中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)

“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參照答案

一、選擇題（共5小題，每題7分，共35分.如下每道小題均給出了代號(hào)

為A,B,C,D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一種選項(xiàng)是對(duì)的的.請(qǐng)將對(duì)的選項(xiàng)

的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得。分）

1.已知非零實(shí)數(shù)。，6滿(mǎn)足|2〃-4|++2|+3）。+4=2a,則〃+人等

于（）.

（A）-1（B）0（C）1（D）2

【答】C.

解：由題設(shè)知因此，題設(shè)的等式為|〃+2|+而二話(huà)=0，于是

a=3,/?=-2,從而a+b—1.

2.如圖，菱形A8CD的邊長(zhǎng)為〃，點(diǎn)O是對(duì)角線(xiàn)AC上的一點(diǎn),

且OB=OC=OD=\,則a等于（）.

（C）!

⑴與⑻與(D)2（第2題）

【答】A.

解：由于△8。。s△A8C,因此也=生，即

ABAC

1_a

aa+1'

因此,a2-a-\=0.

由a>0,解得"匕避

3.將一枚六個(gè)面編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先

后投擲兩次，記第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為。，第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為匕，則使有關(guān)x,），

av+by=3,

的方程組只有正數(shù)解的概率為（）.

x+2)，=2

（B）

(A)I(C)—

n18

【答】D.

解：當(dāng)2a—6=0時(shí),方程組無(wú)解.

6-2b

x=

當(dāng)2〃-。工0時(shí)，方程組的解為?2a-b

2〃-3

y=

2a-b

6-2〃八2a-b>0,2a-h<0,

----->0,

2。-b---即3

由己知，得，a>~,或<。<5，

2。一3八2

----->0,

2a-b“<3,b>3.

由a,匕的實(shí)際意義為1,2,3,4,5,6,可得

：=2：4,5,6,共有5X2=]o種狀況；或：共3種狀況.

力=1,2,歷=4,56

又?jǐn)S兩次骰子出現(xiàn)的基本領(lǐng)件共6X6=36種狀況，故所求的概率為E.

36

4.如圖1所示，在直角梯形A8CO中，AB//DC,ZB=90°.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)

8出發(fā)，沿梯形的邊由運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的旅程為x,ZXABP的面

積為F把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖像如圖2所示，則△ABC的面積為（）.

（A）10（B）16（C）18（D）32

解：根據(jù)圖像可得5c=4,CO=5,D4=5,進(jìn)而求得A8=8,故

S^ABC=—x8x4=16.

2

5.有關(guān)x,），的方程/+沖+2），2=29的整數(shù)解6,），）的組數(shù)為（）.

（A）2組（B）3組（C）4組（D）無(wú)窮多組

【答】C.

解：可將原方程視為有關(guān)x的二次方程，將其變形為

x2+yx+(2/-29)=0.

由于該方程有整數(shù)根，則鑒別式△20,且是完全平方數(shù).

由△=J，-4（2/-29）=-7/+116^0,

解得/11^?16.57.于是

y2014916

A11610988534

顯然，只有9=16時(shí)，A=4是完全平方數(shù)，符合規(guī)定.

當(dāng)）,=4時(shí)，原方程為f+4工+3=0,此時(shí)％=—1,/=一3；

當(dāng)y=-4時(shí)，原方程為f-4x+3=0,此時(shí)&=1.七=3.

因此，原方程的整數(shù)解為

=-1,ix2=-3,（x3=1,jx4=3,

4

［）1=4;1%=4;b'3=-4；|>4=--

二、填空題（共5小題，每題7分，共35分）

6.一種自行車(chē)輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車(chē)行駛5000km后報(bào)廢；

若把它安裝在后輪，則自行車(chē)行駛3000km后報(bào)廢，行駛一定旅程后可以互換

前、后輪胎.假如互換前、后輪胎，要使一輛自行車(chē)的一對(duì)新輪胎同步報(bào)廢，那

么這輛車(chē)將能行駛km.

【答】3750.

解：設(shè)每個(gè)新輪胎報(bào)廢時(shí)的總磨損量為女,則安裝在前輪的輪胎每行駛1km

磨損帚為上，安裝在后輪的輪胎每行駛1km的磨損帚為上.又設(shè)?對(duì)新輪

50003000

胎互換位置前走了xkm,互換位置后走了ykm.分別以一種輪胎的總磨損量為

等量關(guān)系列方程，有

上

450003000

工+工=k

,50003000'

兩式相加，得/+），）+心+），）=2.,

50003000

9

則x+y==3750.

----+----

50003000

7.已知線(xiàn)段A8的中點(diǎn)為C,以點(diǎn)A為圓心，A8的長(zhǎng)為半徑作圓，在線(xiàn)段

A8的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)。，使得8O=4C；再以點(diǎn)。為圓心，QA的長(zhǎng)為半徑作圓，

AH

與。A分別相交于F,G兩點(diǎn)，連接房交加于點(diǎn)從則商的值為.

解：如圖，延長(zhǎng)人。與0。交于點(diǎn)E,連接AF,EF.

由題設(shè)知AC=-A。，AI3=-AE在和△￡陰中,

33f

ZEE4=ZF/M=90°,ZFAH=Z.EAF

因此

AHAF

AFAE.

,e“A”1

而AF=AB,因此F=一

AB3

8.已知q,a2,av%,%是滿(mǎn)足條件4+%+/+4+%=9的五個(gè)不一樣的

整數(shù)，若〃是有關(guān)x的方程(x-q)(工一%)(不一々3)(工一。4)(工一45)=2009的整數(shù)根,

則b的值為.

【答】10.

解：由于(。一4)(6-4)(b_q)(b_a4)(b-4)=2009,且4,a2,ava4,.是

五個(gè)不一樣的整數(shù)，所有〃一q,b-arb-arb-a4,為也是五個(gè)不一樣的整

數(shù).

又由于2009=1x(_l)x7x(—7)x4l,因此

b-ai+b-a2+b-a3+b-a4+b-a5=4].

由4+。2+%+。4+區(qū)=9,可得)=10.

9.如圖，在△ABC中，CO是高，CE為4CB的平分線(xiàn).若AC=15,BC

=20,CD=12,則CE的長(zhǎng)等于.

605/2

【答】

不

解：如圖，由勾股定理知AO=9,8。=16,因此A8=AO+3Q=25.

故由勾股定理逆定理知△AC8為直角三角形，且NAC8=90。.

作E/LLBC,垂足為凡設(shè)石廣=x

于是8r=20—x.由于E/〃AC,因此

EFBF

ACBC

x20-x

即

15-20

竺.因此CE=0.迦I

解得x=

77

10.10個(gè)人圍成一種圓圈做游戲.游戲的規(guī)則是：

每個(gè)人心里都想好一種數(shù)，并把白J想好的數(shù)如實(shí)地告9

訴他兩旁的兩個(gè)人，然后每個(gè)人將他兩旁的兩個(gè)人告訴

Ou

他的數(shù)的平均數(shù)報(bào)出來(lái).若報(bào)出來(lái)的數(shù)如圖所示，則報(bào)

3的人心里想的數(shù)是.

【答】-2.

解：設(shè)報(bào)3的人心里想的數(shù)是x,則報(bào)5的人心里想的數(shù)應(yīng)是8-，

于是報(bào)7的人心里想的數(shù)是12-(8-x)=4+x,報(bào)9的人心里想的數(shù)是

16—(4+x)=12—x,報(bào)1的人心里想的數(shù)是20-(12-.r)=8+x,報(bào)3的人心里

想的數(shù)是4-(8+x)=-4-z.因此

x=-4-x,

解得x=—2.

三、解答題(共4題，每題20分，共80分)

11.已知拋物線(xiàn)y=/與動(dòng)直線(xiàn)y=有公共點(diǎn)a.y),(x2.y2),

且x；+x；="+2/-3.

(I)求實(shí)數(shù)，的取值范圍；

(2)當(dāng)，為何值時(shí)，c取到最小值，并求出c的最小值.

解：(1)聯(lián)立y=Y與=(2/-l)x-c,消去y得二次方程

x2-(2t-\)x+c=0①

有實(shí)數(shù)根修，X2,則芭+工2=2/-1,=C.因此

c=xxx2=g[(x+X2)2—(x；+x；)]

2

=^[(2r-l)-(r+2r-3)]=g(3產(chǎn)-6r+4).②

............5分

把②式代入方程①得

2

x-(2r-l)x+^(3r-6r+4)=0.③

...........10分

t的取值應(yīng)滿(mǎn)足

『+2f-3=x：20,④

且使方程③有實(shí)數(shù)根，即

A=(27—I)2—2(3/2—6/+4)=—2/2+8/—720,⑤

解不等式④得，W-3或121,解不等式⑤得2-巫W/W2+亞.

22

因此，，的取值范圍為

2-受4W2+受.⑥

22

............15分

131

(2)由②式知°=一(3/-61+4)=="-1)2+—.

222

由于C=3(I)2+」在2-也W/W2+正時(shí)是遞增的，因此，當(dāng)“2-正

22222

什「3011-6夜

時(shí)，Cmin=K(2一----1)+7=--；—?............20分

2Zx4

12.已知正整數(shù)。滿(mǎn)足1921a3+191,且。＜2009,求滿(mǎn)足條件的所有也許的

正整數(shù)。的和.

解：由1921a3+191可得1921a3-1.192=3x26,且

/-1=（々-|）［。（4+］）+1］=（4-1）。（4+1）+（。-1）.

.........................5分

由于“〃+1）+1是奇數(shù)，因此26爐-1等價(jià)于26*1,又由于3|（a-1）a（a+l）,

因此-1等價(jià)于3|a-1.因此有192,—1,于是可得a=192%+1.

.........................15分

又0va<2009,因此k=0,1,…,10.因此，滿(mǎn)足條件的所有也許的正整數(shù)。的

和為

11+192(1+2+…+10)=10571..........................20分

13.如圖，給定銳角三角形A8C,BC<CA,A。，8E是它的兩條高，過(guò)點(diǎn)

。作AA8c的外接圓的切線(xiàn)/,過(guò)點(diǎn)Q,E分別作/的垂線(xiàn)，垂足分別為凡G.試

比較線(xiàn)段D產(chǎn)和F.G的大小，并證明你的結(jié)論.

解法1：結(jié)論是=EG.下面給出證明.............5分

由于NR?D=N￡4B,因此RtZ\FCOsRtAEAfi.于是可得

DF=BE—.

AB

CF

同理可得EG=AD-.

AB

10分

（第13A題）

4HRF

又由于tanNACB=29二生，因此有B￡CQ=AD?CE,于是可得

CDCE

DF=EG.

...................20分

解法2：結(jié)論是OF=EG.下面給出證明.

............................5分

連接。七，由于44￡>3=乙4￡8=90。，因此4,B,D,E

四點(diǎn)共圓，故（第13A題）