第三章剛體力學基礎西安電子科技大學第三章剛體力學基礎§3-1剛體運動的描述§3-2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律§3-3剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功和能§3-4剛體定軸轉(zhuǎn)動中的角動量守恒§3-5進動研究對象：剛體有大小、形狀而無形變的物體實際研究對象的簡化理想模型研究內(nèi)容：剛體狀態(tài)隨時間變化的規(guī)律剛體一般運動可分解為質(zhì)心平動和繞瞬時軸的轉(zhuǎn)動例：車輪向前3.1剛體運動的描述3.1.1剛體的概念剛體運動時，若在剛體內(nèi)所作的任一條直線都始終保持和自身平行?！獎傮w平動3.1剛體運動的描述3.1.2剛體的平動剛體中各質(zhì)點的運動情況相同。在剛體作平動時，剛體上各點的速度、加速度、軌跡都相同。剛體質(zhì)心的平動代表了整個剛體的平動3.1剛體運動的描述3.1.2剛體的平動

剛體上各質(zhì)點都繞同一固定轉(zhuǎn)軸作圓周運動。zMIⅡ

設剛體繞z

軸轉(zhuǎn)動

過z

軸取平面I為固定平面，即參考平面；

過z

軸取平面II

為動平面，可隨剛體一起轉(zhuǎn)動。3.1剛體運動的描述3.1.3剛體的定軸轉(zhuǎn)動動平面定平面III

截面圖：（轉(zhuǎn)動平面）剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，θ

確定剛體在空間的位置：——定軸轉(zhuǎn)動的運動學方程（一維轉(zhuǎn)動）01不同點轉(zhuǎn)動半徑不同02轉(zhuǎn)動平面垂直于轉(zhuǎn)動軸03所有質(zhì)點在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的角速度相同3.1剛體運動的描述3.1.3剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體各點繞同一直線作圓周運動剛體各點有相同的角速度、角加速度。s=θrυ=ωraτ=βrzMIⅡ

3.1剛體運動的描述3.1.3剛體的定軸轉(zhuǎn)動3.1剛體運動的描述3.1.3剛體的定軸轉(zhuǎn)動。設輪盤的轉(zhuǎn)速在10s內(nèi)由900r/min均勻增加到1500r/min，求（1）輪盤的角加速度；（2）這段時間內(nèi)輪盤轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。輪盤作勻加速定軸轉(zhuǎn)動，角速度恒定。初始轉(zhuǎn)速n1=900r/min，初始角速度為末態(tài)轉(zhuǎn)速n2=1500r/min，末態(tài)角速度為t時刻的角速度為按

時

可得該段時間內(nèi)輪盤的角位移為輪盤轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為例解o方向：沿軸向，右手螺旋。

線速度與角速度的矢量關系式P

01角速度矢量02角加速度的矢量說明3.1剛體運動的描述3.1.3剛體的定軸轉(zhuǎn)動03定軸轉(zhuǎn)動的角速度與角加速度的矢量加速度與角速度、角加速度的矢量關系式3.1剛體運動的描述3.1.3剛體的定軸轉(zhuǎn)動3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3.2.1定軸轉(zhuǎn)動的角動量剛體對定軸的角動量定軸轉(zhuǎn)動中，雖然剛體上各點的速度、加速度不同，但整個剛體具有共同的角速度、角加速度，因而以角量來分析。將剛體看成特殊的質(zhì)點系轉(zhuǎn)動慣量定義式質(zhì)量不連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布總質(zhì)量影響轉(zhuǎn)動慣量三個要素質(zhì)量分布轉(zhuǎn)軸的位置3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3.2.2轉(zhuǎn)動慣量的計算J與剛體的總質(zhì)量有關01例如兩根等長的細木棒和細鐵棒繞端點軸轉(zhuǎn)動慣量LzOxdxM3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3.2.2轉(zhuǎn)動慣量的計算J與質(zhì)量分布有關02例如圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量dlOmR例如圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量ROmrdr3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3.2.2轉(zhuǎn)動慣量的計算J與轉(zhuǎn)軸的位置有關03OLxdxMzLOxdxMz3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3.2.2轉(zhuǎn)動慣量的計算1.平行軸定理zLCMz':剛體繞任意軸的轉(zhuǎn)動慣量:剛體對過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量:兩軸間垂直距離3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3.2.2轉(zhuǎn)動慣量的計算3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3.2.2轉(zhuǎn)動慣量的計算例：在水平面內(nèi)，有兩個均質(zhì)圓盤，被一通過盤心的細輕桿連接。此系統(tǒng)可繞垂直于水平面的O1軸轉(zhuǎn)動。O1軸通過一個盤的圓心。計算該系統(tǒng)對O1軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：輕桿質(zhì)量忽略不計。系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為兩圓盤轉(zhuǎn)動慣量之和。左邊圓盤對O1軸的轉(zhuǎn)動慣量為O2為右邊圓盤質(zhì)心。右邊圓盤對O2的轉(zhuǎn)動慣量為O1到O2距離為。按平行軸定理，右邊圓盤對O1軸的轉(zhuǎn)動慣量為整個系統(tǒng)對對O1軸的轉(zhuǎn)動慣量為2.(薄板)垂直軸定理x,y軸在薄板內(nèi)；z軸垂直薄板。zxy3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3.2.2轉(zhuǎn)動慣量的計算平動中力的瞬時作用規(guī)律定軸轉(zhuǎn)動中力矩的瞬時作用規(guī)律？3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3.2.3剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體在總外力矩Mz

的作用下，獲得的角加速度β

與總外力矩的大小成正比，與J

成反比。3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3.2.3剛體定軸轉(zhuǎn)動定律討論剛體定軸轉(zhuǎn)動動力學中的基本方程，是力矩的瞬時作用規(guī)律。M、J、β必須對同一轉(zhuǎn)軸定義。M

正比于

，力矩越大，剛體的

越大。力矩相同，若轉(zhuǎn)動慣量不同，產(chǎn)生的角加速度不同。與牛頓定律比較：轉(zhuǎn)動慣量J反映了剛體轉(zhuǎn)動時慣性的大小。3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3.2.3剛體定軸轉(zhuǎn)動定律力改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)剛體獲得角加速度質(zhì)點獲得加速度改變質(zhì)點的平動狀態(tài)？：力的作用點相對參考點的位矢方向：右手螺旋法則單位:?！っ?N·m)力矩是相對參考點而言的，和參考點的選取有關3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3.2.3剛體定軸轉(zhuǎn)動定律力矩的定義：討論(1)若不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，可將分解：hA

——平行于z軸，不產(chǎn)生對z軸的力矩?！谵D(zhuǎn)動平面內(nèi)，產(chǎn)生對z軸的力矩。(2)一般來說，力矩是矢量，在剛體的定軸轉(zhuǎn)動中，力矩只有兩個指向。3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3.2.3剛體定軸轉(zhuǎn)動定律力F

對z軸的力矩：z軸與轉(zhuǎn)動平面交點到力的作用點的位矢討論(3)如果有多個力作用于剛體，則剛體所受合力矩等于各分力對同一轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生的力矩之矢量和。合力矩是各力矩的矢量和，不能等于合外力的力矩3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3.2.3剛體定軸轉(zhuǎn)動定律討論(4)滑輪加速轉(zhuǎn)動時，滑輪兩側(cè)繩子張力不同。取逆時針為正，則合力矩當滑輪加速時，∴3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3.2.3剛體定軸轉(zhuǎn)動定律均質(zhì)圓盤（M，R）系一質(zhì)量為m的物體，在重力矩作用下加速運動。開始時系統(tǒng)處于靜止。例物體下降距離為s時，滑輪的ω和

β。求解轉(zhuǎn)動定律RMm+MgTmgT'T1M

轉(zhuǎn)動：m平動：（常量）3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3.2.3剛體定軸轉(zhuǎn)動定律重力的作用點在重心上3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3.2.3剛體定軸轉(zhuǎn)動定律例：質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)圓盤作為滑輪。輕繩繞過滑輪，兩邊分別懸掛質(zhì)量為m1、m2的物體。求系統(tǒng)的加速度。解：不妨設左邊物體向下運動、右邊物體向上運動、滑輪逆時針運動為系統(tǒng)的正方向。設物體加速度為a，則滑輪的加速度為設左邊繩中張力為T1，右邊繩中張力為T2。左邊物體的牛頓方程為右邊物體的牛頓方程為根據(jù)滑輪的轉(zhuǎn)動定律得其中為滑輪的轉(zhuǎn)動慣量。將本式簡化為，與前面兩式相加得平動：分析受力例如圖所示解析（平動＋轉(zhuǎn)動）隔離分析受力（矩）規(guī)定正方向：逆時針六個未知數(shù)，六個方程，可求解T1，T2，T3，a，β1，

β2轉(zhuǎn)動：分析力矩線量與角量關系：3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3.2.3剛體定軸轉(zhuǎn)動定律例:圓形平板R，平板與水平桌面間摩擦系數(shù)μ，圓板繞過中心且垂直于板面的固定軸以ω0旋轉(zhuǎn)，去掉外力后，圓板將旋轉(zhuǎn)多少圈后停止？需用多少時間？解：Mf→β→θ→n設圓盤總質(zhì)量為m，總的力矩：（恒力矩）轉(zhuǎn)動定律：3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3.2.3剛體定軸轉(zhuǎn)動定律由功的定義

OP——力矩作功的微分形式若剛體在外力F作用下，角坐標從θ1→θ2——力矩作功的積分形式若M為常量3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功和能3.3.1力矩的功討論力矩的功本質(zhì)還是力的功。對剛體定軸轉(zhuǎn)動，功用

表示更直觀方便。01合力矩的功02一對內(nèi)力矩對剛體作功之和為零033.3剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功和能3.3.1力矩的功討論力矩的瞬時功率04力的瞬時功率05功的正負M與????同向，A>0M與????反向，A<03.3剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功和能3.3.1力矩的功設系統(tǒng)包括有N個質(zhì)量元z

OP?取,其動能為剛體的總動能3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功和能3.3.2定軸轉(zhuǎn)動動能繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角速度平方乘積的一半。力的瞬時作用規(guī)律力矩的瞬時作用規(guī)律靜止勻速直線靜止勻角速轉(zhuǎn)動m—平動時慣性大小的量度J—轉(zhuǎn)動時慣性大小的量度力的持續(xù)作用規(guī)律：空間：時間：力矩的持續(xù)作用規(guī)律：空間：時間：3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功和能3.3.3動能定理和功能原理在定軸轉(zhuǎn)動中的應用對于整個運動過程3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功和能3.3.3動能定理和功能原理在定軸轉(zhuǎn)動中的應用對剛體定軸轉(zhuǎn)動，有由動能定理在任一過程中作用在繞定軸轉(zhuǎn)動剛體上所有外力矩所作功的總和，等于在該過程中剛體動能的增量?！@定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定理質(zhì)心的勢能結(jié)論：剛體的重力勢能即剛體的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心上相對于勢能零點具有的勢能。剛體的機械能對于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機械能守恒定律仍成立3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功和能3.3.3動能定理和功能原理在定軸轉(zhuǎn)動中的應用一根長為

l

，質(zhì)量為m

的均勻細直棒，可繞軸O

在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，棒在水平位置由靜止釋放，例細棒下擺至θ時的ω求解一Olm

Cx動能定理合外力矩+3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功和能3.3.3動能定理和功能原理在定軸轉(zhuǎn)動中的應用解二功能原理Olm

Cx+研究對象細棒＋軸＋地球∴系統(tǒng)機械能E守恒取O點所在位置為重力勢能零點狀態(tài)1：狀態(tài)2：3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功和能3.3.3動能定理和功能原理在定軸轉(zhuǎn)動中的應用解三轉(zhuǎn)動定律Olm

Cx+研究對象：細棒合外力矩：3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功和能3.3.3動能定理和功能原理在定軸轉(zhuǎn)動中的應用均質(zhì)圓盤（M，R）系一質(zhì)量為m的物體，在重力矩作用下加速運動。開始時系統(tǒng)處于靜止。例物體下降距離為s時，滑輪的ω和

β。求RMm+MgTmgT'T13.3剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功和能3.3.3動能定理和功能原理在定軸轉(zhuǎn)動中的應用解動能定理研究對象：M＋m（轉(zhuǎn)動＋平動）RMm+MgTmgT'T1（并非勻速）3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功和能3.3.3動能定理和功能原理在定軸轉(zhuǎn)動中的應用m解功能原理研究對象：M＋m＋地球RM+MgTmgT'T1∴系統(tǒng)機械能守恒msEP＝0取m下落s處為重力勢能零點狀態(tài)1：狀態(tài)2：3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功和能3.3.3動能定理和功能原理在定軸轉(zhuǎn)動中的應用圖示裝置可用來測量物體的轉(zhuǎn)動慣量。待測物體A裝在轉(zhuǎn)動架上，轉(zhuǎn)軸Z上裝一半徑為r

的輕鼓輪，繩的一端纏繞在鼓輪上，另一端繞過定滑輪懸掛一質(zhì)量為m

的重物。重物下落時，由繩帶動被測物體A

繞Z軸轉(zhuǎn)動。今測得重物由靜止下落一段距離h，所用時間為t，例物體A對Z

軸的轉(zhuǎn)動慣量JZ。設繩子不可伸縮，繩子、各輪質(zhì)量及輪軸處的摩擦力矩忽略不計。求解分析（機械能）：3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功和能3.3.3動能定理和功能原理在定軸轉(zhuǎn)動中的應用機械能守恒3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功和能3.3.3動能定理和功能原理在定軸轉(zhuǎn)動中的應用質(zhì)點力學：剛體力學：能否也用動量來描述剛體轉(zhuǎn)動時的運動狀態(tài)？例:ω靜止時，轉(zhuǎn)動時，結(jié)論無論剛體靜止，快轉(zhuǎn)或慢轉(zhuǎn)，其各質(zhì)點動量之和恒為零。即動量已不能確切的反映剛體轉(zhuǎn)動的運動狀態(tài)，必須引入新的物理量——角動量（動量矩）3.4剛體定軸轉(zhuǎn)動中的角動量守恒3.4.1定軸轉(zhuǎn)動中的角動量定理01剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量剛體各質(zhì)點對Z

軸的角動量方向相同

O(所有質(zhì)元的角動量之和)02剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理(角動量定理微分形式)(角動量定理積分形式)定軸轉(zhuǎn)動剛體所受沖量矩等于其角動量的增量3.4剛體定軸轉(zhuǎn)動中的角動量守恒3.4.1定軸轉(zhuǎn)動中的角動量定理例:均質(zhì)細桿(l,m)，一端懸掛，可在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。開始時處于靜止，在桿的中心作一沖量I，方向垂直于桿。求沖量作用結(jié)束時，桿獲得的角速度。（假定沖量作用時間極短，在沖量作用的整個過程中桿不發(fā)生位移）OI解:已知：（桿中心受的沖量）重力不產(chǎn)生力矩，F(xiàn)對O點產(chǎn)生力矩M，由剛體角動量定理：3.4剛體定軸轉(zhuǎn)動中的角動量守恒3.4.1定軸轉(zhuǎn)動中的角動量定理03剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律若定軸轉(zhuǎn)動剛體所受外力矩之合為零，則剛體對該軸的角動量守恒。1）J，ω均不變回轉(zhuǎn)儀2）J，ω均變，但L＝Jω不變旋轉(zhuǎn)剛體茹可夫斯基凳花樣滑冰跳水mmω3.4剛體定軸轉(zhuǎn)動中的角動量守恒3.4.2角動量守恒在定軸轉(zhuǎn)動中的應用例:測子彈速度01子彈擊中沙擺，沙擺平動。θ已知m，M，l，θ碰撞在原靜止處完成，水平方向P守恒（完全非彈性碰撞）擺上升過程中，E守恒02子彈擊中木桿，木桿作定軸轉(zhuǎn)動。θ已知m，M，l，θ碰撞在原靜止處完成，M＝0，L守恒桿向上擺過程中，E守恒3.4剛體定軸轉(zhuǎn)動中的角動量守恒3.4.2角動量守恒在定軸轉(zhuǎn)動中的應用例:相對運動01一人m靜止在船M上，M＋m以υ0向右前進，當m相對于船M以υ向左運動時，M的速度V＝？研究對象：人m＋船M水平方向：動量P守恒慣性參考系中02一人m靜止在船于圓盤(R,M)邊緣，以共同的速度ω0轉(zhuǎn)動，當人相對于盤以υ反向作圓運動時，M的ω＝？研究對象：人m＋盤MM＝0，角動量L守恒慣性參考系中3.4剛體定軸轉(zhuǎn)動中的角動量守恒3.4.2角動量守恒在定軸轉(zhuǎn)動中的應用例如圖所示，細桿（l，m）可繞端點O的水平軸轉(zhuǎn)動，從水平位置自由釋放，在豎直位置與物體M相碰，物體與地面摩擦系數(shù)為μ，相撞后，物體沿水平地面滑行一段s后停止，求碰后桿質(zhì)心C離地最大高度，并說明桿向左右擺的條件解①②（L守恒）桿物相碰（E守恒）自由下落過程3.4剛體定軸轉(zhuǎn)動中的角動量守恒3.4.2角動量守恒在定軸轉(zhuǎn)動中的應用（動能定理）①②碰后物體滑動③④桿向右擺桿向左擺（E守恒）碰后桿擺動3.4剛