安徽省“江南十校”2025-2026學年高二12月階段聯(lián)考數(shù)學（A）試卷一、單選題1．已知過兩點的直線的傾斜角為，則實數(shù)的值為（）A．2 B． C．3 D．2．已知空間向量，若，則（）A．-2 B．-3 C．2 D．33．已知雙曲線經過點，則的虛軸長為（）A．4 B．2 C． D．24．圓與圓的公切線有（）A．4條 B．3條 C．2條 D．1條5．如圖是某拋物線形拱橋的示意圖，當水面處于位置時，拱頂離水面的高度為，水面寬度為，當水面下降后，水面的寬度為（）A．6 B．8 C．4 D．46．已知向量以為基底時的坐標為，則以為基底時的坐標是（）A． B． C． D．7．已知圓上到直線的距離為1的點有且僅有2個，則的取值范圍是（）A． B．C． D．8．已知斜率為的直線與橢圓交于兩點，若的重心在直線上，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知直線，動直線，則（）A．當時，不經過第一象限B．經過定點C．對任意的，直線與都不重合D．對任意的，直線與都不垂直10．下列關于曲線的描述正確的是（）A．曲線關于原點對稱B．曲線關于直線對稱C．曲線上只有兩個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）D．曲線所圍成的圖形的面積小于1611．如圖，在棱長為2的正方體中，為線段的中點，為與的交點，是線段上的動點，則下列結論正確的是（）A．B．在上的投影向量的模長為定值C．存在點，使得平面D．點到直線的距離的范圍是三、填空題12．拋物線的焦點為，點在此拋物線上，，則點的橫坐標為．13．已知四棱柱的底面是矩形，，為棱的中點，則．14．已知過點的直線交圓于兩點，且，則滿足條件的所有直線的斜率之和為．四、解答題15．已知直線經過點．(1)若直線不經過原點，且在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程；(2)若直線與平行，求直線的方程，并求與之間的距離．16．已知圓經過點和，且圓心在直線上．(1)求圓的標準方程；(2)過點作圓的切線，求切線方程．17．在平面直角坐標系中，已知點，點的軌跡為．(1)求軌跡的方程；(2)若軌跡上存在不同的兩點關于直線對稱，求實數(shù)的取值范圍．18．如圖，四棱錐中，四邊形為直角梯形，平面平面．．(1)求平面與平面夾角的余弦值；(2)若點在上，且．（i）當時，求到平面的距離：（ii）是否存在，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．19．已知雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離為，直線與雙曲線交于不同的兩點．(1)求的方程；(2)若直線斜率為1，雙曲線的左焦點為，點，為線段的中點，若．求直線的方程：(3)已知，，若，在雙曲線的右支上，直線過點，直線與直線交于點．證明：直線恒過定點．

參考答案1．B【詳解】因為過兩點的直線的傾斜角為，所以直線的斜率為1，所以，解得．故選：B．2．D【詳解】由，有，則，解得．故選：D．3．A【詳解】由點在雙曲線上，得，解得，即雙曲線方程為，則的虛軸長為．故選：A．4．C【詳解】圓，圓心，半徑.圓16，圓心，半徑.所以，則，則兩個圓相交，所以兩圓的公切線有2條．故選：C．5．B【詳解】以拱頂為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的方程為，依題意可知拋物線過點，所以，解得，所以拋物線方程為，所以當時，，解得，所以當水面下降后，水面的寬度為．故選：B．6．D【詳解】由題意可知，設，所以，解得，則，則以為基底時的坐標是．故選：D．7．C【詳解】由題意，圓的圓心為，半徑，圓心到直線，即的距離，由圓上到直線的距離為1的點有且僅有2個，得，即，解得或．故選：C．8．B【詳解】設，，則，兩式相減得：，所以.因為，所以.又的重心為，且重心在直線上，所以.所以，所以.故選：B9．AB【詳解】對于A，當時，的方程為，經過第二、三、四象限，A正確；對于B，，由得，B正確；對于C，當時，，與重合，C錯誤；對于D，當時，兩直線垂直，D錯誤．故選：AB10．AD【詳解】把曲線中的換成，方程仍為，所以曲線關于原點對稱，故A正確；把曲線中的換成，方程變?yōu)?，所以曲線不關于直線對稱，故B錯誤；曲線上的整點有，故C錯誤；由可得，所以所以曲線所圍成的圖形的面積小于，故D正確．故選：AD．11．ABD【詳解】對于A，，故A正確；對于B，因為，所以在上的投影向量為，其模長為定值，故B正確；以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系如圖所示，則，.設．對于C,，設平面的法向量為，則，令，則，從而，若平面，則，顯然與不平行，故不存在，故C錯誤；對于D，點到直線的距離為，由知．故點到直線的距離的范圍是，故D正確．故選：ABD．12．5【詳解】因為拋物線方程為，所以.由，故．故答案為：513．【詳解】由題意可得，，，.故答案為：14．12【詳解】如圖，設中點為，因為，所以則，又，所以，從而，兩式相減得，從而，從而，設直線的方程是，即，從而，即，，所以直線的斜率有兩解，由根與系數(shù)關系可知斜率之和為12．故答案為：12.15．(1)(2)，【詳解】（1）由直線不過原點，設直線的方程為，則有，解得，即直線的方程為.（2）因為直線與平行，所以設直線方程為，又直線經過點，所以，所以，所以直線的方程為與之間的距離為.16．(1)(2)或【詳解】（1）因為圓心在直線上，所以設圓心.因為圓經過點和，所以，所以，解得，所以圓心為，半徑，所以圓的標準方程為.（2）因為，所以點在圓外.設過點的直線為，當斜率不存在時，直線方程為，圓心到直線的距離為，所以不是圓的切線；當切線斜率存在時，設切線方程為，即，所以，整理得.解得或，所以切線方程為或.17．(1)(2)【詳解】（1）因為，所以點的軌跡是以為焦點的橢圓，設軌跡的方程為，則，可得，所以軌跡的方程為.（2）設軌跡上存在不同的兩點，且兩點關于直線對稱，可得的中點為，，則，兩式相減得，因為，所以，可得，即，因為，所以，因為，所以，由于點必在內，故有，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.18．(1)(2)（i）；（ii）存在，或【詳解】（1）由平面平面，平面平面，平面，得平面.因為，平面，所以．又四邊形為直角梯形且，則，故兩兩垂直．建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，顯然是平面的一個法向量，設平面的一個法向量為，則，取，從而，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.（2）因為，所以，設平面的一個法向量為，則，令，則，從而.（i）當時，，從而到平面的距離為.（ii）假設存在滿足題意，與平面所成角為，則.化簡得，解得或．故存在或，使得與平面所成角的正弦值為.19．(1)(2)(3)證明見解析【詳解】（1）由雙曲線的一條漸近線方程為，所以，由到漸近線的距離為，得，故雙曲線的方程為.（2）由（1）得．設直線的方程為.聯(lián)立，得.所以.所以，故.