第06講函數(shù)的概念及其表示題型梳理題型梳理易錯(cuò)分析易錯(cuò)點(diǎn)一對(duì)抽象函數(shù)定義域的理解不透徹題型方法題型一函數(shù)的定義域題型二判斷相同函數(shù)題型三函數(shù)的值域與最值題型四分段函數(shù)問(wèn)題知識(shí)清單知識(shí)清單1．函數(shù)的概念一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.2．函數(shù)的三要素(1)函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域．(2)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)．3．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．4．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．常用結(jié)論1．直線x＝a與函數(shù)y＝f(x)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn)．2．在函數(shù)的定義中，非空數(shù)集A，B，A即為函數(shù)的定義域，值域?yàn)锽的子集．3．分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析【易錯(cuò)點(diǎn)一】對(duì)抽象函數(shù)定義域的理解不透徹【例1】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用抽象函數(shù)定義域的求解原則可求出函數(shù)的定義域，對(duì)于函數(shù)，可列出關(guān)于的不等式組，由此可得出函數(shù)的定義域.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，則，可得，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于函數(shù)，則有，解得，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.【舉一反三】【變式1】（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若有定義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出復(fù)合函數(shù)的定義域即可得．【詳解】解：由題意可得，解得．因?yàn)橛卸x，所以當(dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，，恒成立．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：D．【變式2】（2024·吉林延邊·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用抽象函數(shù)定義域列式求解即得.【詳解】由函數(shù)的定義域是，得，則，由，解得，所以的定義域是.故答案為：【變式3】（2024·湖北武漢·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】借助函數(shù)定義域的定義計(jì)算即可得.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，則有，令，解得.故答案為：.題型方法題型方法【題型一】函數(shù)的定義域【例1】（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則（

）A．{0，1，3} B． C．{1，3} D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)定義域求出集合的范圍,根據(jù)集合求交集的方法求解.【詳解】由題意知,解得則集合,則.故選：A.解題技巧(1)無(wú)論抽象函數(shù)的形式如何，已知定義域還是求定義域，均是指其中的x的取值集合；(2)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)間(x)在[a，b]上的值域．【舉一反三】【變式1】（2023·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)有意義并結(jié)合復(fù)合函數(shù)的意義列出不等式組，求解不等式組作答.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，又函?shù)有意義，則有，解得或，所以函數(shù)的定義域是.故選：C【變式2】（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】2【分析】利用函數(shù)的定義域求解即可.【詳解】函數(shù)，故，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?故答案為：2；【變式3】（2023·江西九江·模擬預(yù)測(cè)）若的定義域?yàn)?，求的定義域．【答案】.【分析】由題意列出不等式組解之即得.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，則要使函數(shù)有意義，則，解得,∴函數(shù)的定義域?yàn)?【題型二】判斷相同函數(shù)【例2】（2023·四川·模擬預(yù)測(cè)）與函數(shù)是相同函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，對(duì)原不等式等價(jià)變形即可.【詳解】由得，所以．故選：C．【舉一反三】【變式1】（2023·江西九江·模擬預(yù)測(cè)）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根據(jù)同一函數(shù)的定義，逐項(xiàng)驗(yàn)證定義域和對(duì)應(yīng)法則是否相同，即得．【詳解】對(duì)于A中，函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)椋x域相同，對(duì)應(yīng)法則相同，所以是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于B中，函數(shù)和的定義域都是，但對(duì)應(yīng)法則不同，所以不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于C中，函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)椋x域不相同，所以不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于D中，函數(shù)的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，定義域不相同，所以不是同一個(gè)函數(shù).故選：A．【變式2】（2020·廣東中山·模擬預(yù)測(cè)）下列各組表示同一函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】?jī)蓚€(gè)函數(shù)若是同一函數(shù)，需定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，根據(jù)定義判斷選項(xiàng).【詳解】A.的定義域?yàn)椋亩x域是，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，所以不是同一函數(shù)；B.和的定義域是，且，兩個(gè)函數(shù)的解析式相同，所以是同一函數(shù)；C.，，兩個(gè)函數(shù)的定義域都是，兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，所以不是同一函數(shù)；D.的定義域是，的定義域是，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù).故選：B【變式3】（多選）（2021·江西·模擬預(yù)測(cè)）下列各組函數(shù)中表示同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】AB【分析】確定函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則是否相同即可判斷．【詳解】A中兩個(gè)函數(shù)定義域都是，對(duì)應(yīng)法則都是乘以2后取絕對(duì)值，是同一函數(shù)；B中兩個(gè)函數(shù)定義域都是，對(duì)應(yīng)法則都是取平方，是同一函數(shù)；C中定義域是，的定義域是，不是同一函數(shù)；D中的定義域是，的定義域是，不是同一函數(shù)．故選：AB．【題型三】函數(shù)的值域與最值【例3】（2024·甘肅慶陽(yáng)·一模）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】對(duì)于，有，解得，對(duì)于，其圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即，又在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，則，則的值域?yàn)?故選：D.【舉一反三】【變式1】（2020·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【解析】由偶函數(shù)的定義化簡(jiǎn)可求得，則，借助基本不等式和余弦函數(shù)性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，即，化簡(jiǎn)可得：，解得：，即.又因?yàn)?，，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)兩個(gè)“”同時(shí)成立）.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)的定義，考查求函數(shù)的最值，合理利用基本不等式和函數(shù)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.【變式2】（2025·安徽·一模）函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【分析】由函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)榕c在上均為減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以，故的值域?yàn)?故答案為：【變式3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的值域；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)【分析】（1）分類討論去絕對(duì)值即可求解函數(shù)的值域；（2）由（1）中的分類討論結(jié)果代入（2）中不等式，依次解出取并集即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，進(jìn)一步當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以的值域?yàn)椋?）當(dāng)或時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，即，解得．綜上，不等式的解集為．【題型四】分段函數(shù)問(wèn)題【例4】（2024·廣東江蘇·高考真題）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且時(shí)，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.解題技巧分段函數(shù)求值問(wèn)題的解題思路(1)求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)．【舉一反三】【變式1】（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿足若，則（

）A．1 B．4 C．5 D．2024【答案】A【分析】通過(guò)計(jì)算求得函數(shù)的周期即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，，，，，，，，，，，，，，，…，發(fā)現(xiàn)從第6項(xiàng)開(kāi)始就是以3為周期的周期函數(shù)，，為3的倍數(shù)，則．故選：A【變式2】（2025·上海松江·三模）已知函數(shù)，則的值域?yàn)?【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求出時(shí)的值域，再根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出時(shí)的值域，然后利用分段函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故，綜上，函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋海咀兪?】（2022·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)(1)若，求m的值；(2)若，求a的取值集合．【答案】(1)3或-2(2)【分析】（1）結(jié)合分段函數(shù)解析式列方程，由此求得的值.（2）首先判斷的取值范圍，然后解一元二次不等式求得的取值集合.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去）；當(dāng)時(shí)，，解得.∴m的值為3或-2.（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)，，，，解得.∴a的取值集合是.好題必刷好題必刷一、單選題1．（2020·天津·模擬預(yù)測(cè)）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【分析】對(duì)于A：由定義域不同,即可判斷；對(duì)于B：由定義域不同，即可判斷；對(duì)于C：由對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，即可判斷；對(duì)于D：對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，定義域相同，可以判斷為同一函數(shù).【詳解】對(duì)于A：的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)椋x域不同，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)镽，定義域不同，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，對(duì)于，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：定義域?yàn)镽,，定義域?yàn)镽，二者對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，定義域相同，為同一函數(shù).故選：D2．（2024·云南曲靖·二模）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把的值代入解析式計(jì)算即可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的值域?yàn)?故選：B.3．（2024·貴州銅仁·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?記的定義域?yàn)榧系亩x域?yàn)榧?則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】先利用函數(shù)的定義域求得集合，再利用充分條件、必要條件的定義判斷.【詳解】∵函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，令，解得，即，即，∵，∴“”是“”的必要不充分條件，故選：C.4．（2025·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，，（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)多項(xiàng)式函數(shù)的性質(zhì)及代數(shù)運(yùn)算，利用二進(jìn)制分解和系數(shù)符號(hào)的確定可求.【詳解】若每個(gè)，則，又.所以綜合減少了.因?yàn)?，?所以.所以，.所以.故選：A.5．（2025·山東威?！と＃┮阎瘮?shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)的單調(diào)性可得，當(dāng)時(shí)，，然后結(jié)合其值域?yàn)椋纯傻玫降闹涤?，列出不等式，代入?jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，又函數(shù)的值域?yàn)?，所以時(shí)，函數(shù)的值域要取到的所有實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，所以，即的取值范圍是.故選：C6．（2024·青海海南·二模）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0和分母不為0即可得到不等式組，解出即可.【詳解】∵函數(shù)，∴，解得．故選：D．7．（2025·黑龍江大慶·三模）已知是定義在上的奇函數(shù)，是定義在上的偶函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)的最大值為（

）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)值域的意義求出最大值.【詳解】由函數(shù)的值域?yàn)?，得，由是定義在上的奇函數(shù)，得，由是定義在上的偶函數(shù)，得，則，則，而函數(shù)與的值域相同，所以函數(shù)的最大值為3.故選：B二、多選題8．（2024·湖南益陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）下列命題中，正確的是（

）A．函數(shù)與表示同一函數(shù)B．函數(shù)與是同一函數(shù)C．函數(shù)的圖象與直線的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)D．函數(shù)，則0【答案】BC【分析】根據(jù)相等函數(shù)的定義判斷A、B，根據(jù)函數(shù)的定義判斷C，由函數(shù)解析式求出函數(shù)值，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：，因?yàn)閮珊瘮?shù)的定義域不相同，故不是同一函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：函數(shù)與定義域相同，解析式一致故是同一函數(shù)，故B正確；對(duì)于C：根據(jù)函數(shù)的定義可知，函數(shù)的圖象與直線的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋?，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC9．（2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)不恒等于零，同時(shí)滿足，且當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，下列結(jié)論不正確的為（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】令可得，令可得．當(dāng)時(shí),,根據(jù)已知條件得,即，所以.【詳解】對(duì)任意,恒有，令可得，因?yàn)楫?dāng)時(shí),故，所以，令可得，所以，當(dāng)時(shí),,根據(jù)已知條件得,即，所以.故選：ABC.10．（2025·遼寧遼陽(yáng)·二模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的定義域?yàn)?B．的值域?yàn)镃．是奇函數(shù) D．在上單調(diào)遞減【答案】BCD【分析】A.由分式函數(shù)的定義域求解判斷；B.由正弦函數(shù)的值域判斷；C.由函數(shù)奇偶性的定義判斷；D.由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，A錯(cuò)誤，B正確．是奇函數(shù)，C正確．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，D正確．故選：BCD11．（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BD【分析】利用分段函數(shù)的賦值思想不斷求值和遞推求值，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求值域，從而可判斷各選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，根據(jù)題意，由，故A正確；對(duì)于B，根據(jù)題意，由，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)題意，由，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于當(dāng)時(shí)，函數(shù)，滿足，所以圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，所以，，即；當(dāng)時(shí)，，故，；當(dāng)時(shí)，由于，所以此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由于，所以此時(shí)，以此類推，根據(jù)定義域?yàn)?，所以可得函?shù)的值域?yàn)?，故D正確.故選：ABD.三、填空題12．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）寫出一個(gè)同時(shí)具備下列性質(zhì)①②③的函數(shù).①定義城為，②導(dǎo)函數(shù)；③值域?yàn)椤敬鸢浮浚ù鸢覆晃ㄒ唬痉治觥咳?，?yàn)證定義域，導(dǎo)數(shù)，值域即可.【詳解】取，因?yàn)?，解得，所以的定義城為，符合①；，符合②；因?yàn)?，所以的值域?yàn)?，符合?故答案為：（答案不唯一）13．（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）若，則函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【分析】先求出函數(shù)的值域，即可求出函數(shù)的值域．【詳解】因?yàn)?，，令，因此，即的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋海?4．（2025·上海靜安·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則．【答案】【分析】分別求解集合與集合，再根據(jù)并集的定義求出.【詳解】，，所以.故答案為：15．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最大值是；最小值是.【答案】2【分析】確定函數(shù)定義域，然后將兩邊平方，求得其最大值和最小值，即可求得答案.【詳解】由可得，即函數(shù)定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，取最小值0，故取到最大值4，則函數(shù)的最大值為2；當(dāng)時(shí)，取最大值1，故取到最小值2，則函數(shù)的最小值為；故答案為：；.16．（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)滿足，定義域?yàn)?，值域?yàn)锳，若集合可取得A中所有值，則參數(shù)a的取值范圍為.【答案】，，【分析】由可得，可判斷當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；從而可得，，時(shí)，參數(shù)的最小值為，從而求得．【詳解】令得，或（舍去）；當(dāng)時(shí)，，故對(duì)任意，都存在，，，故，故，，，而當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)，，時(shí)，參數(shù)的最小值為，故參數(shù)的取值范圍為，，故答案為：，．四、解答題17．（2024·西藏拉薩·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)證明：當(dāng)時(shí)，恒成立.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）把代入，再分段去絕對(duì)值符號(hào)解不等式.（2）