第06講函數(shù)最值的靈活運用【典型例題】例1．（2024·高三·河北·階段練習）已知，，且，若不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∴．∵，，∴（當且僅當，即時取等號），∴．故選：D例2．（2024·高三·河北衡水·階段練習）若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以對任意恒成立，轉化為對恒成立，令，則，所以對恒成立，即對恒成立，因為，當且僅當時取等號，所以，即，所以實數(shù)的取值范圍為．故選：A．例3．（2024·江西·二模）對任意，若不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設（），則，當時，，在上單調遞減當時，，在上單調遞增所以，當時，取得極小值也是最小值即令（）,則所以而即當且僅當，即時取等號所以故選:D.例4．（2024·高三·福建·階段練習）用表示a,b,c中的最小值，設則的最大值是A．4 B．6 C．3 D．5【答案】D【解析】畫出函數(shù)圖象，觀察最大值的位置，通過求函數(shù)值，解出最大值．由題根據(jù)所給條件不難得到，其圖像如圖所示所以最大值為5．故選D．例5．（2024·高三·浙江紹興·期末）設函數(shù)在處取得極值，且，當時，最大值記為，對于任意的的最小值為．【答案】【解析】由已知得有兩個不同實數(shù)根，可得，則，可得，令，解得或；令，解得；易知在和上單調遞增，在上單調遞減，故當時，上單調遞減，上單調遞增，而，當，即時，，當時，，當時，，當時，，顯然對于，當時，.故答案為：2例6．（2024·高三·全國·專題練習）已知，若關于x的不等式對一切正實數(shù)x恒成立，則當取最小值時，實數(shù)的值為.【答案】【解析】不等式對一切正實數(shù)恒成立，即直線恒在曲線的上方．當最小，即直線與交點的縱坐標最小．根據(jù)圖象可知，當時，,所以當直線與曲線相切于點時，取最小值.因為，所以，所以.故答案為：例7．（2024·陜西榆林·一模）已知函數(shù)，記.（1）求證：在區(qū)間內有且僅有一個實數(shù)；（2）用表示中的最小值，設函數(shù)，若方程在區(qū)間內有兩個不相等的實根，記在內的實根為.求證：.【解析】（1），定義域為，，當時，在上單調遞增，又，而在上連續(xù)，根據(jù)零點存在定理可得：在區(qū)間有且僅有一個實根.（2）當時，，而，故此時有，由（1）知，在上單調遞增，有為在內的實根，所以，故當時，，即；當時，，即.因而，當時，，因而在上遞增；當時，，因而在上遞減；若方程在有兩不等實根，則滿足要證：，即證：，即證：，而在上遞減，即證：，又因為，即證：，即證：記，由得：.，，則，當時，；當時，.故，所以當時，,,因此，即在遞增.從而當時，，即，故得證.例8．（2024·江蘇淮安·一模）已知函數(shù)，直線為曲線的切線（為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求實數(shù)的值；（2）用表示中的最小值，設函數(shù)，若函數(shù)為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）對求導得．設直線與曲線切于點，則，解得，所以的值為1．（2）記函數(shù)，下面考察函數(shù)的符號，對函數(shù)求導得．當時，恒成立．當時，，從而．∴在上恒成立，故在上單調遞減．，∴，又曲線在上連續(xù)不間斷，所以由函數(shù)的零點存在性定理及其單調性知唯一的，使．∴；，，∴，從而，∴，由函數(shù)為增函數(shù)，且曲線在上連續(xù)不斷知在，上恒成立．①當時，在上恒成立，即在上恒成立，記，則，當變化時，變化情況列表如下：30極小值∴，故“在上恒成立”只需，即．②當時，，當時，在上恒成立，綜合①②知，當時，函數(shù)為增函數(shù)．故實數(shù)的取值范圍是例9．（2024·高三·吉林延邊·開學考試）已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)與的定義域都是.（1）求函數(shù)在點處的切線方程；（2）判斷函數(shù)零點個數(shù);（3）用表示的最小值，設，，若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）∵，∴切線的斜率，.∴函數(shù)在點處的切線方程為.（2）∵，，∴，，，∴存在零點，且.∵，∴當時，；當時，由得.∴在上是減函數(shù).∴若，，，則.∴函數(shù)只有一個零點，且.（3），故，∵函數(shù)只有一個零點，∴，即.∴.∴在為增函數(shù)在，恒成立.當時，即在區(qū)間上恒成立.設，只需，，在單調遞減，在單調遞增.的最小值，.當時，，由上述得，則在恒成立.綜上述，實數(shù)的取值范圍是.【過關測試】一、單選題1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）設實數(shù)，若對任意的正實數(shù)x，不等式恒成立，則m的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，，∴，當時，不等式顯然成立，當時，原不等式可變形為，設函數(shù)，，當，，∴當時，遞增，則不等式恒成立等價于恒成立，即恒成立，，設，則，當時，，當時，，∴在遞增，遞減，，故選:A.2．（2024·高三·四川·階段練習）定義在上函數(shù)滿足，且對任意的不相等的實數(shù)有成立，若關于x的不等式在上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】結合題意可知為偶函數(shù),且在單調遞減,故可以轉換為對應于恒成立,即即對恒成立即對恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.3．（2024·高三·四川巴中·階段練習）實數(shù)滿足，,的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】化簡已知得，，即，令，原式化簡為，令，則，所以在R上單調遞增，又，所以有唯一零點，所以，此方程有唯一根為0，即，即，分別設與，則表示曲線上的點到直線的距離的平方，下面求上與平行的切線，因為，所以，當時，，解得：，所以切點為，所以到直線距離為：，此距離即為曲線上的點到直線的距離的最小值，所以的最小值為2.故選：C.4．（2024·寧夏吳忠·模擬預測）已知（為常數(shù)）在上有最大值3，則函數(shù)在上的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，故當時，，在區(qū)間上單調遞增，當時，，在區(qū)間上單調遞減，故當時，取得最大值，即，此時，當，，當時，故最小值為，故選：C5．（2024·江蘇·一模）用表示x，y中的最小數(shù)．已知函數(shù)，則的最大值為(

)A． B． C． D．ln2【答案】C【解析】∵，∴，根據(jù)導數(shù)易知在上單調遞增，在上單調遞減;由題意令，即，解得；作出圖象：則的最大值為兩函數(shù)圖象交點處函數(shù)值，為．故選：C．6．（2024·四川涼山·二模）已知點是曲線上任意一點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，令直線，顯然過點，由，得，顯然，即直線與曲線相離，且，則曲線上的點在直線上方，過作于，則，而，因此，令過點的直線與曲線相切的切點為，由，求導得，則此切線斜率，解得，即切點為，而點在曲線的對稱軸上，曲線在過點的兩條切線所夾含原點的區(qū)域及內部，當點的坐標為時，銳角最大，最大，最大，此時，，所以的最大值為.故先：D二、多選題7．（2024·湖北·模擬預測）已知，，且，則（

）A．， B．C．的最小值為，最大值為4 D．的最小值為12【答案】BD【解析】對于選項A:由已知得，，則，.故A錯誤；對于選項B:令，則在單調遞減，在單調遞增，得，故B正確；對于選項C:結合題意可得，令，則在上單調遞增，得，故C錯誤.對于選項D:設，則，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以.故D正確.故選:BD.8．（2024·高三·河南駐馬店·期末）已知函數(shù)存在個不同的正數(shù)，，使得，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為5 B．的最大值為4C．的最大值為 D．的最大值為【答案】BD【解析】的幾何意義為過點，的直線的斜率.如圖所示，易知直線與的圖象最多只有4個交點，故的最大值為4，故A錯誤，B正確.當直線與曲線相切時，取得最大值，設切點為，則該直線的斜率為，又，則，所以，解得，得，所以故C錯誤，D正確.故選：BD.三、填空題9．（2024·陜西西安·一模）若函數(shù)在內有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為.【答案】【解析】因為函數(shù)在內有且只有一個零點，即方程在內只有一個根，即在內只有一個根，令，可得，再令，解得，當時，，單調減，當時，，單調增，所以當時，有最小值，即，所以函數(shù)，則，令時，解得.當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，又由，故函數(shù)在上的最大值為，最小值為，最大值與最小值的和為.故答案為：.10．（2024·高三·寧夏銀川·階段練習）用表示兩個數(shù)中的較小值．設，則的最大值為.【答案】1.【解析】由題意，∵0＜x≤1時，2x-1∈（-1，1]；x＞1時，∈（0，1）∴f（x）的最大值為1；故答案為1．考點：１．新定義；２．函數(shù)的最大值．11．（2024·浙江·模擬預測）已知函數(shù)，，若關于的不等式有解，則的最小值是.【答案】/【解析】由得，顯然，所以有解，令，則，令，則，所以當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，所以，則，即的最小值是.故答案為：12．（2024·山東菏澤·一模）關于的不等式恒成立，則的最小值為．【答案】【解析】令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，由，得，而，令，則，所以，若，如圖作出函數(shù)的圖象，由函數(shù)圖象可知，方程有唯一實數(shù)根，即，由，得，即，當時，，即，又，，所以，所以不成立，即當時，不恒成立，綜上所述，的最小值為.故答案為：.13．（2024·河北·模擬預測）已知表示不超過的最大整數(shù)，，設，且，則的最小值為；當時，滿足條件的所有值的和.【答案】【解析】由題意，當時，，則，解得（舍去），當時，，則，解得（舍去），當時，，則，解得，所以的最小值為，當時，，則，解得（舍去），當時，，則，解得，當時，，則，解得，當時，，故舍去，因為的最小公倍數(shù)為，以為首項為公差的等差數(shù)列，設為，則，以為首項為公差的等差數(shù)列，設為，則，所以數(shù)列和是滿足條件的所有值，令，解得，令，解得，則當時，滿足條件的所有值的和.故答案為：；.14．（2024·高三·北京·階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，當實數(shù)a，b變化時，M最小值為．【答案】2【解析】，上述函數(shù)可理解為當橫坐標相同時，函數(shù)，,與函數(shù)，,圖象上點的縱向距離，則即為函數(shù)與函數(shù)圖象上點的縱向距離的最大值中的最小值，作出函數(shù)圖象，如圖，由圖象可知，當函數(shù)的圖象剛好為時此時，取得最小值為2.故答案為：215．（2024·天津·一模）記不超過的最大整數(shù)為．若函數(shù)既有最大值也有最小值，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】取，則，所以函數(shù)既有最大值也有最小值，即在區(qū)間上既有最大值也有最小值，當時，在區(qū)間上單調遞增，只有最小值，無最大值，不合題意，當時，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，又，則，此時只有最小值，沒有最大值，不合題意，當時，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，又，則，此時有最大值為，最小值為，當時，在區(qū)間上單調遞減，只有最大值，無最小值，不合題意，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.四、解答題16．（2024·浙江金華·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)當時，求函數(shù)的最小值．【解析】（1）由，得，所以，，函數(shù)在處的切線方程（2）令，當時，，則，所以，所以，所以在單調遞減；當時，，則，此時，所以在單調遞增，所以當時，函數(shù)取得最小值；所以當時，函數(shù)的最小值為17．（2024·江蘇南通·二模）設函數(shù).已知的圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為，且.(1)若在區(qū)間上有最大值無最小值，求實數(shù)m的取值范圍；(2)設l為曲線在處的切線，證明：l與曲線有唯一的公共點.【解析】（1）由題意可得周期，故，，由于，故，故，當時，，由于在區(qū)間上有最大值無最小值，故，解得，故.（2），，，故直線方程為，令，則，故在定義域內單調遞增，又，因此有唯一的的零點，故l與曲線有唯一的交點，得證.18．（2024·陜西寶雞·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求的最小值；(2)若時，恒成立，求的最小值．【解析】（1）由題設可得，當時，，當時，，故的最小值為.（2）因為時，，所以在上恒成立，所以在上恒成立，當時，有恒成立，故在上恒成立，因為的圖象為線段，所以，故且.當時，有在上恒成立，所以在上恒成立，故，所以且，所以，故的最小值為.19．（2024·海南·模擬預測）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，若函數(shù)有最小值2，求的值.【解析】（1）當時，的定義域為，則，則，由于函數(shù)在點處切線方程為，即.（2）的定義域為，，當時，令，解得：；令，解得：，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，，即則令，設，令，解得：；令，解得：，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，解得：.20．（2024·高三·江蘇蘇州·階段練習）已知函數(shù)有極值，與函數(shù)的極值點相同，其中是自然對數(shù)的底數(shù).(1)直接寫出當時，函數(shù)在處的切線方程；(2)通過計算用表示；(3)當時，若函數(shù)的最小值為，證明：.【解析】（1）當時，，，從而，，所以函數(shù)在處的切線方程為；（2）因為，令，得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故是函數(shù)的極小值點；又因為，所以，整理得，又當時，，若要使得函數(shù)有極值，則還需，即，綜上所述，，；（3）因為，且由（2）可知，所以，令，則，令，得到，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，所以，從而令，得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，令，則，記，則，因為，所以，單調遞增，所以，即.21．（2024·高一·江蘇·階段練習）已知向量，，且.(1)求的值；(2)求的取值范圍；(3)記函數(shù)，若的最小值為，求實數(shù)的值.【解析】（1）向量，，.（2），，，，，所以的取值范圍為.（3）由（1）（2）可知，函數(shù)，令，則，，其圖像拋物線開口向上，對稱軸方程為，當，即時，最小值為，解得（舍去）；當，即時，最小值為，解得或（舍去）；當，即時，最小值為.綜上可知，.22．（2024·安徽合肥·一模）已知拋物線的焦點為，過點的直線與交于兩點，過作的切線，交于點，且與軸分別交于點.(1)求證：；(2)設點是上異于的一點，到直線的距離分別為，求的最小值.【解析】（1）因為拋物線的焦點為，所以，即的方程為：，如下圖所示：設點，由題意可知直線的斜率一定存在，設，聯(lián)立得，所以.由，得，所以，即.令，得，即，同理，且，所以.由，得，即.所以.故.（2）設點，結合（1）知，即因為，所以.同理可得，所以.又，所以.當且僅當時，等號成立；即直線斜率為0時，取最小值；23．（2024·湖南邵陽·二模）設函數(shù).(1)求的極值；(2)若對任意，有恒成立，求的最大值.【解析】（1）.令，得，令，得.故在單調遞減，在單調遞增.在處取得極小值，無極大值.（2）對恒成立，即對恒成立.令，則只需即可..易知均在上單調遞增，故在上單調遞增且.當時，單調遞減；當時，單調遞增..故，故的最大值為.24．（2024·高三·浙江·階段練習）已知函數(shù)，其中.(1)若曲線在處的切線在兩坐標軸上的截距相等，求的值;(2)是否存在實數(shù)，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，說明理由.【解析】（1），則，故曲線在處的切線為，即，當時，此時切線為，不符合要求當時，令，有，令，有，故，即，故（2），①當時，在上單調遞增，的最大值是，解得，舍去;②當時，由，得，當，即時，時，時，，的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是，又在上的最大值為;當，即時，在上單調遞增，，解得，舍去.綜上所述，存在符合題意，此時25．（2024·高三·河南·階段練習）已知函數(shù).(1)若，求的最大值；(2)若關于的不等式有解，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當時，，所以，當時，單調遞增；當時，單調遞減；故的最大值為.（2）當，即時，在單調遞增，所以即可，故，此時；當，即時，在單調遞減，所以即可，故，此時；當時，使；當，則單調遞增，當，則單調遞減，所以，令，則，所以在上單調遞增，故，即成立.綜上，實數(shù)的取值范圍26．（2024·高三·云南昆明·階段練習）已知，其中為自然對數(shù)底數(shù)．(1)討論的單調性；(2)已知有極值，求的所有極值之和的最大值．【解析】（1）函數(shù)的定義域為，又，令，解得或．①當時，，則當或時，當時，所以在和上單調遞增，在上單調遞減；②當時，，則恒成立，所以在上單調遞增；③當時，，則當或時，當時，所以在和上單調遞增，在上單調遞減．綜上可得：當時在和上單調遞增，在上單調遞減；當時在上單調遞增；當時在和上單調遞增，在上單調遞減．（2）由（1）可得，當時，無極值，故舍去；當時，有兩個極值，分別為，，則，令，，令，，則，令，得，所以當或時，當或時在，上單調遞減，在，上單調遞增，當時，，，，即的所有極值之和的最大值為．27．（2024·高三·北京·開學考試）已