第1頁/共1頁山西省太原市四校2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.設(shè)集合，，則的子集個(gè)數(shù)為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集和子集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以其子集個(gè)數(shù)為．故選：B.2.“”是“函數(shù)是冪函數(shù)”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義以及充分、必要條件等知識(shí)確定正確答案.【詳解】若函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得或，所以“”是“函數(shù)是冪函數(shù)”的充分不必要條件.故選：B3.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】要使函數(shù)有意義，則，求解即可．【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得且，故函數(shù)的定義域?yàn)椋海蔬x：C4.已知，，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，則（）A.e B.1 C.0 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：D．5.已知函數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知結(jié)合配湊法即可求解函數(shù)解析式.【詳解】由，可得.故選：D.6給出下列四個(gè)命題:①函數(shù)就是兩個(gè)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系;②若函數(shù)的定義域只含有一個(gè)元素，則值域也只含有一個(gè)元素;③因?yàn)榈暮瘮?shù)值不隨x的變化而變化，所以不是函數(shù);④定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就確定了.其中正確的有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的定義依次判斷即可.【詳解】對(duì)于①，函數(shù)即是建立在兩個(gè)數(shù)集上的對(duì)應(yīng)關(guān)系，故①正確；對(duì)于②，根據(jù)函數(shù)的定義，函數(shù)的定義域中只含有一個(gè)元素，則根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，只有唯一的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，即值域也只含有一個(gè)元素，故②正確；對(duì)于③，滿足對(duì)任意，都有唯一的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，故是函數(shù)，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，根據(jù)函數(shù)的定義，當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)即被唯一確定，故而函數(shù)的值域也就確定了，故④正確.故選：C7.已知關(guān)于的不等式的解集為，集合，若中有且只有三個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，再分開口向上和開口向下來討論另一個(gè)零點(diǎn)的分布區(qū)間即可求解.【詳解】由不等式由于中有且只有三個(gè)元素，則或，解得，故選：A.8.若命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)特稱命題是假命題得出全稱命題為真，分和，再結(jié)合判別式計(jì)算求解.【詳解】命題“，”是假命題，則命題“，”是真命題，當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，由題知，解得；綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題有多個(gè)選項(xiàng)符合題意，全選對(duì)得滿分，漏選得部分分，錯(cuò)選不選不得分）9.已知，則下列不等式正確是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】通過舉反例排除A項(xiàng)；利用作差法比較判斷B項(xiàng)；利用不等式的性質(zhì)判斷C，D兩項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因，則由可得，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，又，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，故D正確．故選:BCD．10.已知函數(shù)，若非空集合，，，則下列說法中正確的是（）A.為常數(shù) B.的取值與有關(guān)C. D.【答案】AC【解析】【分析】不妨設(shè)的解集為，可得，由，解得或，又，為方程的兩個(gè)根，可得，進(jìn)而求出的取值范圍．【詳解】不妨設(shè)的解集為，則有，∴，由，得且，由(1)得，故A正確，B錯(cuò)誤；∴，∵，，解得或，又，為方程的兩個(gè)根，∴，∴，解得，∴，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知，且，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為9 D.的最小值為8【答案】ABC【解析】【分析】A選項(xiàng)，由基本不等式直接求出的最大值；B選項(xiàng)，由得到B正確；C選項(xiàng)，利用基本不等式“1”的代換求出最小值；D選項(xiàng)，平方后，由基本不等式進(jìn)行求解.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A正確；B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，B正確；C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，C正確；D選項(xiàng)，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以最大值為，故最小值不可能為8，D錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.命題“”的否定是___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定形式，即可求解.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以命題“”的否定是“”.故答案為：13.函數(shù)的定義域是________.【答案】【解析】【分析】要使函數(shù)有意義，須使，求解可得函數(shù)的定義域.【詳解】要使函數(shù)有意義，須使，所以，且.所以函數(shù)的定義域是.故答案為：.14.若集合，且，則實(shí)數(shù)___________.【答案】或.【解析】【分析】根據(jù)題意，分、和，三種情況討論，結(jié)合元素的互異性，即可求解.【詳解】由題意，集合，且，若時(shí)，可得，此時(shí)集合，符合題意；若時(shí)，可得，此時(shí)，不滿足集合元素的互異性，舍去；若時(shí)，可得或（舍去），當(dāng)時(shí)，集合，符合題意，綜上可得，實(shí)數(shù)的值為或.故答案為：或.四、解答題（本題共5小題，共77分）15.已知集合．（1）當(dāng)時(shí)，求與（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1），或；（2）.【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求解集合，再根據(jù)集合的運(yùn)算求解即可；（2）由，得，從而可求解.【小問1詳解】由，得，解得，故.又，當(dāng)時(shí)，，所以.又或，所以或.【小問2詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所?故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.16.已知定義在上的函數(shù)滿足：．（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用方程組法求函數(shù)解析式即可；（2）要使在上恒成立，分離參數(shù)結(jié)合基本不等式求解即可.【小問1詳解】將的替換為得，聯(lián)立解得【小問2詳解】不等式為，化簡(jiǎn)得，要使其在上恒成立，則，，當(dāng)且僅當(dāng)取等，所以．17.已知集合．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由集合的運(yùn)算，得到兩個(gè)集合的關(guān)系，再分和兩種情況討論，最后取兩種情況的并集；（2）先由是的充分不必要條件，得到是的真子集，再根據(jù)集合的關(guān)系列不等式求解．【小問1詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，此時(shí)滿足，則，解得；當(dāng)且，則，解得，所以，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；【小問2詳解】因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集，則，其中不同時(shí)取等號(hào)，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．18.給定函數(shù)，對(duì)于任意.函數(shù)表示中的最大者.記為.函數(shù)表示中的最小者.記為.（1）用解析式表示，并求出的解集；（2）證明：；（3）設(shè)，若對(duì)任意.都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）證明見詳解（3）【解析】【分析】（1）由函數(shù)圖象可知的解析式，然后列不等式解得的解集；（2）由函數(shù)的定義即可證明；（3）由（2）結(jié)論，根據(jù)解析式求得函數(shù)，使得函數(shù)，然后分別由函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)在區(qū)間的值域，根據(jù)題意列出不等式即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由函數(shù)和的圖象可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，解得，∴；當(dāng)時(shí)，.∴.【小問2詳解】當(dāng)函數(shù)時(shí)，，∴成立，當(dāng)函數(shù)時(shí)，，∴成立，∴恒成立.【小問3詳解】，，即，，∴，由（2）可知.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上調(diào)遞增，所以，∵，∴，∵對(duì)任意.都有，即對(duì)任意.都有，∴恒成立，令函數(shù)因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，∴.19.已知二次函數(shù)滿足，且：（1）求的解析式；（2）若在區(qū)間上，的值域?yàn)?，求的取值范?（3）若時(shí)，函數(shù)的圖象恒在圖象的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)，利用題目條件可以得到關(guān)于的方程組，解方程組得到，即可得到解析式；（2）根據(jù)的圖象、值域可得答案；（3）分討論，結(jié)合的圖象求解可得答案.【小問1詳解】設(shè)二次函數(shù)，，由題意知：，整理得：，即：，解得：，∴；【小問2詳解】因?yàn)?，所以其圖象的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，