第9章FIR濾波器的設(shè)計方法IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法是利用模擬濾波器成熟的理論及設(shè)計圖表進行設(shè)計的，因而保留了一些典型模擬濾波器優(yōu)良的幅度特性。但設(shè)計中只考慮了幅度特性，沒考慮相位特性，所以IIR數(shù)字濾波器最大缺點是不易做成線性相位，而現(xiàn)代圖像、語聲、數(shù)據(jù)通信對線性相位的要求普遍是較高的。因此，使得具有線性相位的FIR數(shù)字濾波器得到大力發(fā)展和廣泛應(yīng)用。與IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法不同，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器使用窗函數(shù)法、頻率抽樣設(shè)計法和優(yōu)化設(shè)計法。

9.1FIR濾波器簡介9.1.1線性相位FIR濾波器的特點

由式（7.1.18）可知，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)為系統(tǒng)函數(shù)為：把代入上式，得：是實數(shù)序列時，則FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為：當(dāng)9.1.2FIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的特點（1）系統(tǒng)函數(shù)在z平面上有（N-1）個0點。同時在z=0處是（N-1）階極點，F(xiàn)IR濾波器的極點都在原點上。（2）容易設(shè)計成線性相位。這在實際工程中是非常重要的性質(zhì)，如語音、圖像信號處理和自適應(yīng)信號處理等，都要求在信號傳輸過程中不能有明顯的相位失真。（3）運算量比IIR大。但可利用FFT實現(xiàn)，可以大大提高濾波器的運算效率。9.1.1線性相位條件FIR數(shù)字濾波器根據(jù)線性相位特性可分為具有偶對稱或奇對稱性兩大類，具有偶對稱性的稱為第一類線性相位條件、具有奇對稱性的稱為第二類線性相位條件。兩類FIR數(shù)字濾波器，根據(jù)N的奇偶性又可以細(xì)分為四種，每種都有自己不同的特點。四種FIR數(shù)字濾波器的應(yīng)用特點，如表9-1所示。種

類N應(yīng)用I類1偶對稱奇數(shù)低、高通、帶通、帶阻2偶對稱偶數(shù)低、帶通II類3奇對稱奇數(shù)帶通4奇對稱偶數(shù)高通、帶通表9-1四種FIR數(shù)字濾波器的應(yīng)用特點9.1.1第一類線性相位條件相位函數(shù)為：

=當(dāng)為實數(shù)且偶對稱時，F(xiàn)IR濾波器為恒相時延，相位曲線是一條過原點、以為斜率的直線。信號通過這類濾波器后，各種頻率分量的時延都是。第一類線性相位條件的線性相位特性，如圖9-1-1所示。圖9-1-1第一類線性相位特性

9.1.1第一類線性相位條件濾波器的應(yīng)用第一類FIR系統(tǒng)是的線性組合，在時，易取得最大值，因此這一類濾波器易體現(xiàn)低通特性，且是偶函數(shù)。通過頻率移位，又可體現(xiàn)高通、帶通、帶阻特性。所以，經(jīng)典的低通、高通、帶通和帶阻濾波器的都是偶對稱的。9.1.1第二類線性相位條件幅度函數(shù)，是一個標(biāo)量函數(shù)，可以為正、負(fù)或0。而且是w的奇對稱函數(shù)、周期函數(shù)。相位函數(shù)是線性函數(shù)，此類FIR濾波器不僅有個采樣周期的恒群延時。而且所有通過的信號還有附加相移。相位曲線是截距為、斜率為的直線；。9.1.1第二類線性相位條件濾波器的應(yīng)用

第二類FIR系統(tǒng)是的線性組合，在時，的值為零，且是奇函數(shù)。這一類濾波器都是作為特殊形式的濾波器，如Hilbert變換器、差分器等。9.2窗函數(shù)設(shè)計法

窗函數(shù)設(shè)計法是FIR數(shù)字濾波器的最基本的設(shè)計方法，其優(yōu)點是設(shè)計思路簡單、性能可以滿足常用選頻濾波器的要求。9.2.1窗函數(shù)設(shè)計法的基本思路

1.窗函數(shù)設(shè)計法要解決的問題數(shù)字信號處理的主要數(shù)學(xué)工具是傅里葉變換，而傅里葉變換是研究整個時間域和頻率域的關(guān)系。當(dāng)運用計算機實現(xiàn)信號處理時，不可能對無限長的信號進行測量和運算，而是取其有限的時間段進行分析。窗函數(shù)設(shè)計法基本思路是：

9.2.1窗函數(shù)設(shè)計法的基本思路窗函數(shù)設(shè)計法基本思路是，把理想濾波器的頻率響應(yīng)進行傅里葉反變換得到，在時域內(nèi)用窗函數(shù)對理想濾波器的時域特性截斷，用截斷后、周期延拓的虛擬長沖激響應(yīng)去逼近理想濾波器的，最后進行傅里葉變換得到的頻率響應(yīng)逼近。9.1.2窗函數(shù)設(shè)計法的基本步驟窗函數(shù)設(shè)計法的實際步驟可以簡化如下：（1）給定理想濾波器的頻率響應(yīng)。根據(jù)給定的濾波器技術(shù)指標(biāo)，選擇濾波器長度和窗函數(shù)，使其具有最窄寬度的主瓣和最小的旁瓣。（2）根據(jù)指標(biāo)選擇窗函數(shù)和N值：式中，為技術(shù)指標(biāo)給定的過渡帶寬，為窗函數(shù)給定的過渡帶寬。9.1.2窗函數(shù)設(shè)計法的基本步驟（3）根據(jù)式（9.2.8）先求出移位后的因果系列：

，（4）加窗截斷為有限長，用什么樣的窗來截取會有不同的過渡帶、阻帶的最小衰減。確定窗函數(shù)類型的主要依據(jù)是過渡帶的帶寬和阻帶的最小衰耗指標(biāo)。因此窗函數(shù)的要求是：窗譜主瓣盡可能窄以獲得較陡的過渡帶。盡量減少窗譜最大旁瓣的相對幅度，能量盡量集中于主瓣，使肩峰和波紋減小,從而增大阻帶的衰減。相對而言，三角形窗、海明窗、漢寧窗效果比矩形窗好，因為它們在邊緣處不是陡然下降的。通過加窗截取得到滿足FIR濾波器的單位采樣響應(yīng)，加窗得：

從而得到線性相位因果FIR濾波器。9.1.2窗函數(shù)設(shè)計法的基本步驟（5）檢驗。由進行傅立葉逆變換求出作為的逼近，用給定的技術(shù)指標(biāo)驗證是否在誤差容限之內(nèi)。9.1.3截斷效應(yīng)與功率泄漏

“窗函數(shù)”設(shè)計法設(shè)計FIR濾波器就是根據(jù)要求找到有限個（N個）傅氏級數(shù)系數(shù)，來代替并近似無限項傅氏級數(shù)，這樣一來，在頻率不連續(xù)點附近會產(chǎn)生誤差，即截斷效應(yīng)。截斷效應(yīng)，指的是采取截斷函數(shù)時，截取的有限長信號不能完全反映原信號的頻率特性。具體地說，會增加新的頻率成分，并且使譜值大小發(fā)生變化，這種現(xiàn)象稱為頻率泄漏。從能量角度來講，頻率泄漏現(xiàn)象相當(dāng)于原信號各種頻率成分處的能量滲透到其他頻率成分上，所以又稱為功率泄漏。9.1.3截斷效應(yīng)與功率泄漏周期延拓后的信號與真實信號并不是完全相同的，信號截斷以后產(chǎn)生的能量泄漏現(xiàn)象是必然的，因此就不可避免地引起混疊，信號截斷必然導(dǎo)致一些誤差，這是信號分析中不容忽視的問題。泄漏與窗函數(shù)頻譜的兩側(cè)旁瓣有關(guān)，如果兩側(cè)旁瓣的高度趨于零，而使能量相對集中在主瓣，就可以較為接近于真實的頻譜。由此自然想到，如果能改變這種突然截斷方式，泄漏會得到改善。選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)，對所取樣本函數(shù)進行不等權(quán)處理，便是一種有效的措施。9.2.3窗函數(shù)設(shè)計工具

wvtool和wintool是兩個有用的窗函數(shù)設(shè)計工具，wvtool工具適合用于顯示、添加注釋、顯示和打印窗函數(shù)的時域、頻域響應(yīng)。wintool適合用于設(shè)計、分析窗函數(shù)。1.wintool和sigwinwintool和sigwin配合使用。sigwin是信號處理窗函數(shù)對象，用法如下：w=sigwin.window：返回窗函數(shù)對象w，如果不指定長度，默認(rèn)打開64點窗函數(shù)。wintool命令用圖形用戶界面(GUI)打開窗口設(shè)計和分析工具(WinTool)，如果不指定窗函數(shù)，默認(rèn)打開64點漢明窗。用法如下：wintool：默認(rèn)打開64點漢明窗。wintool(obj1,obj2,...)：在同一窗口打開多個由obj1、obj2、…..指定的sigwin

窗函數(shù)對象。9.2.3窗函數(shù)設(shè)計工具

例如：>>w=sigwin.bartlett;>>w1=sigwin.chebwin(128,100);>>wintool(w,w1)在同一窗口打開w和w1指定的sigwin窗函數(shù)對象：圖9-2-7為bartlett窗，圖9-2-8為chebwin窗。圖9-2-7bartlett窗圖9-2-8chebwin窗9.2.3wvtool和window

wvtool和window配合使用。window是信號處理窗函數(shù)對象，用法如下：（1）w=window(fhandle,n)返回n點窗函數(shù)對象，窗函數(shù)由句柄fhandle指定，fhandle的形式是窗函數(shù)名稱前加@符號，窗函數(shù)對象w是一個列向量。（2）wvtool(winname(n))命令可以在時域和頻域打開窗函數(shù)的可視化工具(WVTool)，winname可以是任何窗函數(shù)，n是長度。在wvtool命令中，在窗函數(shù)名稱前面不要加@符號。wvtool工具用于顯示、添加注釋、顯示和打印窗函數(shù)的時域、頻域響應(yīng)，非常方便。

wvtool(winname1(n),winname2(n),...winnamem(n))可以在同一個窗口顯示多個窗函數(shù)的響應(yīng)，以便比較和對比它們的特性。

h=wvtool(...)返回句柄圖形的句柄h。

wvtool(w)用窗函數(shù)對象w啟動wvtool可視化工具。9.2.4MATLAB窗函數(shù)

窗函數(shù)的主要類型實際應(yīng)用的窗函數(shù)，可分為以下主要類型：冪窗：采用時間變量某種冪次的函數(shù)，如矩形、三角形、梯形或其它時間函數(shù)x(t)的高次冪；三角函數(shù)窗：應(yīng)用三角函數(shù)，即正弦或余弦函數(shù)等組合成復(fù)合函數(shù)，例如漢寧窗、海明窗等；指數(shù)窗：采用指數(shù)時間函數(shù)，例如高斯窗等。對于窗函數(shù)的選擇，應(yīng)考慮被分析信號的性質(zhì)與處理要求。如果僅要求精確讀出主瓣頻率，而不考慮幅值精度，則可選用主瓣寬度比較窄而便于分辨的矩形窗，例如測量物體的自振頻率等；如果分析窄帶信號，且有較強的干擾噪聲，則應(yīng)選用旁瓣幅度小的窗函數(shù)，如漢寧窗、三角窗等；對于隨時間按指數(shù)衰減的函數(shù)，可采用指數(shù)窗來提高信噪比。9.2.4MATLAB窗函數(shù)各種常用窗函數(shù)的性能指標(biāo)如表9-2所示

表9-2各種常用窗函數(shù)的性能指標(biāo)9.2.5fir1()函數(shù)與窗函數(shù)設(shè)計法

fir1()函數(shù)使用經(jīng)典的加窗設(shè)計法設(shè)計一個基于窗函數(shù)的、具有線性相位的有限沖激響應(yīng)(FIR)濾波器。它可以設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)的低通、高通、帶通和帶阻濾波器，默認(rèn)設(shè)計的濾波器是歸一化的，因此帶通濾波器的幅度響應(yīng)在中心頻率處是0dB。其它類似函數(shù)：fircls1()：設(shè)計一個約束的低通和高通線性相位FIR最小二乘濾波器。firls()：設(shè)計最小二乘線性相位FIR濾波器。9.2.6FIR高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計及MATLAB實現(xiàn)

1.FIR帶通濾波器的設(shè)計

在使用fir1()函數(shù)的fir1(n,Wn)和fir1(n,Wn,window)形式設(shè)計FIR濾波器時，如果Wn是一個二元素的向量,Wn=[w1w2],fir1()返回一個帶通濾波器,w1<<w2?！皐indow”指定窗函數(shù)，如果不指定該參數(shù)，默認(rèn)使用Hamming窗設(shè)計。

2.高通濾波器的設(shè)計

在使用fir1()函數(shù)的fir1(n,Wn,'ftype')和fir1(n,Wn,'ftype',window)形式設(shè)計FIR濾波器時，ftype=high時，用截止頻率Wn設(shè)計高通濾波器,“window”指定窗函數(shù)，如果不指定該參數(shù)，默認(rèn)使用Hamming窗設(shè)計。3.帶阻濾波器的設(shè)計

在使用fir1()函數(shù)的fir1(n,Wn,'ftype')和fir1(n,Wn,'ftype',window)形式設(shè)計FIR濾波器時，ftype=stop時，用截止頻率Wn=[w1w2]設(shè)計帶阻濾波器,阻帶頻率范圍由w1、w2確定?！皐indow”指定窗函數(shù)，如果不指定該參數(shù)，默認(rèn)使用Hamming窗設(shè)計。9.3FIR濾波器的頻率抽樣設(shè)計法

窗函數(shù)法是在時域用有限長的逼近理想的無限長，用得到的頻率響應(yīng)逼近理想的，在實際工程應(yīng)用中，一般是給定頻域上的技術(shù)指標(biāo)，所以采用頻域設(shè)計更直接。9.3.1頻率抽樣設(shè)計法的思路

9.3.2逼近誤差、改進措施及MATLAB實現(xiàn)

9.3.5濾