數(shù)字信號(hào)處理CONTENTS第2章離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析01離散時(shí)間系統(tǒng)02線性離散卷積03差分方程2.1離散時(shí)間系統(tǒng)2.1.1線性系統(tǒng)2.1.2時(shí)不變性2.1.3線性時(shí)不變系統(tǒng)2.1.4因果穩(wěn)定系統(tǒng)2.1.5線性時(shí)不變系統(tǒng)2.1.1

線性系統(tǒng)系統(tǒng)是一個(gè)由若干互相有關(guān)聯(lián)的單元組成，并且有某種功能來(lái)用以完成、達(dá)到特定目的的一個(gè)整體。系統(tǒng)中各子系統(tǒng)的輸入、輸出信號(hào)均表現(xiàn)為脈沖序列或數(shù)碼形式的離散信號(hào)（數(shù)字信號(hào)），該系統(tǒng)為離散系統(tǒng)。離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程式，也可以用系統(tǒng)函數(shù)、方框圖、信號(hào)流圖來(lái)表示，在離散時(shí)間系統(tǒng)中，基本運(yùn)算單元是移位（延遲）、乘系數(shù)和相加。2.1.1

線性系統(tǒng)在離散系統(tǒng)中，若滿足疊加性和比例性（或齊次性）特點(diǎn)的為線性系統(tǒng)，否則為非線性系統(tǒng)。若對(duì)兩個(gè)激勵(lì)：式中a、b為任意常數(shù)，該式具有滿足疊加性和齊次性的特點(diǎn)。線性系統(tǒng)具有“零輸入產(chǎn)生零輸出”的特性，也可以由此判斷是否為線性系統(tǒng)。2.1.1

線性系統(tǒng)2.1.2

時(shí)不變性系統(tǒng)中最重要、最常用的是“線性、時(shí)不變系統(tǒng)LTI”，描述該離散系統(tǒng)的輸入、輸出特性使用常系數(shù)線性差分方程。若系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵(lì)加于系統(tǒng)的時(shí)刻無(wú)關(guān)，則該系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)。時(shí)不變系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間而變化，即不管輸入信號(hào)作用的時(shí)間先后，對(duì)應(yīng)輸出響應(yīng)信號(hào)的形狀均相同，僅是出現(xiàn)的時(shí)間不同。由于在離散系統(tǒng)中時(shí)間的變化主要靠移位來(lái)實(shí)現(xiàn)，故一般也稱為移不變系統(tǒng)（LSI）。可表示為：2.1.2

時(shí)不變性2.1.3

線性時(shí)不變性在離散系統(tǒng)中，既滿足疊加原理又具有時(shí)不變特性，即同時(shí)具有線性和移不變性的離散時(shí)間系統(tǒng)稱為線性移不變系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為：LSI（LinearShiftInvariant）系統(tǒng)，它可以用單位脈沖響應(yīng)來(lái)表示。單位脈沖響應(yīng)是輸入端為單位脈沖序列時(shí)的系統(tǒng)輸出，一般表示為：任一輸入序列的響應(yīng)：設(shè)系統(tǒng)對(duì)單位采樣序列δ(n)的響應(yīng)時(shí)h(n)2.1.5線性時(shí)不變系統(tǒng)的分析方法系統(tǒng)分析就是建立表征系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程并求出解答。因此，分析線性系統(tǒng)一般必須首先建立描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后再進(jìn)一步求得系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的解。在建立系統(tǒng)模型方面，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述方法可分兩類：一類稱為輸入、輸出描述法（外部法）；另一類稱為狀態(tài)變量描述法（內(nèi)部法）。時(shí)域法是直接分析時(shí)間變量的函數(shù)，研究系統(tǒng)的時(shí)域特性。變換域方法是將信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)間變量函數(shù)變換成相應(yīng)變換域的某個(gè)變量函數(shù)。（1）離散卷積。（2）Z變換。（3）傅里葉變換。2.2線性離散卷積2.2.1線性離散卷積的定義2.2.2線性離散卷積的運(yùn)算規(guī)律與性質(zhì)2.2.3離散序列卷積的圖解法2.2.4離散序列卷積的解析法2.2.5使用conv()函數(shù)計(jì)算序列卷積2.2.1

線性離散卷積的定義對(duì)線性時(shí)不變系統(tǒng)的任何有意義的輸入，都可以用卷積的方式來(lái)求其輸出。該離散卷積也稱為“線性離散卷積”或“直接離散卷積”。卷積結(jié)果的長(zhǎng)度（即輸出的元素個(gè)數(shù)）為：length(y)=length(x)+length(h)-12.2.2

線性離散卷積的運(yùn)算規(guī)律與性質(zhì)交換律結(jié)合律分配律：篩選特性：與δ(n-k)卷積的移位性離散卷積不存在微分、積分性質(zhì)2.2.2

線性離散卷積的運(yùn)算規(guī)律與性質(zhì)結(jié)合律：級(jí)聯(lián)（串聯(lián)）系統(tǒng)的變換，在輸出結(jié)果上與級(jí)聯(lián)次序無(wú)關(guān)。其意義是，可以互換級(jí)聯(lián)（串聯(lián)）系統(tǒng)的順序。分配律：并聯(lián)系統(tǒng)的變換，等于各子系統(tǒng)變換之和?；虿⒙?lián)系統(tǒng)可以等效為一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸出不變。2.2.3

離散序列卷積的圖解法：序列反褶移位相乘取和2.2.3

離散序列卷積的圖解法：序列反褶移位相乘取和依此類推，求出其他子項(xiàng)：y(n)=[0.511.522.52.521.510.5]2.2.3

離散序列卷積的圖解法：序列反褶移位相乘取和其長(zhǎng)度為length(y)=length(x)+length(h)-1=10，其卷積結(jié)果序列圖形如圖2-2-7。2.2.4

離散序列卷積的解析法由x(n)、h(n)、

可得：卷積結(jié)果圖形與圖2-2-7相同。2.2.5

使用conv()函數(shù)計(jì)算序列卷積式中，x、h分別為待卷積的兩序列的向量表示，y是卷積的結(jié)果。如果N=length(x)、M=length(h)，則輸出序列y的長(zhǎng)度length(y)=N+M-1。例如：>>x=[11111];h=[0.50.50.50.50.50.5];>>y=conv(x,h)>>m=length(y)-1;n=0:m;>>stem(n,y);axis([-5,15,0,3]);給出的卷積結(jié)果圖形與圖2-2-7相同，結(jié)果存放在數(shù)組y中。>>y=0.50001.00001.50002.00002.50002.50002.00001.50001.00000.5000注意：conv()函數(shù)默認(rèn)只能計(jì)算從n=0開(kāi)始的右邊序列卷積。2.3差分方程2.3.1差分方程的建立2.3.2差分方程的經(jīng)典解法2.3.3差分方程的迭代解法及MATLAB實(shí)現(xiàn)2.3.4離散系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)及MATLAB實(shí)現(xiàn)2.3.1差分方程的建立1差分方程的時(shí)域模型2差分方程的獲得3差分方程的特點(diǎn)4常系數(shù)差分方程的求解方法2差分方程的獲得1由實(shí)際問(wèn)題直接得到差分方程2由微分方程導(dǎo)出差分方程3由系統(tǒng)框圖寫(xiě)差分方程如圖2-3-2所示是一個(gè)簡(jiǎn)單的離散系統(tǒng)?？蓪?xiě)為圖2-3-2一個(gè)簡(jiǎn)單的離散系統(tǒng)3差分方程的特點(diǎn)（1）系統(tǒng)當(dāng)前的輸出（即在k時(shí)刻的輸出），不僅與激勵(lì)有關(guān)，而且與系統(tǒng)過(guò)去的輸出、、…有關(guān)，即系統(tǒng)具有記憶功能。（2）差分方程的階數(shù)：差分方程中變量的最高和最低序號(hào)差數(shù)為階數(shù)。（3）微分方程可以用差分方程來(lái)逼近，微分方程解是精確解，差分方程解是近似解，兩者有許多類似之處。（4）差分方程描述離散時(shí)間系統(tǒng)，輸入序列與輸出序列間的運(yùn)算關(guān)系與系統(tǒng)框圖有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。4常系數(shù)線性差分方程的求解方法（1）時(shí)域經(jīng)典法。與求解微分方程的步驟相同，先求齊次解和特解，然后代入邊界條件求待定系數(shù)。（2）遞推法，或稱迭代法。給定輸入序列和初始條件，…，，就可以由上述各式計(jì)算n≥0時(shí)的輸出。該方法簡(jiǎn)單，但只能給出數(shù)值解，不能給出閉式解（即解析式）。（3）卷積法。利用離散卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。（4）Z變換法。2.3.2差分方程的經(jīng)典解法離散系統(tǒng)差分方程的經(jīng)典解法與求解連續(xù)系統(tǒng)微分方程的步驟類似，先求齊次解和特解，然后代入邊界條件求待定系數(shù)。離散系統(tǒng)響應(yīng)的分解方式與連續(xù)系統(tǒng)相同：齊次解代表零輸入響應(yīng)（Zero-input）、自由響應(yīng)（Natural）或暫態(tài)響應(yīng)（Transient）；特解代表零狀態(tài)響應(yīng)（Zero-state）、受迫響應(yīng)（強(qiáng)迫響應(yīng)forced）或穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（Steady-state）。1求齊次解2特解3離散系統(tǒng)差分方程的全解3離散系統(tǒng)差分方程的全解3離散系統(tǒng)差分方程的全解2.3.3差分方程的迭代解法及MATLAB實(shí)現(xiàn)1差分方程的迭代解法2filter()函數(shù)解差分方程1差分方程的迭代解法2

filter()函數(shù)解差分方程圖2-3-4系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)2.3.4離散系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)及MATLAB實(shí)現(xiàn)1離散時(shí)間系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的定義2impz()函數(shù)求系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)3LSI系統(tǒng)的階躍響應(yīng)與stepz()函數(shù)1離散時(shí)間系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的定義LSI系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)可表示為如下的卷積計(jì)算式即為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，是激勵(lì)信號(hào)

與單位沖激序列的卷積和。2impz()函數(shù)求系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)在MATLAB中可以使用函數(shù)impz()求離散系統(tǒng)沖激響應(yīng)并繪制其時(shí)域波形。（1）[h,t]=impz(b,a)：根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的分母系數(shù)a和分子系數(shù)b，自動(dòng)以t=[0:n-1]‘、n=length(t)計(jì)算濾波器的脈沖響應(yīng)，并返回脈沖響應(yīng)的列向量h和采樣時(shí)間列向量t。（2）[h,t]=impz(b,a,n)：指定采樣個(gè)數(shù)n，計(jì)算濾波器的n點(diǎn)脈沖響應(yīng)，t=[0:n-1]'。（3）[h,t]=impz(b,a,n,fs)：求數(shù)值解。計(jì)算濾波器的采樣時(shí)間為1/fs的n點(diǎn)脈沖響應(yīng)。（4）impz(b,a)：繪制其時(shí)域波形。根據(jù)分母系數(shù)a和分子系數(shù)b，自動(dòng)以t=[0:n-1]'、n=length(t)計(jì)算濾波器的脈沖響應(yīng)，在當(dāng)前窗口繪制脈沖響應(yīng)曲線圖形。（5）impz(Hd)：繪制其時(shí)域波形。在fvtool窗口繪制脈沖響應(yīng)曲線圖形。輸入?yún)?shù)Hd是一個(gè)dfilt濾波器對(duì)象或dfilt濾波器對(duì)象的數(shù)組。2impz()函數(shù)求系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)注：需要注意impz()函數(shù)自動(dòng)選擇采樣長(zhǎng)度的方法。3

LSI系統(tǒng)的階躍響應(yīng)與stepz()函數(shù)

如果輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)，則引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)。stepz()函數(shù)用于離散系統(tǒng)或數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng)：（1）[h,t]

=

stepz(b,a)：以分子多項(xiàng)式系數(shù)b和分母多項(xiàng)式系數(shù)a計(jì)算數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng)。stepz自動(dòng)選擇采樣時(shí)間并以列向量返回響應(yīng)h和采樣時(shí)間t