第05講數(shù)列的綜合問題題型一數(shù)列中的最值問題角度1求數(shù)列的最值例1是數(shù)列的前項(xiàng)和,且,若,求數(shù)列中的最小項(xiàng)。角度2恒成立問題例2已知,其前項(xiàng)和為,若恒成立,求的最小值.例3已知,數(shù)列的前項(xiàng)和為,若不等式對(duì)所有的正整數(shù)都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【對(duì)點(diǎn)演練1】（2023江蘇高三上學(xué)期期中）數(shù)列中，，且，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為__________.例4已知數(shù)列bn是首項(xiàng)b1=1,(1)求證：an(2)記cn=1bnbn+1(3)在（2）的條件下，記dn=3n+1?Sn，若對(duì)任意正整數(shù)【對(duì)點(diǎn)演練1】（2023江西臨川二中二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)一切正整數(shù)，不等式恒成立，則滿足條件的最小整數(shù)為______.【對(duì)點(diǎn)演練2】設(shè),求滿足不等式的正整數(shù)的最小值.題型二數(shù)列中的新數(shù)列問題角度1由數(shù)列公共項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列例5（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，等差數(shù)列中.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列與的共同項(xiàng)由小到大排列組成新數(shù)列，求數(shù)列的前20的積.【對(duì)點(diǎn)演練1】變式1、（2022·山東日照·高三期末）數(shù)列中，已知，數(shù)列{bn}滿足，點(diǎn)在直線上.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列中滿足：①；②存在使的項(xiàng)組成新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}所有項(xiàng)的和.角度2由給定數(shù)列的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成新數(shù)列例6、（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列，前n項(xiàng)和為，且滿足，，，，，等比數(shù)列中，，且，成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記為區(qū)間中的整數(shù)個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【對(duì)點(diǎn)演練】（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┮阎缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為（b為常數(shù)）．(1)求b的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．角度3由數(shù)列的插入項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列例7、（2022·山東煙臺(tái)·一模）己知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入個(gè)1，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，求的值．【對(duì)點(diǎn)演練】(2022·青島期初考試)已知等差數(shù)列{An}的首項(xiàng)A1為4，公差為6，在{An}中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入兩個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列{an}．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若EQa\S\DO(k\S\DO(1))，EQa\S\DO(k\S\DO(2))，…，EQa\S\DO(k\S\DO(n))，…是從{an}中抽取的部分項(xiàng)按原來的順序排列組成的一個(gè)等比數(shù)列，eqk\s\do(1)＝1，k\s\do(2)＝5，令eqb\s\do(n)＝2nk\s\do(n)＋2n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．題型三數(shù)列中的新定義型問題例8（多選）（2022·高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，若（，，為常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”，下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（

）A．若是等方差數(shù)列，則一定是等差數(shù)列B．若是等方差數(shù)列，則可能是等差數(shù)列C．是等方差數(shù)列D．若是等方差數(shù)列，則也是等方差數(shù)列【對(duì)點(diǎn)演練1】（2023春·上海寶山·高一上海交大附中?？计谀┮獯罄麛?shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：.該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把由這樣一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記是數(shù)列的前項(xiàng)和，則__________.【對(duì)點(diǎn)演練2】對(duì)于無窮數(shù)列{}與{}，記A={|=，}，B={|=，}，若同時(shí)滿足條件：①{}，{}均單調(diào)遞增；②且，則稱{}與{}是無窮互補(bǔ)數(shù)列．（1）若=，=，判斷{}與{}是否為無窮互補(bǔ)數(shù)列，并說明理由；（2）若=且{}與{}是無窮互補(bǔ)數(shù)列，求數(shù)列{}的前16項(xiàng)的和；（3）若{}與{}是無窮互補(bǔ)數(shù)列，{}為等差數(shù)列且=36，求{}與{}得通項(xiàng)公式．1．(2022·全國(guó)乙理)嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則()A．B．C．D．2．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝eq\f(6,5)，an＝eq\f(an＋1－1,an－1)(n∈N*)，若對(duì)n∈N*，都有k>eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)成立，則最小的整數(shù)k是()A．3B．4C．5D．63．已知數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且an>0，2Sn＝aeq\o\al(2,n)＋an，bn＝，若k>Tn恒成立，則k的最小值為()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,49)C．1D．eq\f(8,441)4．（2023?北京）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就出現(xiàn)了類似于砝碼的用來測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，，，則48，數(shù)列的所有項(xiàng)的和為．5.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,2)·3n－1，n∈N*，[an]表示不超過an的最大整數(shù)(如[1.2]＝1)．記bn＝[an]，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若不等式λan＋1>Tn＋5n－eq\f(71,4)對(duì)任意的n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________．6.已知等差數(shù)列an滿足：a3=4，a(1)求an及S(2)令bn=1an2?1，若對(duì)于任意n∈N?7.已知數(shù)列an、bn滿足a1=2，an+