上海市浦東新區(qū)建平中學2026屆高二上數學期末達標檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．校慶當天，學校需要在靠墻的位置用圍欄圍起一個面積為200平方米的矩形場地.用來展示校友的書畫作品.靠墻一側不需要圍欄，則圍欄總長最小需要（）米A.20 B.40C. D.2．在如圖所示的棱長為1的正方體中，點P在側面所在的平面上運動，則下列四個命題中真命題的個數是（）①若點P總滿足，則動點P的軌跡是一條直線②若點P到點A的距離為，則動點P的軌跡是一個周長為的圓③若點P到直線AB的距離與到點C的距離之和為1，則動點P的軌跡是橢圓④若點P到平面的距離與到直線CD的距離相等，則動點P的軌跡是拋物線A.1 B.2C.3 D.43．函數在處的切線方程為()A. B.C. D.4．已知圓，圓相交于P，Q兩點，其中，分別為圓和圓的圓心.則四邊形的面積為（）A.3 B.4C.6 D.5．函數的最小值是（）A.2 B.4C.5 D.66．如圖，空間四邊形中，，，，且，，則（）A. B.C. D.7．已知函數，則函數在區(qū)間上的最小值為（）A. B.C. D.8．在中，已知角A，B，C所對的邊為a，b，c，，，，則（）A. B.C. D.19．定義“等方差數列”：如果一個數列從第二項起，每一項的平方與它的前一項的平方的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫作等方差數列，這個常數叫作該數列的方公差．設是由正數組成的等方差數列，且方公差為4，，則數列的前24項和為（）A. B.3C. D.610．已知公差不為0的等差數列中，，且，，成等比數列，則其前項和取得最大值時，的值為（）A.12 B.13C.12或13 D.13或1411．設是區(qū)間上的連續(xù)函數，且在內可導，則下列結論中正確的是（）A.的極值點一定是最值點B.的最值點一定是極值點C.在區(qū)間上可能沒有極值點D.在區(qū)間上可能沒有最值點12．在平面直角坐標系中，線段的兩端點，分別在軸正半軸和軸正半軸上滑動，若圓上存在點是線段的中點，則線段長度的最小值為（）A.4 B.6C.8 D.10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中的系數為_________14．已知向量，，且，則實數______.15．小明同學發(fā)現(xiàn)家中墻壁上燈光邊界類似雙曲線的一支.如圖，P為雙曲線的頂點，經過測量發(fā)現(xiàn)，該雙曲線的漸近線相互垂直，AB⊥PC，AB=60cm，PC=20cm，雙曲線的焦點位于直線PC上，則該雙曲線的焦距為____cm.16．圓關于直線的對稱圓的標準方程為_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①，②，③，，成等比數列這三個條件中選擇符合題意的兩個條件，補充在下面的問題中，并求解.已知數列中，公差不等于的等差數列滿足_________，求數列的前項和.18．（12分）數字人民幣是由央行發(fā)行的法定數字貨幣，它由指定運營機構參與運營并向公眾兌換，與紙鈔和硬幣等價.截至2021年6月30日，數字人民幣試點場景已超132萬個，覆蓋生活繳費、餐飲服務、交通出行、購物消費、政務服務等領域.為了進一步了解普通大眾對數字人民幣的感知以及接受情況，某機構進行了一次問卷調查，結果如下：學歷小學及以下初中高中大學專科大學本科碩士研究生及以上不了解數字人民幣35358055646了解數字人民幣406015011014025（1）如果將高中及高中以下的學歷稱為“低學歷”，大學?？萍耙陨蠈W歷稱為“高學歷”，根據所給數據，完成列聯(lián)表.低學歷高學歷合計不了解數字人民幣了解數字人民幣合計（2）若從低學歷的被調查者中隨機抽取2人進行進一步調查，求被選中的2人中至少有1人對數字人民幣不了解的概率：（3）根據列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為“是否了解數字人民幣”與“學歷高低”有關？0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：.19．（12分）已知公差不為的等差數列的首項，且、、成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）設，，是數列的前項和，求使成立的最大的正整數.20．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，過右焦點作直線交于，其中的周長為的離心率為.（1）求的方程；（2）已知的重心為，設和的面積比為，求實數的取值范圍.21．（12分）已知圓，直線（1）證明直線與圓C一定有兩個交點；（2）求直線與圓相交的最短弦長，并求對應弦長最短時的直線方程22．（10分）已知等差數列的前項和為，，且.（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】在出矩形中，設，得到，結合基本不等式，即可求解【詳解】如圖所示，在矩形中，設，則，根據題意，可得矩形圍欄總長為因為，可得，當且僅當時，即時，等號成立，即圍欄總長最小需要米.故選：B.2、C【解析】根據線面關系、距離關系可分別對每一個命題判斷.【詳解】若點P總滿足，又，，，可得對角面，因此點P的軌跡是直線，故①正確若點P到點A的距離為，則動點P的軌跡是以點B為圓心，以1為半徑的圓（在平面內），因此圓的周長為，故②正確點P到直線AB的距離PB與到點C的距離PC之和為1，又，則動點P的軌跡是線段BC，因此③不正確點P到平面的距離（即到直線的距離）與到直線CD的距離（即到點C的距離）相等，則動點P的軌跡是以線段BC的中點為頂點，直線BC為對稱軸的拋物線（在平面內），因此④正確故有①②④三個故選:C3、C【解析】利用導數的幾何意義即可求切線方程﹒【詳解】，，，，在處的切線為：，即﹒故選：C﹒4、A【解析】求得，由此求得四邊形的面積.【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，所以，由、兩式相減并化簡得，即直線的方程為，到直線的距離為，所以，所以四邊形的面積為.故選：A5、C【解析】結合基本不等式求得所求的最小值.【詳解】，，當且僅當時等號成立.故選：C6、C【解析】根據空間向量的線性運算即可求解.【詳解】因為，又因為，，所以.故選：C7、B【解析】根據已知條件求得以及，利用導數判斷函數的單調性，即可求得函數在區(qū)間上的最小值.【詳解】因為，故可得，則，又，令，解得，令，解得，故在單調遞減，在單調遞增，又，故在區(qū)間上的最小值為.故選：.8、B【解析】利用正弦定理求解.【詳解】在中，由正弦定理得，解得，故選：B.9、C【解析】根據等方差數列的定義，結合等差數列的通項公式，運用裂項相消法進行求解即可.【詳解】因為是方公差為4的等方差數列，所以，，∴，∴，∴，故選：C10、C【解析】設等差數列的公差為q，根據，，成等比數列，利用等比中項求得公差，再由等差數列前n項和公式求解.【詳解】設等差數列的公差為q，因為，且，，成等比數列，所以，解得，所以，所以當12或13時，取得最大值，故選：C11、C【解析】根據連續(xù)函數的極值和最值的關系即可判斷【詳解】根據函數的極值與最值的概念知，的極值點不一定是最值點，的最值點不一定是極值點．可能是區(qū)間的端點，連續(xù)可導函數在閉區(qū)間上一定有最值，所以選項A，B，D都不正確，若函數在區(qū)間上單調，則函數在區(qū)間上沒有極值點，所以C正確故選：C.【點睛】本題主要考查函數的極值與最值的概念辨析，屬于容易題12、C【解析】首先求點的軌跡，將問題轉化為兩圓有交點，即根據兩圓的位置關系，求參數的取值范圍.【詳解】設，，的中點為，則，故點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，問題轉化為圓與圓有交點，所以，，即，解得：，所以線段長度的最小值為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】將代數式變形為，寫出展開式的通項，令的指數為，求得參數的值，代入通項即可求解.【詳解】由展開式的通項為，令，得展開式中的系數為.由展開式的通項為，令，得展開式中的系數為.所以的展開式中的系數為.故答案為：.14、【解析】利用向量平行的條件直接解出.【詳解】因為向量，，且，所以，解得.故答案為：.15、【解析】建立直角坐標系，利用代入法、雙曲線的對稱性進行求解即可.【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，設雙曲線的標準方程為：，因為該雙曲線的漸近線相互垂直，所以，即，因為AB=60cm，PC=20cm，所以點的坐標為：，代入，得：，因此有，所以該雙曲線的焦距為，故答案為：16、【解析】先將已知圓的方程化為標準形式，求得圓心坐標(2,2)和半徑2，然后可根據直線的位置直接看出(2,2)點的對稱點，進而寫出方程.【詳解】圓的標準方程為，圓心(2,2),半徑為2，圓心(2,2)關于直線的對稱點為原點,所以所求對稱圓標準方程為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、詳見解析【解析】根據已知求出的通項公式.當①②時，設數列公差為，利用賦值法得到與的關系式，列方程求出與，求出，寫出的通項公式，可得數列的通項公式，利用錯位相減法求和即可；選②③時，設數列公差為，根據題意得到與的關系式，解出與，寫出的通項公式，可得數列的通項公式，利用錯位相減法求和即可；選①③時，設數列公差為，根據題意得到與的關系式，發(fā)現(xiàn)無解，則等差數列不存在，故不合題意.【詳解】解：因為，，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以，選①②時，設數列公差為，因為，所以，因為，所以時，，解得，，所以，所以.所以.（i）所以（ii）（i）（ii），得：所以.選②③時，設數列公差為，因為，所以，即，因為，，成等比數列，所以，即，化簡得，因為，所以，從而，所以，所以，（i）所以（ii）（i）（ii），得：，所以.選①③時，設數列公差為，因為，所以時，，所以.又因為，，成等比數列，所以，即，化簡得，因為，所以，從而無解，所以等差數列不存在，故不合題意.【點睛】本題考查了等差（比）數列的通項公式，考查了錯位相減法在數列求和中的應用，考查了轉化能力與方程思想，屬于中檔題.18、（1）列聯(lián)表答案見解析；（2）；（3）沒有的把握認為“是否了解數字人民幣”與“學歷高低”有關.【解析】(1)根據給定表中數據列出列聯(lián)表作答.(2)利用給定條件結合古典概率公式計算作答.(3)利用(1)中信息求出的觀測值，再與臨界值表比對作答.【小問1詳解】列聯(lián)表如下：低學歷高學歷合計不了解數字人民幣150125275了解數字人民幣250275525合計400400800【小問2詳解】由(1)知，被調查者中低學歷的有400，其中不了解數字人民幣的有150，從400人中任取2人有個基本事件，它們等可能，被選中的2人中至少有1人對數字人民幣不了解的事件A有個基本事件，所以被選中的2人中至少有1人對數字人民幣不了解的概率.【小問3詳解】由(1)知，的觀測值為，所以沒有的把握認為“是否了解數字人民幣”與“學歷高低”有關.19、（1）（2）【解析】（1）設等差數列的公差為，根據已知條件可得出關于實數的等式，結合可求得的值，由此可得出數列的通項公式；（2）利用裂項求和法求出，解不等式即可得出結果.【小問1詳解】解：設等差數列公差為，則，由題意可得，即，整理得，，解得，故.【小問2詳解】解：，所以，，由得，可得，所以，滿足成立的最大的正整數的值為.20、（1）（2）【解析】（1）已知焦點弦三角形的周長，以及離心率求橢圓方程，待定系數直接求解即可.（2）第一步設點設直線，第二步聯(lián)立方程韋達定理，第三步條件轉化，利用三角形等面積法，列方程，第四步利用韋達定理進行轉化，計算即可.【小問1詳解】因為的周長為，的離心率為，所以，，所以，，又，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】方法一：，，的面積為，的面積為，則，得，①設，與橢圓C方程聯(lián)立，消去得，由韋達定理得，.令，②則，可得當時，當時，所以，又解得③由①②③得，解得.所以實數的取值范圍是.方法二：同方法一可得的面積為，的面積為，則，得，①設，與橢圓C方程聯(lián)立，消去得，由韋達定理得，.所以因為，所以解得②由①②解得.所以實數的取值范圍是.21、（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】（1）由，變形為求解直線過的定點，即可得解；（2）法一：由圓心和連線與直線垂直求解；法二：由圓心到直線距離最大時求解.【小問1詳解】解：，所以，令，所以直線經過定點，圓可變形為，因為，所以定點在圓內，所以直線和圓C相交，有兩個交點；【小問2詳解】法一：圓心為，到距離為，圓心與連線的斜率為，最短弦與圓心和的連線垂直，所以，所以最短弦長為，直線的方程為法二：圓心到直線距離：，，要求d的最大值，則，當且僅當時，d的最大值為，所以最短弦長為，直線的方程為.22、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據等差數列的性質及題干條件，可求得，代入公式，即可求得數列的通項公式；（2）由（1）可得，利用裂項相消求和法，即可求得，即可得證.【詳解】解：（1）設數列的公差為，在中，令，得，即，故①.由得，所以②.由①②解得，.所以數列的通項公式為：.（2）由（1）可得，所以，故，所以.因為，所以.【點睛】數列