2025/2026學(xué)年度第一學(xué)期七校聯(lián)盟第三次學(xué)情檢測(cè)高三數(shù)學(xué)試題2026.01注意事項(xiàng)：1.本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷；2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分；3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.選擇題部分（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合中不等式的解集，然后根據(jù)并集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)榧?，，所?故選：B.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及幾何意義求解即可.【詳解】由，得，所以在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A.3.向量、不平行，則存在兩個(gè)非零常數(shù)、，使是、、共面的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的概念，結(jié)合共面向量與向量運(yùn)算的性質(zhì)，可得答案.【詳解】充分性證明：由不平行，則可作為所在平面內(nèi)的一組基底，由，則必定共面，所以充分性成立；必要性證明：由共面，且不平行，當(dāng)共線時(shí)，，則不存在兩個(gè)非零常數(shù)，使得，所以必要性不成立.綜上，該條件是充分非必要條件.故選：A.4.已知函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.1 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意求出，再由函數(shù)的奇偶性代值計(jì)算即得.【詳解】因函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則，解得，則當(dāng)時(shí)，，故.故選：C.5.目前你手頭上做的這份數(shù)學(xué)試卷含有多選題的考查，多選題一般有多個(gè)選項(xiàng)正確，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.現(xiàn)已知一道多選題有四個(gè)選項(xiàng)，其中有三個(gè)選項(xiàng)是正確的，且得分細(xì)則為選對(duì)2個(gè)得4分.小丁不會(huì)做這道題，若他決定隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng)作答，則他最后該題得4分的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合組合數(shù)的運(yùn)算，利用古典概型概率公式求解即可.【詳解】由題意四個(gè)選項(xiàng)中有三個(gè)選項(xiàng)正確，小丁最后該題得4分，故小丁隨機(jī)選兩個(gè)且都正確，其概率.故選：B6.展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和64，則展開式中的有理項(xiàng)個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理的性質(zhì)與通項(xiàng)求解即可.【詳解】解：二項(xiàng)系數(shù)和為，則，所以的通項(xiàng)為：，其中，則展開式中的有理項(xiàng)滿足，故，共3項(xiàng).故選：D.7.已知，，且，則的最小值為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】先將已知等式進(jìn)行變形得到，然后將目標(biāo)式變形為，然后根據(jù)基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?那么.因?yàn)椋?所以根據(jù)基本不等式的性質(zhì)得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)取最小值為1.故選：C.8.已知雙曲線與平行于軸的動(dòng)直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，為雙曲線的左焦點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接交軸于點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】利用直線平行于軸，可得三角形相似，得出，再利用已知條件中的線段的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化列出等式，結(jié)合雙曲線的定義，化簡(jiǎn)后即可求解.【詳解】根據(jù)題意設(shè)，其中，則，，，直線平行于軸，，，，即，點(diǎn)在雙曲線上，，.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，，，若滿足條件的三角形有且只有一個(gè)，則邊的長(zhǎng)可以是（）A.1 B. C. D.4【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)不同條件下三角形的解的個(gè)數(shù)分析判斷即得.【詳解】在中，當(dāng)已知邊和銳角，判斷三角形的個(gè)數(shù)時(shí)，若，有且只有一個(gè)解；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)解；當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)解；當(dāng)時(shí)，無(wú)解.因?yàn)?由，即，解得，故D正確；由，可得，選項(xiàng)中，滿足此條件，故A，B正確；對(duì)于C，，此時(shí)三角形無(wú)解，故C錯(cuò)誤.故選：ABD10.通常把半徑相等的圓稱為等圓.在平面上過同一點(diǎn)有個(gè)等圓，其中任何兩個(gè)圓都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，但任何三個(gè)圓除點(diǎn)外無(wú)其他公共點(diǎn)，記這個(gè)等圓共有個(gè)交點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.任意且，都有D.存在，使得【答案】AC【解析】【分析】先分析個(gè)等圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)的規(guī)律，再逐一判斷選項(xiàng)．【詳解】過同一點(diǎn)有個(gè)等圓，當(dāng)增加第個(gè)圓時(shí)，第個(gè)圓與前個(gè)圓，各有一個(gè)除外交點(diǎn)，因此遞推關(guān)系為：，即任意且，都有，C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，三個(gè)等圓過同一點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)圓有2個(gè)交點(diǎn)，但是公共點(diǎn)，因此除外，每?jī)蓚€(gè)圓有1個(gè)交點(diǎn)，因此，A選項(xiàng)正確；由遞推關(guān)系式可得：，，，將這些式子累加得，因此，，因此B選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，則，化簡(jiǎn)得．判別式為，因?yàn)?，不是整?shù)，因此不是整數(shù)，因此D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AC．11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線，點(diǎn)P在曲線C上，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.直線與曲線C有2個(gè)公共點(diǎn)C.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍是D.的最大值為3【答案】ACD【解析】【分析】將代入方程即可判斷A；聯(lián)立方程求解交點(diǎn)坐標(biāo)判斷B；由題意有非負(fù)根，利用判別式法求解范圍判斷C；結(jié)合給定條件并利用二次函數(shù)性質(zhì)求得的最大值為，即可求得距離最大值判斷D.【詳解】對(duì)于A，結(jié)合曲線，將代入，方程不變，即曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A正確；對(duì)于B，由消去并化簡(jiǎn)得，解得或，所以直線與曲線有3個(gè)公共點(diǎn)，B錯(cuò)誤.對(duì)于C，由整理得，令，則有非負(fù)根，而其對(duì)稱軸，所以，則，解得，C正確.對(duì)于D，令，則，代入，化簡(jiǎn)得，設(shè).由于的開口向上，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，由解得（負(fù)根舍去），所以的最大值為，所以的最大值為，D正確.故選：ACD非選擇題部分（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量滿足，且，則_____.【答案】##【解析】【分析】利用二項(xiàng)分布公式，方差性質(zhì)直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所?故答案為：.13.小林體檢后，遵照醫(yī)囑：在療程內(nèi)每天需要飲水.若小林用的水杯近似為正四棱臺(tái)，尺寸為：上口邊長(zhǎng)為，底部邊長(zhǎng)為，高為，厚度忽略不計(jì)，則小林在療程內(nèi)每天需要飲水的杯數(shù)至少是_____.（結(jié)果向上取整）【答案】7【解析】【分析】利用棱臺(tái)的體積公式求出正四棱臺(tái)水杯的體積，依題意可求得小林每天需要飲水的杯數(shù).【詳解】由題意，正四棱臺(tái)水杯的體積為，因在療程內(nèi)每天需要飲水，則小林在療程內(nèi)每天需要飲水的杯數(shù)在之間，取近似值，即每天需要飲水的杯數(shù)至少是7杯（結(jié)果向上取整）.故答案為：7.14.若函數(shù)在上有且僅有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍為_____.【答案】【解析】【分析】運(yùn)用三角恒等變換，將化簡(jiǎn)為，由的范圍求得的范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)零點(diǎn)構(gòu)造不等式即可得解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)樵谏嫌星覂H有四個(gè)零點(diǎn)，故，解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.隨著新能源產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，某地區(qū)近年來新能源汽車保有量快速增長(zhǎng)，為了研究充電樁建設(shè)的情況，相關(guān)部門收集到了2021年到2025年充電樁數(shù)量（單位：萬(wàn)個(gè)），為方便研究，年份代碼用表示（如：表示2021年），具體參考數(shù)據(jù)如下表：5570.419（1）請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸直線方程；（2）假設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有12個(gè)充電樁，其中一半為快充樁，現(xiàn)對(duì)該地區(qū)現(xiàn)有的12個(gè)充電樁進(jìn)行檢查，隨機(jī)抽取3個(gè)充電樁進(jìn)行檢查，記抽到的快充樁個(gè)數(shù)為，求的分布列及均值.（參考公式：，.）【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題干數(shù)據(jù)以及回歸直線方程的參數(shù)公式，可得答案；（2）根據(jù)超幾何分布的分布列計(jì)算，以及均值計(jì)算公式，可得答案.【小問1詳解】，，，，所以，回歸直線方程為.【小問2詳解】的可能取值為，則：，，，，所以分布列為：故均值.16.已知直線恒過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且的短軸長(zhǎng)為2，圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“伴圓”.（1）求橢圓和其“伴圓”的方程；（2）點(diǎn)為“伴圓”與軸正半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的切線，，求證：.【答案】（1）橢圓的方程為，其“伴圓”的方程為．（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依題意求出的值，即可求出橢圓方程及其“伴圓”方程；（2）由（1）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)切線方程，代入橢圓方程，由，即可求出切線斜率，從而證明出其互相垂直.【小問1詳解】因?yàn)橹本€恒過定點(diǎn)，且過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，所以，又，即，所以，故橢圓的方程為，其“伴圓”的方程為．【小問2詳解】證明：因?yàn)椤鞍閳A”與軸正半軸的交點(diǎn)為，所以設(shè)過點(diǎn)且與橢圓相切的直線方程為，將代入，整理得，則，解得，即直線的斜率分別為，，因?yàn)?，所以?7.如圖，正方形中，，分別是，的中點(diǎn)，現(xiàn)沿，及把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使，，三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為.（1）求證：平面平面；（2）求二面角平面角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)折前折后位置關(guān)系可得，再由勾股定理得出，即可由線面垂直，面面垂直的判定定理得證；（2）由（1）中平面，利用二面角的面積射影公式求解即可.【小問1詳解】折后所得四面體如圖，在折前正方形中，，折成四面體后，，不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，，所以，所以，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問2詳解】設(shè)二面角平面角為，因?yàn)槠矫?，所以在平面上的射影為，折前正方形中，，折成四面體后，，所以，,所以，故，所以.18.已知等差數(shù)列的公差為，且，設(shè)為的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足.（1）若，，且，求；（2）若數(shù)列也是公差為等差數(shù)列.①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）①，②【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件，依次求出，列出不等式求解即得.(2)①設(shè)，由已知借助恒成立求出，進(jìn)而求出；②分為奇偶討論求和即可.【小問1詳解】由題意知為等差數(shù)列且公差為，所以由等差數(shù)列公式可得，又因，，所以可得，為的前項(xiàng)和，所以，而，所以，若，則可得，解不等式可得，所以可得【小問2詳解】①因數(shù)列也是公差為的等差數(shù)列，所以可設(shè)，又因，所以可得，兩邊同時(shí)平方可得對(duì)于任意的都成立，所以可得且，解之可得，所以②由①知，所以，當(dāng),即為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)，即為奇數(shù)時(shí)，，綜上可得，即19.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上的最大值為，求實(shí)數(shù)的值；（3）若，的圖象上是否存在兩點(diǎn)，，（其中），使得的斜率等于曲線在其上一點(diǎn)（點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于中點(diǎn)的橫坐標(biāo)）處的切線的斜率，如果存在，求出、的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）（3）答案見解析【解析】【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)的取值范圍討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的單調(diào)性，分情況討論的取值，求出函數(shù)在上的最大值，進(jìn)而求出的值；（3）先求出的表達(dá)式，再根據(jù)斜率公式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，通過化簡(jiǎn)等式并結(jié)合已知條件判斷是否存在滿足條件的、兩點(diǎn).【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，對(duì)于，，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，因?yàn)?，所以，解得或（舍），?dāng)時(shí)，，，所以單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，所以