全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題

第一試

（3月20日上午8:30-9:30）

一、選用題（本題滿分42分，每題7分）

（本題共有6個(gè)小題，每題均給出了代號(hào)為A,氏C,〃四個(gè)答案,其中有旦僅有一種是對(duì)的.

符你所選用答案代號(hào)填在題后括號(hào)內(nèi).每題選對(duì)得7分；不選、選錯(cuò)或選出代號(hào)字母超過(guò)

一種（無(wú)論與否寫在括號(hào)內(nèi)），一律得。分.）

1

1.用［可體現(xiàn)不超過(guò)工最大整數(shù)，把工一［可稱為x小數(shù)某些.已知/=〃是/小數(shù)

2-6

某些，b是T小數(shù)某些，則」--()

2ba

A.-B.-----C.1i).yfi

22

2.三種圖書單價(jià)分別為10元、15元和20元，某學(xué)校籌劃恰好用500元購(gòu)置上述圖書30

本，那么不一樣購(gòu)書方案有（）

A9種B.1（）種C11種D12種

3（A）.假如一種正整數(shù)可以體現(xiàn)為兩個(gè)持續(xù)奇數(shù)立方差，則稱這個(gè)正整數(shù)為“友好數(shù)”.

如：2=15-（-1）3,26=33-1;2和26均為“友好數(shù)”.那么，不超過(guò)2016正整數(shù)中，所

有“友好數(shù)”之和為（）

A6858B.6860C9260D.9262

3（B）.已知二次函數(shù)y=+〃x+1（。工0）圖象頂點(diǎn)在第二象限，且過(guò)點(diǎn)（1,0）.當(dāng)a-b

為整數(shù)時(shí)，ab=（）

13

AOB.-C.--D.-2

44

4.已知0O半徑垂直于弦A8,交A8于點(diǎn)C,連接40并延長(zhǎng)交。O于點(diǎn)E,若

48=8,8=2,則A8CE面積為)

A12B.15C.16D.18

5.如圖，在四邊形ABC。中，NBAC=N8DC=90°,AB=AC=后，CO=1,對(duì)角

線交點(diǎn)為M)

A&B加

23

a—D.-

22

6.設(shè)實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+y-z=l,則M=町+2)2+3立最大值為()

I23

A.—B.-C.-D.\

234

二、填空題(本題滿分28分，每題7分)

(本題共有4個(gè)小題，規(guī)定直接將答案寫在橫線上.)

I.[1(A).2(B)]已知AA8C頂點(diǎn)A、C在反比例函數(shù)y=五(x>0)圖象上，

x

NAC4=90。，NAAC=30°,軸，點(diǎn)8在點(diǎn)A上方，且A4=6,則點(diǎn)。坐標(biāo)

為.

1(B).已知AABC最大邊8C上高線AO和中線AM恰好把NB4C三等分，AD=6

則AM=.

2(A).在四邊形ABCD中，8C〃4。，C4平分/BCD,0為對(duì)角線交點(diǎn)，

CD=AO.BC=OD,則ZABC=.

3.[3(A).4(B)]有位學(xué)生忘掉寫兩個(gè)三位數(shù)間乘號(hào)，得到一種六位數(shù)，這個(gè)六位數(shù)恰好

為本來(lái)兩個(gè)三位數(shù)乘積3倍，這個(gè)六位數(shù)是.

3(B).若質(zhì)數(shù)〃、夕滿足：3夕一夕一4=0,〃+夕vlll,則八7最大值為.

4(A).將5個(gè)1、5個(gè)2、5個(gè)3、5個(gè)4、5個(gè)5共25個(gè)數(shù)填入一種5行5列表格內(nèi)(每格

填入一?種數(shù))，使得同一列中任何兩數(shù)之差絕對(duì)值不超過(guò)2.考慮每列中各數(shù)之和，設(shè)這5個(gè)

和最小值為M,則M最大值為

第jfxtc一_*試

（3月20日上午9:50—11:20）

一、（本題滿分20分）

己知。力為正整數(shù)，求M=3c『一加一沙一4能取到最小正整數(shù)值.

二、（木題滿分25分）

（A）.如圖，點(diǎn)C在覺(jué)得48直徑0O上，CD上AB于點(diǎn)、D,點(diǎn)E在BD上,AE=AC,四

邊形DEFM是正方形，AM延長(zhǎng)線與00交于點(diǎn)N.證明：FN=DE.

(B).已知：a+b+c=5,a2+b~+c2=\5,o'+by+cy=47.

求(a2+ab+b2)(Z?2+bc+c2)(c2+ca+/)值.

三、(本題滿分25分)

(A).已知正實(shí)數(shù)x,y,z滿足：xy+yz+zxwl,且

(工2—1)(丁一1)?(y2-l)(z2-l)?

xyyzzx

4111?

(1)求一+—+一值.

xyyzzx

⑵證明:9(x+y)(y+z)(z+x)>3xyz(xy+yz+zx).

（B）.如圖，在等腰AA8C中，A8=AC=?,。為BC邊上異于中點(diǎn)點(diǎn)，點(diǎn)C有關(guān)直線

人。對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,EB延長(zhǎng)線與八。延長(zhǎng)線交于點(diǎn)八求AZ>AF值.

全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題及詳解

第一試

（3月20日上午8:30-9:30）

一、選用題（本題滿分42分，每題7分）

（本題共有6個(gè)小題，每題均給出了代號(hào)為A,區(qū)C〃四個(gè)答案,其中有且僅有一種是對(duì)的.

將你所選用答案代號(hào)填在題后括號(hào)內(nèi).每題選對(duì)得7分；不選、選錯(cuò)或選出代號(hào)字母超過(guò)

一種（無(wú)論與否寫在括號(hào)內(nèi)），一律得0分.）

1.用［耳體現(xiàn)不超過(guò)x最大整數(shù)，把x—卜］稱為X小數(shù)某些.己知，=」■瓦，。是/小

2—V3

數(shù)某些，〃是T小數(shù)某些，則」--！=

)

2ba

A.C.1D.V3

2BE

【答案】A.

【解析】=2+G/<G<2,.?.3<2+G<4,即3</<4,

2-百

/.a=/—3=5/3—1.又T=_2_"_2<_G<T/.-4<-2-5/3<-X

1I_1________1_2+75x/3+1

=—,故選A.

2ba~2(2-43)73-1=^2T~2

2.三種圖書單價(jià)分別為10元、15元和20元，某學(xué)?；I劃恰好用500元購(gòu)置上述圖書

30本，那么不一樣購(gòu)書方案有)

A9種810種C.11種12種

【答案】C.

x+y+z=30

【解析】設(shè)購(gòu)置三種圖書數(shù)量分別為x,y,z,則《,，

[l（）x+15y+20z=50（）

y+z=30-xy=20—2x

即，解得八依題意得，x,y,z為自然數(shù)（非負(fù)整數(shù)），

3y+4z=l(X)-2.rz=10+x

故04x?10,%有11種也許取值（分別為0,1,2,…,9,10）,對(duì)于每一種x值，），和z均有

唯一值（自然數(shù)）相對(duì)應(yīng).即不一樣購(gòu)書方案共有11種，故選C

3（A）.假如一種正整數(shù)可以體現(xiàn)為兩個(gè)持續(xù)奇數(shù)立方差，則稱這個(gè)正整數(shù)為“友好數(shù)”.

如：2=F-（-l）3,26=33-F,2和26均為“友好數(shù)”.那么，不超過(guò)2016正整數(shù)中，所

有“友好數(shù)”之和為()

A6858B.6860C.9260D.9262

【答案】B.

(解析](2k+1)3-(24-1)3=[(2k+\)-(2k-1)][(2A+1)2+(2k+l)(2k-1)+(2k-I)2"

=2（\2k2+\]（其中2為非負(fù)整數(shù)），由2（12公+1）42016得,k<9

/.Z:=0,1,2,...,8,9,即得所有不超過(guò)“友好數(shù)”，它們和為

口3一(_1)3卜(33—13)+(53—33)+…+(17,—153)+(19,—17')=?+1=6860.故選B.

3(B).已知二次函數(shù)y=ar2+/?+l(aH0)圖象頂點(diǎn)在第二象限，且過(guò)點(diǎn)(1,0).當(dāng)

。一人為整數(shù)時(shí)，ab=()

13

AOB.-C.——D.-2

44

【答案】B.

【解析】依題意知。<0,-2<0,。+8+1=0,故匕<0,且〃=一。一1,

2a

a-b=a-(-a-\)=2a+[,于是一l<a<0,/.-I<2?4-1<1

又。一〃為整數(shù)，.?.2。+1=0,故。=一！=上<山=,，故選A

24

4.已知00半徑。。垂直于弦A3,交A3于點(diǎn)C,連接A0并延長(zhǎng)交00于點(diǎn)E,若

45=8,。。=2,則她在面積為()

A12B.15C.160.18

【解析】設(shè)OC=x,則OA=OD=x+2,

?.?O￡>_LA￡rfC,...AC=C8=lA3=4,

2

在R/AOAC中，0。2+/1。2=042,Q

即_?+42=*+2尸，解得工=3,即0。=3(第4題答案圖)

為AA5E中位線，.?.3￡：=2OC=6.?.?A￡'是。0直徑，.?./8=90,

=—CB-BE=—x4x6=12.故選A.

.22

5.如圖，在四邊形A88中，ZBAC=ZBL)C=90°,A8=AC=石，CO=1,對(duì)角線

交點(diǎn)為M,則。M=()

4近B.此

23

B

A

4

（第5題答案圖）

【答案】D.

AUA\A

【解析】過(guò)點(diǎn)A作AH_L5。于點(diǎn)H,則AAMH?ACMD,?—=—CD=1,

CDCM

■44=邈AM=x則CM=右一x,..A"=-；=^

CMx/5-x

ABAM&

在用AA8M中，BM=y)AB2+AM2=A/7+5,則A”

BM~47^5

=,顯然XHO,化簡(jiǎn)整頓得2--56工+10=0

X2+5舊7

解得x=@,（x=26不符合題意，舍去），故

2

CM=旦，在RiACDM中:DM=dcM,-CD?=＞，故選D

22

6.設(shè)實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+y+z=l,則/W=Ay+2yz+3/z最大值為()

丸

I8I,ID.I

【答案】C.

【解析】

M=xy^+(2y+3x)z=學(xué)+(2y+3x)(1-x-y)=-3x2-4口-2y2+3x+2y

=_2V+2卜一小+卜一;1

—3x2+3x+2x—

22

(1_/+x+g=—2()，+x_g)-(if

=-2y+x-—x——+3

2j44

當(dāng)且僅當(dāng)工=’,》=0時(shí)，M取等號(hào)，故M,N=3,故選C

24

二、填空題(本題滿分28分，每題7分)

(本題共有4個(gè)小題，規(guī)定直接將答案寫在橫線上.)

1.[1(A).2(B))已知M8C頂點(diǎn)A、C在反比例函數(shù)y=@(x>0)圖象上，

x

乙4C5=90。，△4BC=30°,軸，點(diǎn)8在點(diǎn)A上方，且/W=6,則點(diǎn)C坐標(biāo)

為.

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)。作CD_LAB于點(diǎn)O.

在用AAC8中，BC=ABcosZABC=3y/3

在RiABCD中,CD=BCsinB=—,(第1題答案圖)

93

BO=8CcosB=—，...A￡)=AB-8D=二，設(shè)Cm,

22

Fi/o

依題意知〃〉〃?>0,故。。=%-肛4。=二一——,于是

tnn

3石r

n—m=----_、3/rr\

lr-2解得，”=E，故點(diǎn)。坐標(biāo)為業(yè)，2.

〃=23I?J

mn2

1(B).已知AA8C最大邊BC上高線AO和中線AM恰好把N8AC三等分，AO=J5,

則AM=.

【答案】2.

【解析】

CDMB

(第1題答案圖1)＜第1題答案圖2)

依題意得/BAD=ZDAM=ZMAC,ZADB=ZADC=90°,故ZABC*ZACB.

(1)若NA8C>NAC8時(shí)，如答案圖1所示，AADMMDB,BD=DM=-CM,

2

乂AM平分NDAC,.?.絲=生=上,在用MAC中，即cos/。4c=1，

ACCM22

^DAC=60°,從而^BAC=90°,NACD=30°.

在R/AADC中，CO=ADtanNZMC=Glan60=3,DM=\.

在mAADM中，AM=>jAD2+DM2=2.

(2)若N48CVNAC8時(shí)，如答案圖2所示.同理可得AM=2.綜上所述，AM=2.

2(A).在四邊形ABCD中，8C〃A。，C4平分/BCD,。為對(duì)角線交點(diǎn)，

CD=AO,BC=OD,則ZABC=.

【答案】126、K

［解析】設(shè)NOCD=a,ZADO=P,\

-CA平分/BCD，,40CD=40CB=a,

?/BC//AD,/.ZADO=/OBC=0/DAO=NOCB=a,(第2題答案圖)

/.^OCD=ZDAO=a,:.AD=CD,-/CD=AOyAD=AO,

ZADO=ZAOD=ZBOC=/OBC=fl,:.OC=BC,

BC=OD,OC=OD,ZODC=ZOCD=a

???NBOC=Z.ODC+NOCD,NBOC+/OBC+40cB=180

/.6=2a,a+2〃=18(T,解得a=36,，=72。，.?.ZDBC=/BCD=72。,

..BD=CD=AD.../ABO=aBAD=儂=54\

2

故AABC=ZABD+4DBC=126.

3.13(A)、4(B)］有位學(xué)生忘掉寫兩個(gè)三位數(shù)間乘號(hào)，得到一種六位數(shù)，這個(gè)六位數(shù)恰好

為本來(lái)兩個(gè)三位數(shù)乘積3倍，這個(gè)六位數(shù)是.

【答案】167334.

【解析】設(shè)兩個(gè)三位數(shù)分別為x,y,貝口000工+)，=3D，①

.?.y=3A>，-1000戈=(3y-1000)x,故)，是x正整數(shù)倍，不妨設(shè))，=比(/為正整數(shù))，代

入①得1()()()+，=3以，.?.工二地士，?.?x是三位數(shù)，.\%=10()()+/>100,解得

3t3t

innn

/w亞，???/為正整數(shù)，.■/也許取值為1,2,3.驗(yàn)證可知，只有1=2符合，此時(shí)

x=167,y=334.故所求六位數(shù)為167334.

3(B).若質(zhì)數(shù)p、q滿足：3q-〃-4=0,〃+g<l11,則的最大值為.

【答案】1007.

［解析］由3g_〃-4=0得，〃=3g―4,〃q=g(3g_4)=3q2—41=—g,

由于“質(zhì)數(shù)，故”值伴隨質(zhì)數(shù)夕增大而增大，當(dāng)口僅當(dāng)q獲得最大值時(shí)，網(wǎng)獲得最大值.

又〃+g+lll,.?.3q-4+qvlU,.?.gv28巳,由于夕質(zhì)數(shù),故q也許取值為

4

23,19,17,13,11,7,5,3,2,但q=23時(shí),〃=3g-4=65=5xl3不是質(zhì)數(shù)，舍去.

當(dāng)^二國(guó)時(shí)，〃二3夕一4=53恰為質(zhì)數(shù).故1皿=19,(/均)皿=53x19=1007.

4(A).將5個(gè)1、5個(gè)2、5個(gè)3、5個(gè)4、5個(gè)5共25個(gè)數(shù)填入一種5行5列表格內(nèi)(每格

填入一種數(shù))，使得同一列中任何兩數(shù)之差絕對(duì)值不超過(guò)2.考慮每列中各數(shù)之和，設(shè)這5個(gè)

和最小值為M,則M最大值為.

【答案】10.

【解析】(根據(jù)5個(gè)1分布列數(shù)不一樣情形進(jìn)行討論，確定〃最大值.

(1)若5個(gè)1分布在同一列，則M=5；

(2)若5個(gè)1分布在兩列中，則由題意知這兩列中出現(xiàn)最大數(shù)至多為3,故

2M<5>1+5*3=20,故/41():

(3)若5個(gè)1分布在三列中，則由題意知這三列中出現(xiàn)最大數(shù)至多為3,故

3M45x1+5x2+5x3=30,故M410;

（4）若5個(gè)1分布在至少四列中，則其中某一列至少有一種數(shù)不不不小于3,這與已

知矛盾.

綜上所述，M<10.

另首先，如下表例子闡明M可以取到10.故M最大值為10.

11145

11245

22245

33245

33345

第一試

（3月20日上午9:50—11:20）

一、（本題滿分20分）

己知。力為正整數(shù)，求M=3"一〃6一沙一4能取到最小正整數(shù)值.

【解析】解：由于。，。正整數(shù)，要使得朋=3/-出/-2〃-4值為正整數(shù)，則有。之2.

當(dāng)。=2時(shí)，〃只能為1,此時(shí)M=4.故M能取到最小正整數(shù)值不超過(guò)4.

當(dāng)〃=3時(shí)，Z?只能為I或2.若b=LM=18:若b=2,則M=7.

當(dāng)a=4時(shí)，〃只能為1或2或3.若Z?=1,M=38；若方=2,知=24；若h=3,則"=2.

（下面考慮：知=3。2_而2_3一4值能否為1?）

（反證法）假設(shè)M=l,則3/—46一27?—4=1,即3/—6必2=2〃+5,

。（3〃一/）=2匕+5①

由于人正整數(shù)，故2〃+5為奇數(shù)，從而。為奇數(shù)，b為偶數(shù),

不妨設(shè)〃=2m+1力=2〃，其中"7,〃均為正整數(shù)，貝！

a(3a-b2)=(2m+1)[3(2〃z+1)-(2〃)？]=4(3nt2+3m-2mn2-n2)+3

即。(3。一片)被4除所得余數(shù)為3,而2〃+5=2(2〃)+1=4〃+1被4除所得余數(shù)為1,

故①式不也許成立，故MHI.因而，M能取到最小正整數(shù)值為2.

二、(本題滿分25分)

(A).如圖，點(diǎn)C在覺(jué)得A3直徑上，CD_LA8于點(diǎn)。，點(diǎn)E在8￡＞上，AE=AC,

四邊形DEFM是正方形，AM延長(zhǎng)線與00交于點(diǎn)N.證明：用V=OE.

(第2(A)題答案圖)

【證明】：連接8C、BN.?.,AB為直徑,CD_LA8于點(diǎn)D

ZACB=ZANB=ZADC=90

NCAB=NQAC,ZACB=ZADC,MCBsMDC,

ACAB._s.n

----=-----,.t.AC2=AD'AB

ADAC

由四邊形DEFM是正方形及CD_LAb于點(diǎn)O可知?

點(diǎn)M在CD上,DE=DM=EF=MF

?/4NAB=ZDAM,ZAVA=4OM,，■NBsAA。歷，

ANAR

——=——，.二AD-AB=AM-AN,AC2=AM-AN,

ADAM

?/AE=AC.AE2=AM-AN

以點(diǎn)F為圓心、莊為半徑作QF,與直級(jí)AM交于另一點(diǎn)P,則。尸與AB切于點(diǎn)￡,

即AE是。“切線，直線A"P是割線，故由切割線定理得Af2=AM?AP

；.AN=AP,即點(diǎn)、N與點(diǎn)P重疊，點(diǎn)、N在OFk,;.FN=FE=DE.

(注：上述最終一段得證明用了“同一法”)

2223

(B).已知：a+b+c=5ta+b+c=l5,+b+?=47.

求(/+。/?+〃2)(〃2+〃。+/)(<?2+c〃+a2)值.

【解析】由已知得aZ?+Z?c+ca=5[(a+〃+c)2-(a2+b'+c2)]=5

由恒等式a3+b*+c*-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-be-ca)得，

47-3abc=5x(15-5),:.abc=—\

X+ab4-b2=(〃+/?+c)(a+b)~(ab+be+ca)=5(5-c)-5=5(c-1)

同理可得從+bc+c2=5(4-a\c2+ca+a2=5(4-b)

，原式=53(4-4)(4-Z?)(4-c)=125[64-16(a+Z?+c)+4("+Z?c+ca)-4Z?c]

=125x[64-16x5+4x5-(-l)J=625.

(注：恒等式(/-?)(/--c)=〃-(〃+〃+c)r+(ab+bc+ca)t-abc]

三、(本題滿分25分)

(A).已知正實(shí)數(shù)x,y,z滿足：冷，+尸+次工1,且

(V-1)(/-1)(/-1)(?-\}[z2-1)(--I)

-----------1------------1------------4.

xyyzzx

(3)求」-+」-+」-值.

xyyzzx

(4)證明：9(x+_y)(y+z)(z+x