遼寧省沈陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2026屆高三上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知是兩條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，下列命題正確的是（）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則2．已知函數(shù)，若函數(shù)的極大值點(diǎn)從小到大依次記為，并記相應(yīng)的極大值為，則的值為（）A． B． C． D．3．博覽會(huì)安排了分別標(biāo)有序號(hào)為“1號(hào)”“2號(hào)”“3號(hào)”的三輛車，等可能隨機(jī)順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發(fā)奇想，設(shè)計(jì)兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號(hào)大于第一輛車的車序號(hào)，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號(hào)”車的概率分別為P1，P2，則（）A．P1?P2＝ B．P1＝P2＝ C．P1+P2＝ D．P1＜P24．函數(shù)的大致圖象是A． B． C． D．5．已知，若對(duì)任意，關(guān)于x的不等式（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）至少有2個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．6．根據(jù)散點(diǎn)圖，對(duì)兩個(gè)具有非線性關(guān)系的相關(guān)變量x，y進(jìn)行回歸分析，設(shè)u=lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到線性回歸方程為=0.5v+2，則變量y的最大值的估計(jì)值是（）A．e B．e2 C．ln2 D．2ln27．若，則“”的一個(gè)充分不必要條件是A． B．C．且 D．或8．已知平面向量，滿足，，且，則（）A．3 B． C． D．59．在一個(gè)數(shù)列中，如果，都有（為常數(shù)），那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，叫做這個(gè)數(shù)列的公積.已知數(shù)列是等積數(shù)列，且，，公積為，則（）A． B． C． D．10．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．11．正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，它的底面邊長為，側(cè)棱長為，則它的外接球的表面積為（）A． B． C． D．12．閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的結(jié)果為（）A． B．6 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)(R，)滿足，且的最小值等于，則ω的值為___________.14．在中，，是的角平分線，設(shè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.15．已知為等比數(shù)列，是它的前項(xiàng)和.若，且與的等差中項(xiàng)為，則__________.16．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則滿足的x的取值范圍為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某貧困地區(qū)幾個(gè)丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路，以及鐵路線上的一條應(yīng)開鑿的直線穿山隧道，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，以所在的直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，山區(qū)邊界曲線為，設(shè)公路與曲線相切于點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為.（1）當(dāng)為何值時(shí)，公路的長度最短?求出最短長度；（2）當(dāng)公路的長度最短時(shí)，設(shè)公路交軸，軸分別為，兩點(diǎn)，并測(cè)得四邊形中，，，千米，千米，求應(yīng)開鑿的隧道的長度.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．19．（12分）已知（1）若，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的范圍；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且存在滿足，令函數(shù)，試判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并證明．20．（12分）第十三屆全國人大常委會(huì)第十一次會(huì)議審議的《固體廢物污染環(huán)境防治法（修訂草案）》中，提出推行生活垃圾分類制度，這是生活垃圾分類首次被納入國家立法中．為了解某城市居民的垃圾分類意識(shí)與政府相關(guān)法規(guī)宣傳普及的關(guān)系，對(duì)某試點(diǎn)社區(qū)抽取戶居民進(jìn)行調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表．分類意識(shí)強(qiáng)分類意識(shí)弱合計(jì)試點(diǎn)后試點(diǎn)前合計(jì)已知在抽取的戶居民中隨機(jī)抽取戶，抽到分類意識(shí)強(qiáng)的概率為．（1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為居民分類意識(shí)的強(qiáng)弱與政府宣傳普及工作有關(guān)？說明你的理由；（2）已知在試點(diǎn)前分類意識(shí)強(qiáng)的戶居民中，有戶自覺垃圾分類在年以上，現(xiàn)在從試點(diǎn)前分類意識(shí)強(qiáng)的戶居民中，隨機(jī)選出戶進(jìn)行自覺垃圾分類年限的調(diào)查，記選出自覺垃圾分類年限在年以上的戶數(shù)為，求分布列及數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．下面的臨界值表僅供參考21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)P，Q分別為，的中點(diǎn).求證：（1）PQ平面；（2）平面.22．（10分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，，，（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式﹔（2）設(shè)，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)空間中線線、線面位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng)，若，，，，則或與相交；故A錯(cuò)；B選項(xiàng)，若，，則，又，是兩個(gè)不重合的平面，則，故B正確；C選項(xiàng)，若，，則或或與相交，又，是兩個(gè)不重合的平面，則或與相交；故C錯(cuò)；D選項(xiàng)，若，，則或或與相交，又，是兩個(gè)不重合的平面，則或與相交；故D錯(cuò)；故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查與線面、線線相關(guān)的命題，熟記線線、線面位置關(guān)系，即可求解，屬于常考題型.2、C【解析】

對(duì)此分段函數(shù)的第一部分進(jìn)行求導(dǎo)分析可知，當(dāng)時(shí)有極大值，而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán)，而值域則是每一次前面兩個(gè)單位長度定義域的值域的2倍，故此得到極大值點(diǎn)的通項(xiàng)公式，且相應(yīng)極大值，分組求和即得【詳解】當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)有，，∴經(jīng)單調(diào)性分析知為的第一個(gè)極值點(diǎn)又∵時(shí)，∴，，，…，均為其極值點(diǎn)∵函數(shù)不能在端點(diǎn)處取得極值∴，，∴對(duì)應(yīng)極值，，∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查基本函數(shù)極值的求解，從函數(shù)表達(dá)式中抽離出相應(yīng)的等差數(shù)列和等比數(shù)列，最后分組求和，要求學(xué)生對(duì)數(shù)列和函數(shù)的熟悉程度高，為中檔題3、C【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321方案一坐車可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐車可能：312、321，所以，P1＝；所以P1+P2＝故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

利用函數(shù)的對(duì)稱性及函數(shù)值的符號(hào)即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù)，可排除B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，可排除D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，可排除C選項(xiàng)，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．5、B【解析】

構(gòu)造函數(shù)（），求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增,則,問題轉(zhuǎn)化為,即至少有2個(gè)正整數(shù)解,構(gòu)造函數(shù),,通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,由可知，要使得至少有2個(gè)正整數(shù)解,只需即可,代入可求得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)（），則（），所以在上單調(diào)遞增，所以，故問題轉(zhuǎn)化為至少存在兩個(gè)正整數(shù)x，使得成立，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.，整理得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,考查不等式成立問題中求解參數(shù)問題,考查學(xué)生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.6、B【解析】

將u=lny，v=(x-4)2代入線性回歸方程=-0.5v+2，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可得最大估計(jì)值.【詳解】解：將u=lny，v=(x4)2代入線性回歸方程=0.5v+2得：，即，當(dāng)時(shí)，取到最大值2，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則取到最大值.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了非線性相關(guān)的二次擬合問題，考查復(fù)合型指數(shù)函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)題,.7、C【解析】，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故“且”是“”的充分不必要條件.選C．8、B【解析】

先求出，再利用求出，再求.【詳解】解：由，所以，，，故選：B【點(diǎn)睛】考查向量的數(shù)量積及向量模的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.9、B【解析】

計(jì)算出的值，推導(dǎo)出，再由，結(jié)合數(shù)列的周期性可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】由題意可知，則對(duì)任意的，，則，，由，得，，，，因此，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列求和，考查了數(shù)列的新定義，推導(dǎo)出數(shù)列的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.10、D【解析】

結(jié)合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐,下半部分是一個(gè)底面邊長為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐,下半部分是一個(gè)底面邊長為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個(gè)圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.11、C【解析】

如圖所示，在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，計(jì)算長度，設(shè)球半徑為，則，解得，得到答案.【詳解】如圖所示：在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，，故，，設(shè)球半徑為，則，解得，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.12、D【解析】

用列舉法，通過循環(huán)過程直接得出與的值，得到時(shí)退出循環(huán),即可求得.【詳解】執(zhí)行程序框圖，可得，，滿足條件，，，滿足條件，，，滿足條件，，，由題意，此時(shí)應(yīng)該不滿足條件，退出循環(huán)，輸出S的值為.故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用,正確依次寫出每次循環(huán)得到的與的值是解題的關(guān)鍵,難度較易.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

利用輔助角公式化簡(jiǎn)可得,由題可分析的最小值等于表示相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心與一個(gè)對(duì)稱軸的距離為,進(jìn)而求解即可.【詳解】由題,,因?yàn)?,且的最小值等于,即相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心與一個(gè)對(duì)稱軸的距離為,所以,即,所以,故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用,考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn).14、【解析】

設(shè)，，，由，用面積公式表示面積可得到，利用，即得解.【詳解】設(shè)，，，由得：，化簡(jiǎn)得，由于，故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形綜合，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.15、【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意求出和的值，進(jìn)而可求得和的值，利用等比數(shù)列求和公式可求得的值.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，由于與的等差中項(xiàng)為，則，則，，，，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和，解答的關(guān)鍵就是等比數(shù)列的公比，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)條件確定為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，最后利用單調(diào)性以及奇偶性化簡(jiǎn)不等式，解得結(jié)果.【詳解】依題意，，令，則，故函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，故，則x的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及利用函數(shù)性質(zhì)解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當(dāng)時(shí)，公路的長度最短為千米；（2）（千米）.【解析】

（1）設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程為，根據(jù)兩點(diǎn)間距離得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，從而得出極值和最值，即可得出結(jié)果；（2）在中，由余弦定理得出，利用正弦定理，求出，最后根據(jù)勾股定理即可求出的長度.【詳解】（1）由題可知，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，則直線的方程為，由此得直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為：，則，故，設(shè)，則.令，解得=10.當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，也是最小值，所以，此時(shí).故當(dāng)時(shí)，公路的長度最短，最短長度為千米.（2）在中，，,所以，所以，根據(jù)正弦定理,，，，又，所以.在中，，，由勾股定理可得，即，解得，（千米）.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際的最值問題，涉及構(gòu)造函數(shù)法以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值，還考查正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用，還考查解題分析能力和計(jì)算能力.18、（1）；（2）.【解析】

（1）在已知極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以ρ后，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)，ρ2＝x2+y2可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與x2＝4y由韋達(dá)定理以及參數(shù)的幾何意義和弦長公式可得弦長與已知弦長相等可解得．【詳解】解：（1）在ρ+ρcos2θ＝8sinθ中兩邊同時(shí)乘以ρ得ρ2+ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝8ρsinθ，∴x2+y2+x2﹣y2＝8y，即x2＝4y，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x2＝4y．（2）聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與x2＝4y得：（cosα）2t2﹣4（sinα）t+4＝0，設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，由△＝16sin2α﹣16cos2α＞0，得sinα＞，t1+t2＝，由|PM|＝，所以20sin2α+9sinα﹣20＝0，解得sinα＝或sinα＝﹣（舍去），所以sinα＝．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，屬中檔題．19、（1）（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)后根據(jù)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)大于或等于0（2）先判斷為一個(gè)零點(diǎn)，然后再求導(dǎo)，根據(jù)，化簡(jiǎn)求得另一個(gè)零點(diǎn)。解析：（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，恒成立．[來源:Z&X&X&K]函數(shù)的對(duì)稱軸為．①，即時(shí)，，即，解之得，解集為空集；②，即時(shí)，即，解之得，所以③，即時(shí)，即，解之得，所以綜上所述，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）∵有兩個(gè)極值點(diǎn)，∴是方程的兩個(gè)根，且函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∵∴函數(shù)也是在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減∵，∴是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)．由題意知：∵，∴，∴∴，∴又=∵是方程的兩個(gè)根，∴，,∴∵函數(shù)圖像連續(xù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和．20、（1）有的把握認(rèn)為居民分類意識(shí)強(qiáng)與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系．見解析（2）分布列見解析，期望為1．【解析】

（1）由在抽取的戶居民中隨機(jī)抽取戶，抽到分類意識(shí)強(qiáng)的概率為可得列聯(lián)表，然后計(jì)算后可得結(jié)論；（2）由已知的取值分別為，分別計(jì)算概率得分布列