-2<m<-1.故所求m的范圍為-2<m<-1.一二三3.做一做:已知一直線l的方程為ax+by=0(a,b不同時(shí)為零),點(diǎn)P1(x0,y0),P2(2x0,2y0),則(

)A.點(diǎn)P1,P2分別在l的兩側(cè)或在l上B.點(diǎn)P1,P2均在l的同側(cè)或在l上C.點(diǎn)P1,P2分別在l的兩側(cè),不可能在l上D.點(diǎn)P1,P2均在l上解析:若ax0+by0=0,則2ax0+2by0=0,此時(shí)P1和P2都在直線l上,否則,一定有ax0+by0與2ax0+2by0同號(hào),故選B.答案:B一二三三、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域【問題思考】

1.填空:在平面直角坐標(biāo)系中,二元一次不等式組表示的平面區(qū)域就是這個(gè)不等式組中每個(gè)二元一次不等式表示的平面區(qū)域的公共部分.2.平面區(qū)域的邊界有時(shí)為實(shí)線,有時(shí)為虛線,它們有什么區(qū)別?提示:邊界為實(shí)線時(shí)表示包括邊界,對(duì)應(yīng)的不等式含有等號(hào);邊界為虛線時(shí)表示不包括邊界,對(duì)應(yīng)的不等式不含等號(hào).一二三3.你能畫出|x|+|y|≤1對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域嗎?一二三思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)里打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)點(diǎn)(1,1)是不等式2x-3y+1>0的解.(

)(2)是二元一次不等式.(

)(3)當(dāng)B>0時(shí),不等式Ax+By+C<0表示直線Ax+By+C=0的下方區(qū)域;當(dāng)B<0時(shí),不等式Ax+By+C<0表示直線Ax+By+C=0的上方區(qū)域.(

)(4)由三個(gè)二元一次不等式構(gòu)成的二元一次不等式組表示的區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)√

(4)×探究一探究二探究三探究四思想方法當(dāng)堂檢測(cè)二元一次不等式表示平面區(qū)域【例1】

(1)由不等式3x+2y+6≤0表示的平面區(qū)域(陰影部分)是(

)(2)畫出不等式2x+y-4>0表示的平面區(qū)域.(1)答案:D(2)解:先畫直線2x+y-4=0(畫成虛線).取原點(diǎn)(0,0)代入2x+y-4得2×0+0-4=-4<0,所以原點(diǎn)不在2x+y-4>0表示的平面區(qū)域內(nèi),不等式2x+y-4>0表示的區(qū)域如圖中的陰影部分.探究一探究二探究三探究四思想方法當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟二元一次不等式Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)表示的平面區(qū)域一定是直線Ax+By+C=0的某一側(cè).要斷定究竟是哪一側(cè),可以取直線Ax+By+C=0某側(cè)的一點(diǎn),將它的坐標(biāo)代入不等式,如果不等式成立,那么這一側(cè)就是該不等式表示的平面區(qū)域;如果不等式不成立,那么直線的另一側(cè)就是該不等式表示的平面區(qū)域.如果直線不通過原點(diǎn),一般取原點(diǎn)(0,0)來進(jìn)行判斷.探究一探究二探究三探究四思想方法當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1(1)已知點(diǎn)P1(0,0),P2(1,1),,則在3x+2y-1≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是

.

(2)在平面直角坐標(biāo)系中,畫出下列二元一次不等式表示的平面區(qū)域.①x-y+1>0;②x+2y-4≤0.探究一探究二探究三探究四思想方法當(dāng)堂檢測(cè)(1)答案:P2,P3(2)解:①畫出直線l1:x-y+1=0(虛線),取原點(diǎn)O(0,0)代入x-y+1,得1>0,不等式成立.所以O(shè)(0,0)在x-y+1>0表示的平面區(qū)域內(nèi),故x-y+1>0表示的平面區(qū)域就是直線l1右下方的區(qū)域.畫出區(qū)域如圖①所示的陰影部分(不包括直線l1上的點(diǎn)).②畫出直線l2:x+2y-4=0(實(shí)線).取原點(diǎn)O(0,0)代入x+2y-4,得-4<0,不等式成立.所以x+2y-4≤0表示的平面區(qū)域是直線l2及其左下方的區(qū)域.畫出區(qū)域如圖②所示的陰影部分(包括直線l2上的點(diǎn)).探究一探究二探究三探究四思想方法當(dāng)堂檢測(cè)二元一次不等式組表示平面區(qū)域

將(1,0)代入①②③的左邊.根據(jù)“異號(hào)下”的規(guī)則,不等式①表示的平面區(qū)域在直線x-y=0的下方,不等式②表示的區(qū)域在直線x+2y-4=0的下方.根據(jù)“同號(hào)上”的規(guī)則,不等式③表示的平面區(qū)域在直線y+2=0上方.故不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的三角形陰影(不包括邊界).探究一探究二探究三探究四思想方法當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟1.在畫二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域時(shí),應(yīng)先畫出每個(gè)不等式表示的區(qū)域,再取它們的公共部分即可,其步驟為:(1)畫線;(2)定側(cè);(3)求“交”;(4)表示.2.有些不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為二元一次不等式組來解決.探究一探究二探究三探究四思想方法當(dāng)堂檢測(cè)畫出不等式(x+2y+1)(x-y+4)≤0表示的平面區(qū)域.解:此不等式可轉(zhuǎn)化為

分別畫出這兩個(gè)不等式組所表示的平面區(qū)域,這兩個(gè)平面區(qū)域的并集即為所求的平面區(qū)域,如圖所示(陰影部分).探究一探究二探究三探究四思想方法當(dāng)堂檢測(cè)根據(jù)平面區(qū)域?qū)懗龆淮尾坏仁?組)【例3】將下面圖中的平面區(qū)域(陰影部分)用不等式表示出來.思路分析:觀察圖形,先寫出邊界直線,并確定虛實(shí),再寫出不等式.探究一探究二探究三探究四思想方法當(dāng)堂檢測(cè)解:(1)易知直線方程為x=-1,圖中陰影部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)都小于-1,故不等式為x≤-1.(3)易知直線斜率為1,過點(diǎn)(1,0),其方程為y=x-1.因?yàn)?>0-1且原點(diǎn)在陰影部分中,故陰影部分可用不等式y(tǒng)>x-1,即x-y-1<0表示.探究一探究二探究三探究四思想方法當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟根據(jù)平面區(qū)域?qū)懚淮尾坏仁降姆椒ㄅc步驟第一步:確定直線方程,根據(jù)平面區(qū)域(陰影部分)的邊界與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)確定直線方程;第二步:在陰影部分中取特殊點(diǎn)確定不等號(hào)的方向,寫出對(duì)應(yīng)平面區(qū)域的二元一次不等式.探究一探究二探究三探究四思想方法當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2如下圖所示,求△PQR內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)滿足的關(guān)系式.解:易得直線PQ的方程為x+2y-5=0;直線QR的方程為x-6y+27=0;直線RP的方程為3x-2y+1=0.探究一探究二探究三探究四思想方法當(dāng)堂檢測(cè)平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)問題

解析:畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖所示(陰影部分,不含x軸和y軸).從圖形可以看出區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間(0,3)內(nèi),取x=1,2,當(dāng)x=1時(shí),區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)有(1,1),(1,2).當(dāng)x=2時(shí),區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)有(2,1).共3個(gè).答案:3探究一探究二探究三探究四思想方法當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟求不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)常有兩種方法:(1)先確定區(qū)域內(nèi)橫坐標(biāo)的范圍,確定x的所有整數(shù)值,通過x的值再確定y相應(yīng)的整數(shù)值;(2)網(wǎng)格法求整點(diǎn),此法關(guān)鍵是作圖要準(zhǔn)確.探究一探究二探究三探究四思想方法當(dāng)堂檢測(cè)利用數(shù)形結(jié)合思想解決平面區(qū)域問題中的參數(shù)問題探究一探究二探究三探究四思想方法當(dāng)堂檢測(cè)解析:答案:C探究一探究二探究三探究四思想方法當(dāng)堂檢測(cè)方法點(diǎn)睛1.本典例所體現(xiàn)的主要數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想.具體來說,即用圖示的方法來解決有關(guān)二元一次不等式(組)的問題.2.若不等式組中含有參數(shù),畫平面區(qū)域時(shí)要明確參數(shù)的位置,并可適當(dāng)?shù)貙?duì)參數(shù)有針對(duì)性地賦值,進(jìn)而方便快捷作圖.畫出平面區(qū)域后再解決有關(guān)相對(duì)位置或面積等問題.探究一探究二探究三探究四思想方法當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練已知直線l:ax+by+c=0(a,b不同時(shí)為0,c<0),點(diǎn)P(x0,y0)和坐標(biāo)原點(diǎn)位于直線l同側(cè),求點(diǎn)P到直線l的距離.解:由題意得(ax0+by0+c)·c>0,因?yàn)閏<0,所以ax0+by0+c<0,探究一探究二探究三探究四思想方法當(dāng)堂檢測(cè)1.(x-2y+1)(x+y-3)<0表示的平面區(qū)域?yàn)?

)答案:C探究一探究二探究三探究四思想方法當(dāng)堂檢測(cè)解析:(x-y+5)(x+y)≥0據(jù)題意作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.故選C.答案:C探究一探究二探究三探究四思想方法當(dāng)堂檢測(cè)3.若點(diǎn)P(m,3)到直線4x-3y+1=0的距離為4,且點(diǎn)P在不等式2x+y<3表示的平面區(qū)域內(nèi),則m=