數(shù)字信號處理（MATLAB版）第

6章確定性信號的數(shù)字譜分析數(shù)字信號處理（MATLAB

版）對信號和系統(tǒng)進行分析研究、處理有時域和頻域兩類方法，兩種方法之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，在許多情況下頻域方法比時域處理方法更有優(yōu)勢。數(shù)字譜分析就是利用數(shù)字方法求信號頻譜的離散近似值。隨著現(xiàn)代化技術(shù)的發(fā)展，信號分析與控制技術(shù)從模擬轉(zhuǎn)向數(shù)字，從非實時轉(zhuǎn)到實時分析與控制，對數(shù)據(jù)處理和運算速度提出了更高要求。由于

FFT

算法的出現(xiàn)和超大規(guī)模集成電路技術(shù)的發(fā)展，滿足了對大數(shù)據(jù)量和高速運算的要求。目前數(shù)字譜分析技術(shù)在許多工程技術(shù)領(lǐng)域已成為不可缺少的技術(shù)手段，廣泛應(yīng)用于通訊、控制、圖像處理、音視頻處理、雷達、聲納、生物醫(yī)學(xué)、地球物理、航空航天等高科技領(lǐng)域。第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用

表征物理現(xiàn)象的各種信號，可分為離散信號和連續(xù)信號、確定性信號和隨機信號。對于確定性信號，傅里葉變換是頻率分析研究的理論基礎(chǔ)。FFT

是離散傅立葉變換

DFT

的快速算法，可以將一個信號從時域變換到頻域。有些信號在時域上是很難看出有什么特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出頻譜特征了。這就是很多信號分析采用

FFT

變換的原因。使用

FFT

分析處理離散信號非常方便，而使用

FFT

實現(xiàn)連續(xù)信號的分析，是利用計算機對連續(xù)信號進行分析和處理的必然趨勢和手段，特別是對于一些復(fù)雜信號、高速信號或要求實時處理的信號，可以充分發(fā)揮

FFT

高速計算的優(yōu)勢。6.1

數(shù)字頻譜分析的原理和方法數(shù)字信號處理（MATLAB

版）6.1.1

FFT

應(yīng)用于頻譜分析的思路

在應(yīng)用計算機進行信號處理時，可計算性是個問題，要求信號是離散、有限長的。從表

4-1

中可見只有第

4

種即離散傅立葉級數(shù)

DFS

可以滿足計算機對離散周期信號進行處理的問題，離散周期信號的時域與頻域函數(shù)都是離散信號。DFT

理論解決了離散非周期信號的處理問題并可以應(yīng)用于離散周期性信號，F(xiàn)FT

理論使

DFT

運算應(yīng)用于實際工作成為可能，F(xiàn)FT

使高速、高效運算滿足實時信號處理的要求，達到理論和實踐的統(tǒng)一。如果將

FFT

應(yīng)用于連續(xù)信號，則可以實現(xiàn)對所有確定性信號的分析。將

FFT

應(yīng)用于連續(xù)信號，其思路是在時域和頻域同時對信號采樣，解決信號的離散問題；對信號加窗進行截斷，解決信號的有限長度問題。用計算機進行信號處理時，不可能對無限長的信號進行測量和運算，而是取其有限的時間片段進行分析，這個過程稱信號截斷。為便于數(shù)學(xué)處理，對截斷信號做周期延拓，得到虛擬的無限長信號。周期延拓后的信號與真實信號是不同的、近似的，因此是不可避免會出現(xiàn)各種誤差，但是要采取各種措施使這些誤差最小，使處理后的信號接近真實情況。第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用

在

FFT

應(yīng)用中，需要考慮數(shù)字化問題和有限長度問題：即離散和截斷。還應(yīng)注意處理頻譜混疊問題、頻譜泄漏問題、柵欄效應(yīng)問題和頻譜分辨率等問題。從連續(xù)信號到離散信號的傅里葉變換過程，如圖

6-1-1

所示。1.

數(shù)據(jù)預(yù)處理無論在時域或頻域，計算機分析只能使用有限長、離散信號，因此首先要對數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，包括防混疊濾波、離散（A/D）、截斷等。然后進行周期延拓，獲得近似的周期離散信號。最后取其主周期作為有限長離散信號，就可以進行系統(tǒng)分析和

FFT

變換了。

xa

(t)

為一般連續(xù)信號，

x(t)

為經(jīng)過限制最高頻率的帶限連續(xù)信號，數(shù)據(jù)預(yù)處理過程，如圖

6-1-2

所示。（1）在連續(xù)域，當給定的信號頻帶很寬或無限寬時，必須從實際需要出發(fā)，進行截斷處理，將帶寬限制在一定范圍，并保證在此帶寬內(nèi)，從數(shù)字域分析的結(jié)果能滿足對連續(xù)系統(tǒng)分析精度的要求。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）前置濾波器

LPF（預(yù)濾波器）的引入，是為了消除或減少時域連續(xù)信號在轉(zhuǎn)換成序列時可能出現(xiàn)的頻譜混疊，所以該濾波器也稱為“抗混疊濾波器”。該濾波器通常低通濾波器（LPF），限定信號的最高頻率，使之滿足

A/D

變換時的

Nyquist采樣定理。圖

6-1-1

連續(xù)信號的傅里葉變換過程第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用圖

6-1-2連續(xù)信號的數(shù)據(jù)預(yù)處理（2）在

DFT

的推導(dǎo)過程中我們知道，這是一個近似過程：

首先是用離散采樣信號的

DTFT，即

X

(e

j

)

來近似連續(xù)信號

x(t)

的傅氏變換X

(

j

)

；其次是將

x(n)

截短。實際工作中，時域離散信號

x(n)

的時域?qū)挾仁呛荛L的，甚至是無限長度的，如語音信號、音樂信號等。DFT

處理時，必須把

x(n)

的長度限定在一定區(qū)間內(nèi)，就是將

x(n)

截短。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）這一過程等效于用一窗函數(shù)w

n

與

x(n)

相乘，一般用矩形窗即序列

RN

(n)

與

x(n)

相乘，其頻域中是兩個頻譜函數(shù)的卷積，即

DTFT

為：（6.1.1）j

j

j

式中

RN

(e )

是

RN

(n)

的

DTFT，可見

X

N

(e )是

X

(e )

和矩形序列的頻率響應(yīng)R(

j

N

e )

的

N

點卷積的結(jié)果。（3）最后，對截短的信號利用

FFT

作離散傅立葉變換，等效于對

X

(e

j

)

在頻率軸上進行等間隔采樣的結(jié)果。第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用2.

三種誤差用

DFT

逼近連續(xù)信號

x(t)

頻譜，主要存在著以下三種誤差：（1）時間有限長連續(xù)信號如果連續(xù)信號

xa

(t)

為時間有限長連續(xù)信號，其帶寬即傅立葉變換

X

(

j

)

為無限長，其采樣頻率

f

s

（或

s

）不可能大于信號

x(t)

的最高頻率

f

h

（或

h

），所以會產(chǎn)生混頻誤差，即頻譜的混疊。（2）時間無限長連續(xù)信號如果連續(xù)信號

xa

(t)

為時間無限長連續(xù)信號，其帶寬即傅立葉變換

X

(

j

)

為有限長。首先要對信號

xa

(t)

進行截斷處理，相當于乘以矩形窗函數(shù)

R(t)

：x(t)

xa

(t).R(t) （6.1.2）根據(jù)傅立葉變換的性質(zhì)，時域相乘則相當于頻域的卷積，由于矩形窗的頻譜除主瓣外還有較大的旁瓣，會產(chǎn)生“吉布斯”現(xiàn)象，旁瓣泄漏，即出現(xiàn)截斷誤差。

為減少泄漏，可選擇不同的窗函數(shù)，用w(t)

表示。（3）由于頻譜的離散性，出現(xiàn)柵欄效應(yīng)。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）6.1.2吉布斯現(xiàn)象具有不連續(xù)點的周期函數(shù)的頻譜將具有不連續(xù)點的周期函數(shù)（如圖

6-1-3

所示的連續(xù)周期矩形方波）進行傅立葉級數(shù)展開為：圖

6-1-3

連續(xù)周期矩形方波信號

選取有限項進行合成，例如用

100

項的級數(shù)來逼近，編寫

MATLAB程序繪制出前

100

項合成的連續(xù)周期矩形方波信號曲線，如圖

6-1-4

所示。對于存在跳躍間斷點的周期信號，用傅里葉級數(shù)來還原信號時，級數(shù)不能一致收斂于原信號，只能是能量意義上的均方收斂。還原的信號在間斷點的兩邊存在著起伏，當選取的項數(shù)很大時，該峰值趨于一個常數(shù)（大約等于總跳變值的9%左右）。這種現(xiàn)象稱為“吉布斯”現(xiàn)象（Gibbs

phenomenon，又叫“吉布斯”效應(yīng)）。圖

6-1-4

取前

100項合成的連續(xù)周期矩形方波信號第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用增加選取的項數(shù)，會使起伏震蕩變密（向間斷點處壓縮），但是離間斷點最近的那個肩峰總是存在大約

9%的超調(diào)。選取的項數(shù)越多，在所合成的波形中出現(xiàn)的波峰越靠近原信號的不連續(xù)點，合成的信號與原信號之間的均方差越小，合成的信號越接近于原信號；當n

時，合成的信號就等于原信號。2.

沒有不連續(xù)點的周期函數(shù)的頻譜對于沒有不連續(xù)點的連續(xù)信號，例如三角波就不存在這個問題，其傅里葉級數(shù)能在處處一致收斂于原信號。在所取的項數(shù)不是很大時，就可以用傅里葉級數(shù)得到很好的逼近效果。例如對于一個峰峰值為

2，周期為

2

的奇三角信號，將其展開為傅里葉級數(shù)：圖

6-1-5

取前

50

項合成的連續(xù)周期三角波信號仿真結(jié)果可以看到，隨著項數(shù)的增加，三角波的傅里葉級數(shù)和越來越接近原信號了，在項數(shù)

n=50

時已經(jīng)基本看不出和原信號的差別。如圖

6-1-5

所示。第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用6.1.3DFT

參數(shù)的選擇DFT

運算時各參數(shù)的定義、選擇原則如下：時域采樣Ts

、

fs

：時域抽樣間隔、時域抽樣頻率。T0

：時域周期（或叫信號記錄長度，基頻的一個周期）。fk

：信號最高頻率（k

次諧波），沒有諧波關(guān)系的或用

fh

表示。fm

：是頻域內(nèi)帶寬截止頻率。根據(jù)采樣定律選擇

fs

、Ts：數(shù)字信號處理（MATLAB

版）Ts

：時域抽樣間隔。fs

：時域抽樣頻率：（6.1.3）Ts

1/f

s（1）對于具有已知解析式的周期信號：（A）具有諧波關(guān)系：

f0

為基頻，T0

1

/

f0

為基本周期，k

為最高次諧波，根據(jù)采樣定律選擇

fs

：kk0s2kf 2

f1 1

fs

2kf0

2

f 或T

（6.1.4）為了避免時域采樣點為

值，可選擇：f

s

(2k

1)f

0

(2k

1)

/

T0（6.1.5）（B）對于周期信號，無諧波關(guān)系，

f

h

是最高頻率：（6.1.6）或（2）對非周期信號，

fm

是帶寬：或（6.1.7）數(shù)字信號處理（MATLAB

版）2.

采樣點數(shù)

N確定采樣點數(shù)

N：采樣點數(shù)，由頻率分辨率

f0

（或

f

）確定：（6.1.8）一般可取

n=1，N取

2的整數(shù)冪。3.

DFT

的頻率分辨率DFT

的頻譜分辨率

f

（也可用頻域取樣間隔

f0

）是指對信號中兩個靠的較近的頻譜分量的識別能力，在周期信號中是基頻，即時域基本周期長度的倒數(shù)；在非周期信號中是時域截止頻率，即記錄長度的倒數(shù)。因此它僅決定于截取連續(xù)信號的長度（連續(xù)信號的截止頻率

f0

），在采樣頻率

fs

不變時，通過改變采樣點數(shù)

N

可以改變

DFT

的分辨率

f

。DFT

頻率分辨率，要滿足

DFT

線譜間的距離（

2

/

N

），則頻率分辨率

f

為：（6.1.9）采樣周期Ts

固定時，增大

N

可以減小

f

。當

N

固定時，增大Ts，

f

減小，但減小了高頻成分的容量。對非周期信號，如果

fm

、

f

固定時：

（6.1.10）所以，DFT

頻率分辨率只與兩個參數(shù)有關(guān)：采樣頻率

fs

（或Ts

）和有效數(shù)據(jù)長度

N。第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用L

NTs

N/

f

s （6.1.11）L

為

x(n)

的時間記錄長度，由于周期信號在一個周期內(nèi)包含了信號的全部信息，因此可以選擇時域取樣長度為基本周期的整數(shù)倍：在周期信號中一般取

L

nT0

。

一般可取

n=1，即：

L

T0

NTs

、

N

T0

/

Ts

(2k

1)

，并取

2的整數(shù)次冪。各頻率之間的關(guān)系為：（6.1.12）4.

確定記錄長度

L也可由上述兩參數(shù)

N、Ts

確定記錄長度

L（或T0

）：數(shù)字信號處理（MATLAB

版）【例

6-1-1】確定連續(xù)信號

DFT

分析的參數(shù)。

有一頻譜分析用的

FFT

處理器，其取樣點數(shù)為

2

的整數(shù)次冪，已給條件為：頻率分辨率

f1

10Hz

，信號最高頻率

fh

4kHz

。確定以下參量：最小記錄長度T0

；取樣點最大時間間隔

T（即最小取樣頻率）；在一個記錄中最少點數(shù)

N。解：（1）最小記錄長度：

T0

1

/

f1

1

/

10

0.1s

100mssh12

f（2）最大取樣間隔：

T

1

/

2

4000

0.125ms（3）最小記錄點數(shù)：

N

T0

/

Ts

100

/

0.125

800因此

N

取大于

800

的

2

的整數(shù)次冪：N=1024。第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用5.

連續(xù)正弦信號的采樣連續(xù)時間正弦信號是很重要的一種信號，不管是理論研究上還是在信號處理的實際應(yīng)用中，它都有著廣泛的應(yīng)用。例如，常用正弦信號加白噪聲作為輸入信號來研究某一實際系統(tǒng)或某一算法的性能。設(shè)連續(xù)時間正弦信號為：x(t)

Asin(

0t

)

Asin(2

f0t

)由于這一正弦信號頻譜為在

f0

處的

函數(shù)，因而對它的抽樣，就會遇到一些特殊問題。抽樣定理要求抽樣頻率大于或等于信號最高頻率的兩倍，應(yīng)用于正弦信號時要求抽樣頻率大于信號最高頻率的兩倍，不取等于兩倍。原因如下：（1）當抽樣頻率

fs

2

f0

時當

0

時，無法恢復(fù)原信號

x(t)

。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）當

/

2

時，可由

x(n)

重建原信號。當

為

已

知

，

且

0

/

2

時

，

則

恢

復(fù)

的

不

是

原

信

號

，

而

是

：x'(t)

Asin(

)

cos(

0

t)

但經(jīng)過移位和幅度變換，仍可得到原信號。當

為未知時，則根本得不到原信號。從上式看出，由于有三個未知數(shù)，只要保證在它的一個周期內(nèi)均勻地抽得該三個未知數(shù)的樣值，即可由

x(n)

準確地重建

x(t)

。對離散周期的正弦信號，作截斷時，其截斷長度必須為此周期信號周期的整數(shù)倍，才不會產(chǎn)生離散頻譜的泄漏。正弦信號的抽樣不宜補零，否則將產(chǎn)生頻域泄漏。第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用【例

6-1-2】連續(xù)正弦信號的采樣。對連續(xù)的單一頻率周期信號

x(t)

sin(

t)

，按采樣頻率

fs

15

f

采樣，截取長度

N分別選

N=2.5*k

和

N

=2*k，觀察其

FFT

結(jié)果的幅度譜。解：此時離散序列ω=

/fs=2

f

/

fs=2

，即

，k=15。計算結(jié)果示于圖

6-1-6(a)和(b)分別是

N=37.5

時的截取信號和

FFT

結(jié)果，由于截取了

2.5

個周期，頻譜出現(xiàn)泄漏；圖

6-1-6(c)和(d)分別是

N=30

時的截取信號和

FFT

結(jié)果，由于截取了

2個整周期，得到單一譜線的頻譜。上述頻譜的誤差主要是由于時域中對信號的非整周期截斷產(chǎn)生的頻譜泄漏。第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用圖

6-1-6

不同截取長度傅立葉變換的兩種結(jié)果比較數(shù)字信號處理（MATLAB

版）6.1.4用

FFT

進行譜分析的誤差及其解決方案在

DFT

的推導(dǎo)過程中我們知道，用

DFT逼近實際的頻譜函數(shù)是一個近似過程，中間要經(jīng)歷離散、截斷等環(huán)節(jié)，下面討論這一近似過程中出現(xiàn)的問題及其解決方案。混疊采樣序列的頻譜是被采樣模擬信號頻譜的周期延拓，當采樣頻率不滿足奈奎斯特采樣定理時，就會發(fā)生頻譜的混疊，使得采樣后的序列信號頻譜不能真實的反映原信號的頻譜。另外，從連續(xù)信號

xa

(t)

本身來看，其傅立葉變換為

Xa

(

j

)

，若

Xa

(

j

)

是有限帶寬的，且滿足在|

|

/

2

時恒為零，那么

X

(e

j

)

不會出現(xiàn)混疊，也即

X

(e

j

)

的一個s周期等于

Xa

(

j

)

。第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用在很多情況下可能無法預(yù)知信號的頻率，也就無法保證滿足|

|

s

/

2

這一條件，為了確保不發(fā)生混疊現(xiàn)象，常在模擬信號采樣環(huán)節(jié)之前加一個模擬低通濾波器，限制信j

號的最高頻率，保證滿足|

|

s

/

2

，那么

X

(e )

就不會出現(xiàn)混疊，該濾波器稱為“抗混疊濾波器”。根據(jù)理論分析，頻帶寬度為有限的信號其時間必然是無限的，

xa

(t)

必定是無限長的信號，那么

x(n)

也是無限長的。我們知道

FFT（或

DFT）只能用于計算有限長的信號，必須對

x(n)

截短，但截短又帶來了新的問題，即頻譜“泄露”。2.

頻譜“泄露”（1）在實際問題中，遇到的離散時間序列

x(n)

通常是時域無限長、頻域帶寬有限序列，因而處理這個序列的時候需要將它截短。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）截短相當于將序列乘以窗函數(shù)

w(n)

，而窗函數(shù)的時寬有限，其頻帶無限。根據(jù)頻域卷積定理，時域中

x(n)

和

w(n)

相乘對應(yīng)于頻域中它們的離散傅立葉變換

X

(e

j

)

和W

(e

j

)

的卷積。因此，

x(n)

截矩后的頻譜不同于它以前的頻譜

X

(e

j

)

，而是

X

(e

j

)

和W

(e

j

)

的卷積。（2）如果時域或頻域很長或是無限長時，需要進行截斷處理，使之成為有限長或帶限信號。將連續(xù)信號或連續(xù)系統(tǒng)進行離散的前提是要求輸入

x(t)

、輸出

y(t)

和系統(tǒng)函數(shù)h(t)

的帶寬都是有限的。否則，因無法滿足抽樣定理出現(xiàn)頻譜混疊而使原始信息丟失，這樣一來，從離散域還原到連續(xù)域時將發(fā)生畸變使信號出現(xiàn)較大失真。在連續(xù)域，當給定的信號頻帶很寬或無限寬時，必須從實際需要出發(fā)，進行截斷處理，將帶寬限制在一定范圍，并保證在此帶寬內(nèi)，從數(shù)字域分析的結(jié)果能滿足對連續(xù)系統(tǒng)分析精度的要求。第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用從理論分析可知：2

x(t).w(t)

D

FT

1[

X

(

j

)

W

(

j

)] （6.1.13）所以截斷后的信號由于窗函數(shù)頻譜卷積出現(xiàn)“吉布斯”現(xiàn)象，使原信號頻譜出現(xiàn)波動。頻譜擴散導(dǎo)致功率泄漏。截斷長度越短，泄漏誤差也越大。例如，對于頻率為

f0

的正弦序列，它的頻譜應(yīng)該只是在

f0

處有離散譜。但是，在利用

DFT求它的頻譜進行了截短，結(jié)果使信號的頻譜不只是在

f0

處有離散譜，而是在以

f0為中心的頻帶范圍內(nèi)都有振蕩的連續(xù)譜線出現(xiàn)，原來集中在

f0

處的能量被分散到兩個較寬的頻帶中去了，它們可以理解為是從

f0

頻率上“泄露”出去的。如圖

6-1-7

所示。這種長序列截短后造成的譜峰的下降、頻譜的擴展現(xiàn)象稱為頻譜“泄露”或“功率泄漏”。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）截斷長度越短，波動越厲害，頻譜泄漏誤差越大。正確選擇

T、N

參數(shù)，可以使誤差減小，滿足實際工程需要。時域上乘上窗函數(shù)，相當于頻域進行卷積。長度為無窮長的常數(shù)窗函數(shù)，頻域為

函數(shù)，卷積后的結(jié)果和原來一樣。如果是有限矩形窗，頻域是

Sa

函數(shù)，旁瓣電平起伏大，與原頻譜卷積后，會產(chǎn)生較大的失真。窗的頻譜，越接近

函數(shù)（主瓣越窄，旁瓣越小），頻譜的還原度越高。理想的窗函數(shù)是主瓣很窄，旁瓣衰減很快，常用的窗函數(shù)特點如下：矩形窗：主瓣寬度：4pi/N。最大旁瓣：-13dB。三角窗：主瓣寬度：8pi/N。最大旁瓣：-26dB。漢寧窗：主瓣寬度：8pi/N。最大旁瓣：-31dB。漢明窗：主瓣寬度：8pi/N,

最大旁瓣：-41dBBlackman

窗：主瓣寬度：12pi/N,

最大旁瓣：-57dB可見，矩形窗的主瓣很窄，但是旁瓣衰減卻很慢。hanning窗、hamming

窗、blackman窗等的旁瓣衰減有了明顯的改進，但是主瓣卻寬了很多，大概是矩形窗主瓣的二倍，blackman窗的主瓣還要寬，這就造成了信號頻譜的頻率識別率低。第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用圖

6-1-7

頻譜“泄露”數(shù)字信號處理（MATLAB

版）（3）周期信號加窗后進行

DFT、FFT

仍然有可能引起頻譜泄露，設(shè)

fs

為采樣頻率，N

為采樣序列長度，DFT、FFT

分析頻率為：

m

fs

/

N

(m=0,1,2....)，以

cos

函數(shù)為例，設(shè)其頻率為

f0

，如果

f0

不等于m

fs

/

N

，就會引起除

f0

以外的其他m

fs

/

N

點為非零值，即出現(xiàn)了頻譜“泄露”，而當選擇

N

m

fs

/

f0

時，不會出現(xiàn)頻譜“泄露”。在例

6-1-2

中，m=2

時沒有泄漏，而

m=2.5

時出現(xiàn)頻譜泄漏。因此，為了減小頻譜“泄露”的影響，可從兩方面選擇：選擇不同的窗函數(shù)，窗序列的長度應(yīng)選擇序列周期的整數(shù)倍。同時盡量增加窗序列的長度，使窗函數(shù)頻譜主瓣的寬度減小。增加采樣長度可以分析出更多頻率的信號，可以減少頻譜泄露，不過增加采樣長度就增加了運算量，必然會對數(shù)據(jù)處理的實時性造成影響。第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用3.

柵欄效應(yīng)DFT

是對單位圓上

z

變換的均勻采樣，所以它不可能將頻譜視為一個連續(xù)函數(shù)，只有

N

個離散頻譜值，用

DFT

來觀察頻譜就好像通過一個柵欄來觀看一個景象一樣，只能在離散點上看到真實的頻譜，而其它頻率點看不見，因此很可能使一部分有用的頻率成分被漏掉，該現(xiàn)象被稱為柵欄效應(yīng)。能量泄漏與柵欄效應(yīng)的關(guān)系：頻譜的離散取樣造成了柵欄效應(yīng)，譜峰越尖銳，產(chǎn)生誤差的可能性就越大。例如，余弦信號的頻譜為線譜。當信號頻率與頻譜離散取樣點不等時，柵欄效應(yīng)的誤差為無窮大。實際應(yīng)用中，由于信號截斷的原因，產(chǎn)生了能量泄漏，即使信號頻率與頻譜離散取樣點不相等，也能得到該頻率分量的一個近似值。從這個意義上說，能量泄漏誤差不完全是有害的。如果沒有信號截斷產(chǎn)生的能量泄漏，頻譜離散取樣造成的柵欄效應(yīng)誤差將是不能接受的。能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以減小因柵欄效應(yīng)帶來的譜峰幅值估計誤差，有其好的一面，而旁瓣泄漏則是完全有害的。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）不管是時域采樣還是頻域采樣，都有相應(yīng)的柵欄效應(yīng)。只是當時域采樣滿足采樣定理時，柵欄效應(yīng)不會有什么影響。而頻域采樣的柵欄效應(yīng)則影響很大，擋住或丟失的頻率成分有可能是重要的或具有特征的成分，使信號處理失去意義。頻譜的間隔為：T

Ns0

2

（6.1.14）可見，用提高采樣間隔Ts

，也就是提高頻率分辨力（減小頻譜的間隔

）的方法可用來解決減小柵欄效應(yīng)。在采樣周期Ts

不變的情況下，在原序列的末端填補一些

0

值，從而增加

DFT

的點數(shù)

N，對

X

(k

)

有插值的作用，使得譜線加密也可減小柵欄效應(yīng)。同時，補零可以加寬窗函數(shù)，改善頻譜泄漏問題。第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用間隔

小，頻率分辨力高，被擋住或丟失的頻率成分就會越少。但增加采樣點數(shù)，會使計算工作量增加。對于正弦波這一特殊的信號，只要采樣頻率和作

FFT

時數(shù)據(jù)點數(shù)選得合適，那么XN

(k

)

完全等于

Xa

(

j

)

的采樣。4.

高密度頻譜當信號的時間域長度不變時，在頻域內(nèi)對它的頻譜進行提高采樣頻率

fs

的采樣，結(jié)果得到密度更高的譜密度，就是高密度頻譜。采用在原序列尾部補零的方法可以提高

DFT

頻譜密度，但它只可以更細化當前分辨率下的頻譜，克服柵欄效應(yīng)，但不能改變

DFT

的分辨率。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）高分辨率頻譜根據(jù)式（6.1.9）可知，在采樣頻率

fs

不變時，通過改變采樣點數(shù)

N

可以改變

DFT的分辨率。增加

N

值，可以得到高分辨率頻譜。補零對頻譜的影響進行補

0

只是增加了數(shù)據(jù)的長度，而不是原信號的長度。例如原信號是一個周期的余弦信號，如果又給它補了

9

個周期長度的

0，那么信號并不是

10

個周期的余弦信號，而是一個周期的余弦加一串

0，補的

0

并沒有帶來新的信息。其實補

0

等價于頻域的

sinc函數(shù)內(nèi)插，而這個

sinc

函數(shù)的形狀（主瓣寬度）是由補

0

前的信號長度決定的，補

0

的作用只是細化了這個

sinc函數(shù)，并沒有改變其主瓣寬度。而頻率分辨率的含義是兩個頻率不同的信號在頻率上可分辨，也就要求它們不能落到一個

sinc

函數(shù)的主瓣上。所以，如果待分析的兩個信號頻率接近，而時域長度又較短，那么在頻域上它們就落在一個

sinc

主瓣內(nèi)了，補再多的

0

也是無濟于事的，只能增加頻譜密度，而不能提高頻譜分辨率。第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用6.1.5

離散譜的性質(zhì)離散譜定義如下：以沖激序列h(n)

為例，稱

H

(k

)

H

kf

0

(k

Z

)

，為離散序列h(nTs

)

(0

n

N

)

的

DFT

離散譜，簡稱離散譜。由

DFT

求出的離散譜具有下列性質(zhì)：（1）

H

(k

)

H

kf

0

(k

Z

)

是離散的周期函數(shù)，簡記為

H

(k

)

。根據(jù)

DFT

的定義，可以利用

FFT

對離散信號進行頻譜分析和信號合成。經(jīng)過

DFT處理的離散頻譜，在每個周期內(nèi)有

N

個不同的幅值。僅在離散頻率點

f

kf

0

處存在沖激，強度為ak

，其余各點為

0，k=0,1,2…N-1。（2）時域的離散時間間隔（或周期）與頻域的周期（或離散間隔）互為倒數(shù)。如圖6-1-8

所示。圖

6-1-8

離散頻譜第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用如果稱離散譜經(jīng)過

IDFT

所得到的序列為重建信號，h(nTs)

(n

Z

)

，簡記為h(n)

。則重建信號是離散的周期函數(shù)。（3）經(jīng)

IDFT

重建信號的基頻就是頻域的離散間隔，或時域周期的倒數(shù)：（4）周期性序列的

N

點的

DFT

離散譜是周期為

N

的序列。在時域和頻域

0～N

范圍內(nèi)的

N

點分別是各自的主值區(qū)間或主值周期。（5）對稱性實序列的離散譜關(guān)于原點和

N

(如果

N

是偶數(shù))是共軛對稱和幅度對稱的。因此，真2正有用的頻譜信息可以從

0～

N

1

范圍獲得，從低頻到高頻。2共扼對稱性：如果h(nTs

)(0

n

N

)

為實序列，則其

N

點的

DFT

關(guān)于原點和

N/2

都k k N

k

kN

k2N

k2具有共軛對稱性。即

H

H

*

、

H

H*

、

H

H

* 。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）離散周期信號與離散非周期信號的頻譜是不同的，要區(qū)別不同情況進行處理。6.2.1離散周期信號的頻譜分析和信號合成離散周期信號的頻譜分析離散周期信號的頻譜函數(shù)為：6.2離散信號的頻譜分析及

MATLAB實現(xiàn)（6.2.1）其中：

是頻率分辨率，即數(shù)字域相鄰譜線間的距離。由于該信號在時域和頻域都是離散的和周期的，因此只要在一個周期內(nèi)正確選擇

N，就可以準確求得周期序列的頻譜

X

(k

)

和

X

(k

)

。離散周期信號的頻譜分析的步驟如下：（1）確定離散周期序列的基本周期

N。（2）使用

fft()函數(shù)作

N

點

FFT

變換，

2

為基頻的大小。（3）

X

(k

0

)

X

(k

)

/N

。第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用2.

使用

IFFT

合成離散周期信號頻譜函數(shù)向量

X

(k

)

包含了頻譜的幅度和相位信息，使用

IFFT

可合成離散周期信號。程序運行后，計算出時域函數(shù)向量

x(n)

，顯示結(jié)果如圖

6-2-2

所示，與原信號相同。圖

6-2-2

合成離散周期信號數(shù)字信號處理（MATLAB

版）【例6-2-2】用FFT分析周期方波頻譜。給出一周期方波序列：其中，是基本周期，L/N是占空比。第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用如果

N

不變、L

變大（L=8，即增加了原始數(shù)據(jù)長度），則變換后的形狀會發(fā)生變化，主瓣變窄，可獲得更高的分辨率。當

L=5、N=10

時，與例

4-2-2中用

DFS

分析結(jié)果相同。195程序運行結(jié)果如圖

6-2-3

所示，從圖中可以看到以下特點：該方波的

FFT系數(shù)的包絡(luò)類似于“Sinc”函數(shù)。k=0

時的幅度等于

L，同時函數(shù)的零點位于

N/L（占空比的倒數(shù)）的整數(shù)倍處；在圖中，有左右關(guān)于

0

對稱的

L/2個波峰、有左右關(guān)于

0

對稱的

N/2

條譜線；如果

L=5

不變，N

變大（N=64，即在序列后面填

0，但有效信息沒有增加），則函數(shù)形狀不變，只是譜線增加、包絡(luò)更平滑，即獲得了一個高密度譜；圖

6-2-3

離散周期周期方波信號的頻譜分析第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用6.2.2

離散非周期信號的頻譜分析和信號合成根據(jù)式（4.1.5）有：由于離散非周期信號的頻譜信號是周期、連續(xù)的，因此要進行離散才能利用

FFT進行分析和合成。在數(shù)字域?qū)?shù)字頻率

進行離散化，求得頻譜樣值為：1.

有限長序列當序列長度有限時，正確選擇

N，就可以準確求得非周期序列的頻譜

X

(k

)

X

(e

j

)

。（1）確定序列

x(n)

的長度

L=2M+1。(2)對頻域取樣，根據(jù)頻域取樣定理，頻域取樣間隔限定為

f1

1

/

L

，L

為

x(t)

的時間記錄長度。為使時域信號不產(chǎn)生混疊，確定

FFT

長度時，必須?。?/p>

N

L

。（3）對信號進行

N

點

FFT

運算，求出頻譜函數(shù)

X

(k

)

，頻率分辨率為。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）2.

無限長序列當序列為無限長時，需要截斷處理，會產(chǎn)生頻譜泄漏誤差和頻譜混疊誤差，所得結(jié)果只能是近似的，只有把誤差控制在一定范圍內(nèi)，滿足工程需要即可。(1)確定序列

x(n)

的長度

L，對于無限長序列，要根據(jù)能量分布進行截斷處理。(2)為使時域信號不產(chǎn)生混疊，確定

FFT

長度時，必須?。篘≥L。（3）對信號進行

N

點

FFT

運算，求出頻譜函數(shù)

X

(k

)

，頻率分辨率為數(shù)字信號處理（MATLAB

版）6.3

連續(xù)非周期信號的頻譜分析FFT

解決了使用計算機對于離散信號的分析問題，對于時域或頻域是連續(xù)信號時，也可以使用FFT。利用

FFT

用計算機對連續(xù)信號進行頻譜分析是數(shù)字信號處理技術(shù)的一個重要的應(yīng)用方面。6.3.1

連續(xù)非周期信號的頻譜分析由于非周期信號

x(t)

和頻譜信號

X

(

j

)

均是連續(xù)的，所以在用數(shù)學(xué)方法計算、分析時，都需要進行離散處理。時域與頻域均為無限長的非周期信號、時域與頻域均為有限長的非周期信號（有限長、帶限信號）處理方法有所不同。第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用連續(xù)非周期信號的傅里葉變換關(guān)系為：

1

j

t2

x(t)

X

(

j

)e d

X(

j

)

x(t)e

j

tdt

（6.3.1）為了實現(xiàn)

FFT

分析，

在截取信號長度

L

范圍內(nèi)，

在頻域取

k

采樣，

則2

LN

1s 0 k

0

k

k ，令t

nTs

、

L

NTs

、

、dt

Ts

，代入式（6.3.1）得：NTs式中：

x(n)

是

x(t)

的采樣；

X

(k

)

是

x(t)

的連續(xù)譜

X

(

j

)

離散后的近似值

X

(

)

的1

/

Ts

。一個模擬信號，經(jīng)過采樣和

ADC

之后，就變成了數(shù)字信號。采樣得到的數(shù)字信號，就可以進行系統(tǒng)分析和

FFT

變換了。N

個采樣點，經(jīng)過

FFT

之后，就可以得到

N

個點的

FFT

結(jié)果。為了方便進行

FFT

運算，通常

N

取

2的整數(shù)次方，即

2N

次。第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用由于時域有限長，設(shè)

x(t)

的長度

L

為：

L

T0

。如果頻域有限帶寬，設(shè)頻域截止頻率為

m

。如果頻域無限長，確定頻域截取的寬度

m

，使頻譜函數(shù)在（-

m

，

m

）區(qū)間要占能量

95%以上。根據(jù)式（6.1.7），頻域取樣間隔限定為：

T1

/

m

。3.確定

FFT點數(shù)

N：N≥T0/T1，N

應(yīng)取

2的整數(shù)次冪。4.準備數(shù)據(jù)，使用

FFT

作

N

點計算，求出頻譜

X

(k

)

，即可求出連續(xù)非周期信號x(t)

的頻譜

X

(

)

Ts

X

k

。6.3.2

有限長非周期信號的頻譜分析對于一個有限長信號

x(t)

，可利用

FFT

算法求它的振幅頻譜、相位頻譜和功率譜。求解步驟和參數(shù)的選擇如下：數(shù)字信號處理（MATLAB

版）6.3.3

時域與頻域均為無限長的非周期信號頻譜分析及

MATLAB

實現(xiàn)若信號波形無限長或頻譜無限寬，就需要進行截短處理，其結(jié)果必然帶來混疊誤差與泄漏誤差，所以式（6.3.2）求出的頻譜是

X

(

)

樣點的近似值。只有在恰當選取時域取樣間隔Ts

、時域長度

L（或時域樣點數(shù)

M）和頻譜樣點數(shù)

N時，才會使誤差最小，達到滿意的效果。否則，會因誤差超出工程允許的范圍，將導(dǎo)致錯誤結(jié)果的發(fā)生。對于一個時域與頻域均為無限長信號

x(t)

，利用

FFT

算法求它的振幅頻譜、相位頻譜和功率譜的步驟和參數(shù)選擇如下：（1）確定時域截取的長度

L（或窗函數(shù)的點數(shù)

M）。時域截取的長度

L

要占能量95%以上，由該長度確定時域截止時間

T0。第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用(2)確定頻域截取的寬度

m

，使頻譜函數(shù)在

m

,

m

區(qū)間要占能量

95%以上。(3)根據(jù)頻域內(nèi)截止頻率為

m

，頻域取樣間隔限定為T1

/

m

。

(4)確定頻域取樣點數(shù)

N，N必須滿足：

N

T0

/

T1

，N

取

2

的整數(shù)次冪?；?/p>

N

由截止頻率與頻率分辨率確定：

fs

2

/

T0

，

N

fs

/

f

，并取

2的整數(shù)冪。（5）確定

N

后，得：

Ts

T0N使用

FFT

作

N

點計算，求出頻譜

X

(k

)

，即可求出連續(xù)非周期信號

x(t)

的頻譜

X

(

)

：數(shù)字信號處理（MATLAB

版）【例

6-3-1】時域與頻域均為無限長的非周期信號頻譜分析。對信號

x(t)

e

t

（t≥0），進行頻譜分析。解：（1）確定時域信號長度。該信號的時域為無限長，確定時域截取的長度

L

要占能量

95%以上。該信號的能量為：

E

|

x(t)

|2

dt

e

2tdt

0.5

根據(jù)信號表達式，選擇不同的T0

值計算能量，最后確定T0

：>>t=input('input:T0=?->

');input:T0=?->4>>

t0=0;>>f=

@(t)(abs(exp(-t))).^2;第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用>>

t_power=quad(f,t0,t)輸出結(jié)果為：t_power

=0.4998根據(jù)計算結(jié)果可知，L在

0,T0

4

內(nèi)，信號所包含的信號能量為

0.4998，非常接近總能量，因此選擇T0

5

。（2）確定頻域信號長度該信號的頻域為無限寬，確定頻域截取的寬度

m

,

m

要占能量

95%以上。該信號1

i

1的頻譜函數(shù)為：

X(

)

用下列自定義函數(shù)計算頻譜函數(shù)的能量：functionX=powerw(w)X=(abs(1./(1+i.*w))).^2;數(shù)字信號處理（MATLAB

版）運行下列程序計算頻譜函數(shù)的能量：>>wm=input('input:wm=?->

');input:wm=?->15>>w_power=quad(@powerw,-wm,wm)/(2*pi)w_power

= 0.4788>>

w_p=w_power/0.5w_p= 0.9576可見當

m

15

時，其頻譜能量占總能量的

95.76%以上。1m

（3）頻域取樣間隔限定為：

T

0.2093（4）確定

FFT點數(shù)

N：N

T0

/

T1

=5/0.2093=23.889，由于

N

應(yīng)取

2

的整數(shù)次冪，因此?。篘=32。運行下列程序進行頻譜分析：第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用N=32;T0=5;Ts=T0/N;n=[-N/2:N/2-1];

t=0:Ts:T0;w=n*(2*pi)/(Ts*N);xa1=exp(-t); X=1./(1+i.*w);xkw=fft(xa1,N)*Ts; Xkw=abs(xkw);subplot(2,1,1); plot(t,xa1);xlabel('(

t

)');ylabel('x(t)'); title('(a)

連續(xù)信號

x(t)=exp(-t)時域波形');subplot(2,1,2)

; plot(w,fftshift(Xkw),'--',w,abs(X),'r-'

);xlabel('(

k,w)');ylabel('|X(kw)|

,|X(w)|');title('(b)

頻譜函數(shù)');axis([-20,20,0,1.2]);legend('|X(kw)|','|X(w)|')程序運行結(jié)果如圖

6-3-1所示。在圖

6-3-1(b)中理論分析結(jié)果（紅實線）與

FFT分析結(jié)果（藍虛線）相吻合。對離散信號進行頻譜分析時，數(shù)據(jù)樣本應(yīng)有足夠的長度，一般

FFT

程序中所用數(shù)據(jù)點數(shù)與原含有信號數(shù)據(jù)點數(shù)相同，這樣的頻譜圖具有較高的質(zhì)量，可減小因補零或截斷而產(chǎn)生的影響。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）圖

6-3-1

無限長的非周期信號頻譜分析結(jié)果第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用6.4

連續(xù)周期信號的頻譜分析如果一個連續(xù)信號是周期性的，它的長度一定是無限的，計算出的頻譜將不會收斂，但是周期信號的一個周期已經(jīng)包含了所有信息，只取其中的一個周期計算即可。6.4.1

連續(xù)周期信號的傅立葉變換連續(xù)周期信號的傅立葉變換關(guān)系如下：（6.4.1）其中：

f0

、

0

是基頻頻率；連續(xù)周期信號

x(t)

的頻譜

X

(n

0

)

是非周期的離散譜，在嚴格滿足采樣定理，并恰當選取Ts

和

N

值的情況下，可以使

DFT（FFT）所求得的離散譜精確等于原連續(xù)信號的離散譜

X

(n

0

)

。否則，

Ts

和

N

值選取不合適時，只能是近似于原連續(xù)信號的離散譜

X

(n

0)

。FFT

主要用于離散信號的快速傅立葉變換，連續(xù)周期信號使用

FFT

時，要進行取樣使

之

離

散

。第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用

當

按

取

樣

周

期

Ts

均

勻

取

樣

，

每

周

期

取

N

點

時

：s

0

s

s0T

0N

1k

0t

nT

,T

NT

,

dt

T

,

cos

1

代入式（6.4.1）得：（6.4.2）求出一個周期內(nèi)的頻譜函數(shù)

X

(k

)

，即可求出連續(xù)周期信號

x(t)

的頻譜

X

(n

0

)

。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）6.4.2連續(xù)周期信號的頻譜有諧波的連續(xù)周期信號頻譜有諧波的連續(xù)周期信號頻譜，可以根據(jù)基本周期和最高次諧波確定采樣頻率。求解步驟如下：(1)確定基本周期

T0

或

f0。(2)確定一個周期內(nèi)的取樣點數(shù)

N。根據(jù)信號中的最高次諧波kf0，選擇

N：N

2k

1 （6.4.3）由于

FFT

一般使用基

2

算法，因此

N

取

2

的整數(shù)次冪。(3)確定采樣間隔Ts

：Ts

T0/

N（6.4.4）（4）確定記錄長度：（6.4.5）（5）對連續(xù)周期信號取樣：

t

0

:

Ts

:

L使用

FFT

代替

DFT

作

N

點計算，求出一個周期內(nèi)的頻譜函數(shù)

X

(n)

，即可求出連續(xù)周期信號

x(t)

的頻譜

X

(n

0)

X

(k

)

/

N

。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）（2）根據(jù)式（6.1.8），由頻率分辨率

f

確定一個周期內(nèi)的取樣點數(shù)。根據(jù)

fs

和頻率分辨率

f

選擇

N：

N

fs

/

f由于

FFT

一般使用基

2

算法，因此

N

取

2

的整數(shù)次冪。（3）確定

N

后，確定取樣間隔：

(4)確定記錄長度：

L

NTs

1

/

f(5)對連續(xù)周期信號取樣：

t

0

:

Ts

:

L使用

FFT

代替

DFT

作

N

點計算，求出一個周期內(nèi)的頻譜函數(shù)

X

(n)

，即可求出連續(xù)周期信號

x(t)

的頻譜

X

(n

0)

X

(n)

/

N

。也可以與離散周期序列一樣，根據(jù)信號的周期求出

N。2.

沒有諧波的連續(xù)周期信號頻譜沒有諧波的連續(xù)周期信號頻譜，無法確定基本周期，要根據(jù)信號中的最高頻率成分確定采樣頻率。求解步驟如下：（1）根據(jù)式（6.1.6），由信號中的最高頻率成分

f

h

，選擇

f

s

：

f

s

2

f

h第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用3.

連續(xù)周期信號具有無限寬度的頻譜有些連續(xù)周期信號具有無限寬度的頻譜，例如連續(xù)周期方波脈沖信號，這些信號無法確定最高次諧波，一般在工程允許最大混疊誤差的條件下，取集中信號能量

95%～98%以上的前（k+1）次諧波，取2k

0

為頻譜寬度。求解步驟如下：(1)確定基本周期T0

或

f0

。(2)確定一個周期內(nèi)的取樣點數(shù)

N。由于該連續(xù)周期信號具有無限寬度的頻譜，因此無法確定最高次諧波kf0

。需要計算信號功率，占信號功率的

95%以上的諧波可以按信號中的最高次諧波

k

處理，選擇

N：N

2k

1,取

2

的整數(shù)次冪。(3)確定采樣間隔Ts

：

Ts

T0

/

N(4)確定記錄長度：

L

NTs

T0

(5)對連續(xù)周期信號取樣：

t

0

:

Ts

:

L

，為了方便觀察頻譜，可以擴大采樣范圍，例如：

t

2

L

:

Ts

:

2

L使用

FFT

代替

DFT

作

N

點計算，求出一個周期內(nèi)的頻譜函數(shù)

X

(n)

，即可求出連續(xù)周期信號

x(t)

的頻譜

X

(n

0)

X

(k

)

/

N

。第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用6.4.3

MATLAB

實例【例

6-4-1】求有諧波的連續(xù)周期頻譜函數(shù)。已知信號

x(t)

2

sin(

t)

2

cos(2

t)

3sin(4

t)

，

f

100

，求其頻譜函數(shù)。解：該信號有諧波，信號的最高次諧波k

4

，

fs

(2k

1)

f

0

9

f

，

N

2k

1

9

，并取

2的整數(shù)次冪，N=16，

Ts

1

/

fs

。f=100;w=2*pi*f;T0=1/f;N=16; Ts=T0/N;t=0:Ts:T0;x=2+sin(w*t)-2*cos(2*w*t)+3*sin(4*w*t);f=(-N/2:N/2-1)/Ts/N;Xw=fft(x,N)/N;mag=abs(fftshift(Xw));subplot(2,1,1);stem(f,mag);xlabel('(Hz)');ylabel('abs(X)');title('連續(xù)周期信號頻譜');grid;subplot(2,1,2);stem(f,angle(Xw));xlabel('(Hz)');ylabel('angle(Xw)');title('相位');grid;第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用圖

6-4-1

連續(xù)周期信號的幅頻特性和相位頻譜分析結(jié)果如圖

6-4-1所示，除了直流分量（N=0，幅度為

2）之外，各頻率分量的幅度是對應(yīng)分量正負頻率之和，與實際情況相符合。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）【例

6-4-2】求沒有諧波連續(xù)周期頻譜函數(shù)。已知一個連續(xù)周期信號，它含有

2V

的直流分量，基頻為

50Hz、相位為-30

度、幅度為

3V

的交流信號和一個頻率為

75Hz、相位為

90

度、幅度為

1.5V

的交流信號，求其頻譜。解：用數(shù)學(xué)表達式如下：x(t)

2

1.5sin(

1t

1

)

3sin(

2t

2

)，f2=50Hz，f1=75Hz式中

sin

參數(shù)為弧度，所以-30

度和

90度要分別換算成弧度。即：x(t)

2

1.5

sin(2

75

t

90/180)

3

sin(2

50

t

30/180)該信號沒有諧波，求解步驟如下：信號中的最高頻率成分

fh

75

，選擇

f

s

：

f

s

2

fh

2

75

150頻率分辨率最少應(yīng)分辨出

1Hz，即

f

1

，根據(jù)

f

s

和頻率分辨率選擇

N：第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用N

fs

/

f

150

，由于

FFT

一般使用基

2

算法，因此

N

取

2

的整數(shù)次冪：256、512等。（3）求出Ts、L，使用

FFT

代替

DFT

作

N

點計算，求出一個周期內(nèi)的頻譜函數(shù)

X

(n)

，即可求出連續(xù)周期信號

x(t)

的頻譜

X

(n

0

)

。程序如下：clear; df=1; N=256;

%設(shè)定數(shù)據(jù)長度

NTs=1/N/df; L=N*Ts; t=[0:Ts:L];x=2+1.5*sin(2*pi*50*t+pi*30/180)+3*sin(2*pi*75*t-pi*30/180);

%生成信號subplot(311);plot(t,x); xlabel('(t)');ylabel('幅值');

title('(a)

原始信號');f=(-N/2:N/2-1)/Ts/N;

%橫坐標頻率的表達式%進行

FFT變換y=fft(x,N)/N; %進行

fft變換mag=abs(fftshift(y)); %求幅值subplot(312);stem(f,mag); %頻譜圖xlabel('(Hz)');ylabel('幅值');axis([-100,100,0,2.2]);title('(b)

雙邊幅度譜圖');mag=2*abs(y); %實際的幅度mag(1)=mag(1)/2;f0=[0:N-1]/Ts/N; %實際的頻率值subplot(313);stem(f0(1:N/2),mag(1:N/2));xlabel('(Hz)');ylabel('幅值');axis([-1,100,0,3.2]);title('(c)

單邊幅度譜圖');第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用圖

6-4-2

該連續(xù)周期信號頻譜圖FFT

之后結(jié)果就是一個

N

點的復(fù)數(shù)，每一個點就對應(yīng)著一個頻率點。每個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性，是原始信號該點的峰值的

N

倍。求出雙邊幅頻特性如圖

6-4-2

(b)所示，除了直流分量（N=0）之外，各頻率分量的幅度是對應(yīng)分量正負頻率之和。單邊幅頻特性如圖

6-4-2(c)所示。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）6.5

連續(xù)信號的理想采樣獲得數(shù)字信號的途徑之一，就是把連續(xù)信號經(jīng)過采樣成為離散信號。而采樣定理在連續(xù)信號與離散信號之間架起了一座橋梁，為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。6.5.1

信號的采樣在模擬信號的數(shù)字處理過程中，首先需要經(jīng)過模數(shù)轉(zhuǎn)換（A/D），將模擬信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號，模擬信號的數(shù)字化一般需要完成取樣、量化和編碼三個步驟。而信號采樣是第一環(huán)節(jié)，將采樣后形成的離散信號經(jīng)過量化、編碼后成為數(shù)學(xué)信號。數(shù)字信號經(jīng)過傳輸、處理等環(huán)節(jié)，最后經(jīng)過數(shù)模轉(zhuǎn)換（D/A），將數(shù)字信號還原為所需要的模擬信號。第

6

章

FFT

在確定性信號譜分析中的應(yīng)用1.模數(shù)(A/D)和數(shù)模(D/A)轉(zhuǎn)換(1)模數(shù)(A/D)轉(zhuǎn)換：需要經(jīng)過離散、量化和編碼等過程。采樣：將模擬信號離散。把時間上連續(xù)的信號變成時間上離散的信號，要求抽樣信號包含原信號的所有信息，即能無失真地恢復(fù)出原模擬信號，抽樣速率的下限由抽樣定理確定。量化：把采樣信號經(jīng)過舍入變?yōu)橹挥杏邢迋€有效數(shù)字的數(shù)，這一過程稱為量化。定義：利用預(yù)先規(guī)定的有限個電平來表示模擬信號經(jīng)抽樣得到的瞬時值，即把信號進行幅度離散，抽樣值用最接近的有限個電平表示。編碼：將經(jīng)過量化的值變?yōu)槎M制數(shù)字的過程，常用的是

PCM

碼（脈沖編碼調(diào)制）。實際上量化是在編碼過程中同時完成的。在

PCM

中常用的二進制碼型有三種：自然二進碼、折疊二進碼和格雷二進碼（反射二進碼）。(2)數(shù)模(D/A)轉(zhuǎn)換D/A

轉(zhuǎn)換是把數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為模擬的電壓或電流信號。需要經(jīng)過

D/A