第二章

極限與連續(xù)微積分是經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的主要研究?jī)?nèi)容，而極限理論是微積分的理論基礎(chǔ)，極限方法是微積分的基本分析方法，所以掌握并運(yùn)用好極限方法是學(xué)好經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。本章介紹極限的概念、性質(zhì)及運(yùn)算法則，在此基礎(chǔ)上建立函數(shù)連續(xù)的概念，并討論連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。2.1極限的概念2.2無窮小與無窮大2.3極限的運(yùn)算法則2.4兩個(gè)重要極限2.5函數(shù)的連續(xù)性極限的概念極限的思想是由于求某些實(shí)際問題的精確解而產(chǎn)生的。例如魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽利用圓的內(nèi)接正多邊形來推算圓的面積的方法——割圓術(shù)，就是極限思想在幾何上的應(yīng)用；又如春秋戰(zhàn)國時(shí)期的哲學(xué)家莊子對(duì)“截杖問題”有一段名言：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，也隱含了極限思想。定義

按正整數(shù)1，2，3，……編號(hào)依次排列的一列數(shù)稱為一個(gè)無窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱數(shù)列。其中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的一個(gè)項(xiàng)，xn稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng)。通項(xiàng)為xn

的數(shù)列可以簡(jiǎn)記為數(shù)列{xn}。x1，x2，x3，……，xn，……數(shù)列{xn}可以看成自變量為正整數(shù)的函數(shù)：例2-1數(shù)列舉例：在幾何上，數(shù)列{xn}可以看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)x1，x2，x3，……，xn，……

（1）一般項(xiàng)是

（2）一般項(xiàng)是

（3）一般項(xiàng)是

（4）一般項(xiàng)是對(duì)于數(shù)列，當(dāng)n無限增大時(shí)，它能否無限趨向于一個(gè)常數(shù)，如果能的話，這個(gè)常數(shù)又是什么，如何求出？定義

設(shè)有數(shù)列{xn}，如果存在常數(shù)a，當(dāng)n

無限增大時(shí)，xn無限趨近于a

，則稱數(shù)列{xn}以a為極限，或稱數(shù)列{xn}收斂于a

，記作如果這樣的常數(shù)a不存在，則稱數(shù)列{xn}發(fā)散?；颍?/p>

）例2-2觀察數(shù)列{xn}的極限：

（1）由前面例子中列舉數(shù)列各項(xiàng)觀察可知：

（2）由前面例子中列舉數(shù)列各項(xiàng)觀察可知：

（3）由前面例子中列舉數(shù)列各項(xiàng)觀察可知，當(dāng)n→∞時(shí)數(shù)列的極限不存在，即發(fā)散；各項(xiàng)依次為：

（4）所以當(dāng)n→∞時(shí)數(shù)列的極限發(fā)散，

（5）且無限增大；各項(xiàng)依次為：于是可知：為了方便起見，有時(shí)也將當(dāng)n→∞

時(shí)|

xn|

無限增大的情況說成是數(shù)列{xn}趨向于∞，或稱其極限為∞（但這不表示數(shù)列是收斂的），記作或（）如果當(dāng)n足夠大時(shí)能夠限定xn的正負(fù)，且當(dāng)n→∞

時(shí)|

xn|

無限增大，則可記作或（）例如收斂數(shù)列具有下面基本性質(zhì)：性質(zhì)1（極限的唯一性）收斂數(shù)列的極限是唯一的。性質(zhì)2（收斂數(shù)列的有界性）收斂數(shù)列一定有界。推論

無界數(shù)列一定是發(fā)散的。注意：數(shù)列有界數(shù)列收斂的必要而非充分條件。如數(shù)列{(–1)n+1}有界，但卻是散數(shù)列。

數(shù)列是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù)，它的極限只是一種特殊的整標(biāo)函數(shù)的極限。現(xiàn)在我們討論定義在實(shí)數(shù)集合上的一般的函數(shù)的極限。1.

x→∞時(shí)函數(shù)的極限首先討論自變量

x

的絕對(duì)值

|x|無限增大或者說趨于無窮大（記作x→∞）時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值

f(x)的總的變化趨勢(shì)。考慮函數(shù)，當(dāng)|x|

無限增大時(shí)，它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y就無限的趨近于0，我們稱當(dāng)x趨于無窮大時(shí)，函數(shù)以0

為極限。定義

設(shè)函數(shù)f(x)

的在|x|>M（M為某一正數(shù)）時(shí)有定義，如果存在常數(shù)A，當(dāng)|x|

無限增大時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限的接近于A，則稱A為函數(shù)

f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限，或簡(jiǎn)稱為f(x)在無窮大處的極限，記作或（）如果這樣的常數(shù)A不存在，則稱當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)f(x)沒有極限（或稱極限不存在）?；蚍Q為f(x)在正無窮大處或負(fù)無窮大處的極限。如果定義中限制

x只取正值或者只取負(fù)值，我們就分別記為對(duì)于一些簡(jiǎn)單函數(shù)，通過觀察函數(shù)值或圖形就可以得到函數(shù)當(dāng)

x→∞時(shí)的極限，如：由定義容易得到：

定理如果（或），則直線

y=A就是函數(shù)y=

f(x)的圖像的水平漸近線。再來討論自變量

x

無限接近于有限值

x0

或者說趨于有限值x0（記作x→x0）時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值

f(x)的總的變化趨勢(shì)。2.

x→x0

時(shí)函數(shù)的極限注意：定義不要求f(x)

的在點(diǎn)

x0

有定義，因?yàn)楫?dāng)x→x0時(shí)x≠x0

。定義

設(shè)函數(shù)f(x)

在點(diǎn)

x0

的附近有定義，若存在常數(shù)A，當(dāng)x無限趨向于x0時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限的接近于A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0

時(shí)的極限，記作或（）如果這樣的常數(shù)A不存在，則稱當(dāng)x→x0

時(shí)函數(shù)f(x)沒有極限（或稱極限

不存在）。例2-3對(duì)于一些簡(jiǎn)單的函數(shù)，可以根據(jù)觀察判斷出它的極限：（1）（C為常數(shù)）；（2）；（3）

（4）（x→1

時(shí)x≠1）

前面給出的x→

x0

時(shí)函數(shù)f(x)的極限，自變量x是從左右兩側(cè)趨近于的，但有時(shí)我們只能或只需考慮x是僅從左側(cè)趨近于x0（即x<

x0

）的情形，或是僅從右側(cè)趨近于x0（即x>

x0

）的情形，為此，通常將

x<

x0

時(shí)，x→

x0

時(shí)的情況記作

x>

x0

時(shí)，x→

x0

時(shí)的情況記作定義

設(shè)函數(shù)f(x)

在點(diǎn)

x0

的左側(cè)附近有定義，若存在常數(shù)A，使得當(dāng)x從左側(cè)無限趨向于x0時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限的接近于A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于x0

時(shí)的左極限，記作類似可以定義右極限為左極限與右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限。右極限為解設(shè)左極限為例2-4設(shè)，求，所以定理

當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)f(x)以A為極限的充分必要條件是f(x)在點(diǎn)x0處的左、右極限存在且都等于

A，即1Oxy因此；又由于例2-5設(shè)，討論x→0

時(shí)及x→1

時(shí)f(x)的極限。解由于，所以x→1

時(shí)f(x)的極限不存在，或稱不存在。性質(zhì)（函數(shù)極限的唯一性）若函數(shù)的極限存在，則極限唯一。無窮小與無窮大定義在自變量x的某個(gè)變化過程中，若函數(shù)

f(x)的極限為零，則稱f(x)在該變化過程中為無窮小量，簡(jiǎn)稱無窮小。例2-6無窮小舉例：（1）因?yàn)?，所以函?shù)是當(dāng)x→∞時(shí)的無窮小。（2）因?yàn)?，所以函?shù)(x–

2)是當(dāng)x→2

時(shí)的無窮小。（3）因?yàn)椋院瘮?shù)sinx

是當(dāng)x→0

時(shí)的無窮小。注意：不要把無窮小與絕對(duì)值很小的數(shù)混為一談，無窮小是一個(gè)以0為極限的函數(shù)，能作為無窮小的常數(shù)只有0，其它任何常數(shù)，無論其絕對(duì)值多么小，也不是無窮小。由無窮小的定義，容易理解無窮小的下列性質(zhì)：

注意：無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和不一定是無窮小；兩個(gè)無窮小的商不一定是無窮小。性質(zhì)1

有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小。性質(zhì)2

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。推論

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。性質(zhì)3

有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小。例2-7求極限解由于，，所以兩個(gè)無窮小的和、差、積仍是無窮小，但無窮小的商就不易確定了。可見兩個(gè)無窮小的商，可以是無窮小，可以是無窮大，也可以是常數(shù)或極限為常數(shù)的變量，這是因?yàn)闊o窮小在趨于零的過程中快慢不同。例如，當(dāng)x→0

時(shí)，x，3x，x2，x3，x

+2x2都是無窮小，而此時(shí)為了比較無窮小，我們引入無窮小的階的概念。定義

設(shè)f(x)及g(x)是自變量x

同一變化過程中的無窮小，且g(x)

≠0，則

（1）如果，則稱f(x)

是比g(x)高階的無窮小，記作f(x)=o(g(x))；

（2）如果，則稱f(x)是比g(x)低階的無窮?。?/p>

（3）如果，則稱f(x)與g(x)是同階的無窮小；

（4）如果，則稱f(x)與g(x)是等價(jià)無窮小，記作f(x)

~

g(x)。顯然，等價(jià)無窮小是同階無窮小的特殊情形。由定義可見，當(dāng)x→0

時(shí)，x2是x的高階無窮小，即x2=o(x)

，而x2是x3的低階無窮小，x與3x是同階無窮小。關(guān)于等價(jià)無窮小，有下面定理：定理

在自變量同一變化過程中，如果，，且存在，則定理表明，求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可以用等價(jià)無窮小來代換。求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可以用等價(jià)無窮小來代替；在求分式的極限時(shí)，分子及分母中的無窮小因子也可以用等價(jià)無窮小來代替。如果用來代替的無窮小選取適當(dāng)?shù)脑挘梢允褂?jì)算簡(jiǎn)化。在后面的極限計(jì)算中我們會(huì)遇到利用等價(jià)無窮小代換來求極限的例子。需要注意的是，當(dāng)分子或分母是若干項(xiàng)的和或差時(shí)，一般不能對(duì)其中某一項(xiàng)作等價(jià)無窮小的代換。（1）limf(x)=∞并不表示f(x)有極限，“∞”不是數(shù)，只是一個(gè)符號(hào)；

（2）無窮大是無界函數(shù)，但是無界函數(shù)不一定是無窮大；

（3）無窮大是一個(gè)絕對(duì)值無限大的變量，任何絕對(duì)值很大的常數(shù)都不是無窮大。定義在自變量x的某個(gè)變化過程中，若函數(shù)

f(x)的絕對(duì)值無限增大，則稱f(x)在該變化過程中為無窮大量，簡(jiǎn)稱無窮大，可以記作limf(x)=∞。例如，當(dāng)x→0

時(shí)，

，cotx

都是無窮大；當(dāng)x→0+

時(shí)，

，lnx

都是無窮大；當(dāng)x→+∞

時(shí)，x3，ex

，lnx

都是無窮大。注意：定義如果（或），則直線

x=x0是函數(shù)y=

f(x)的圖象的鉛直漸近線。例2-8因?yàn)?，所以直線x=1是曲線的鉛直漸近線。無窮大與無窮小有如下關(guān)系：定理

在自變量的同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，則為無窮?。环粗?，如果f(x)為無窮小且f(x)≠0，則為無窮大。例2-9當(dāng)x→0

時(shí)，x3是無窮小，而是無窮大。例2-10當(dāng)x→∞

時(shí)，x

+1是無窮大，而是無窮小。極限的運(yùn)算法則在下面的討論中，極限過程的自變量的趨向沒有標(biāo)出，表示對(duì)任何一個(gè)自變量的變化過程都成立，只要在同一問題中自變量的趨向相同即可。并且這些運(yùn)算法則對(duì)于數(shù)列的極限也是同樣適用的。注意：定理中的（1）（2）都可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形，但不可應(yīng)用到無窮多個(gè)函數(shù)的情形。定理

如果，，則

（1）

（2）

（3）當(dāng)B≠0時(shí)，由定理中的（2）可得下面推論：推論如果limf(x)存在，c為常數(shù)，n為正整數(shù)，則

（1）

（2）例2-11求解1.當(dāng)x→x0

時(shí)有理分式函數(shù)的極限由上例可以看出，求多項(xiàng)式函數(shù)當(dāng)x→x0時(shí)的極限，只要用x0

代替函數(shù)中的x即可（代入法），即例2-12求解例2-13求解這里分母的極限不為零，于是可見，求有理分式函數(shù)（其中P(x)，Q(x)都是多項(xiàng)式函數(shù)）當(dāng)x→x0時(shí)的極限，如果Q(x0)≠0，也只需用x0

代替函數(shù)中的x即可（代入法），即顯然，如果Q(x0)=0，則不能使用上述方法。例2-14求解這里分母的極限不為零，于是例2-15求解x→3時(shí)，分子分母的極限都為零，不能分別取極限再求商，注意到分子分母都具有公因子x–3，而x→3

時(shí)x≠3，可以消去公因子后再求極限，于是注意：對(duì)于這種Q(x0)=0且P(x0)=0的有理分式函數(shù)，在求當(dāng)x→x0時(shí)的極限時(shí)，分子分母一定都具有公因子(x–x0)，由于當(dāng)x→x0時(shí)x≠x0，所以分子分母可以消去不為零的公因子(x–x0)后再求極限。例2-16求解例2-17求解當(dāng)x→2

時(shí)，分母的極限為零，分子的極限為5，不能用商的極限運(yùn)算法則，但由于于是由無窮小與無窮大的關(guān)系可得例2-18求解由于注意：對(duì)于Q(x0)=0且P(x0)≠0的有理分式函數(shù)，求當(dāng)x→x0時(shí)的極限時(shí)，可以先求其倒數(shù)的極限，再利用無窮小與無窮大的關(guān)系得到結(jié)果。，所以2.當(dāng)x→∞

時(shí)有理分式函數(shù)的極限例2-19求解由于分子分母的極限都是∞，所以不能用商的極限運(yùn)算法則。做適當(dāng)變形，即分子分母同時(shí)除以它們的最高次冪x3，然后取極限，得例2-20求解分子分母同時(shí)除以它們的最高次冪x3，然后取極限，得例2-21求解由上例，以及無窮小與無窮大的關(guān)系可得一般地，對(duì)于當(dāng)x→∞

時(shí)有理分式函數(shù)的極限，當(dāng)a0≠0，b0≠0，m，n為非負(fù)整數(shù)時(shí)有以下結(jié)論：對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)和有理分式函數(shù)f(x)，只要f(x)在點(diǎn)x0處有定義，則當(dāng)

x→x0時(shí)f(x)的極限值就是f(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值。這里我們不加證明的指出，一切基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)處都具有這樣的性質(zhì)，即如果f(x)是基本初等函數(shù)，定義域?yàn)镈，而x0∈D，則例如，f(x)=sinx是基本初等函數(shù)，而點(diǎn)在它的定義域內(nèi)，所以下面給出一個(gè)復(fù)合函數(shù)求極限的定理。定理

設(shè)函數(shù)u=

φ(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限等于a，即，而函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u=a

處有定義且，則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]當(dāng)x→x0時(shí)的極限存在且等于f(a)，即定理表明，滿足定理?xiàng)l件的情況下，函數(shù)符號(hào)可以和極限符號(hào)交換次序。例2-22求解例2-23求解例2-24求解此題相減的兩項(xiàng)都是趨于無窮大的，因此需要通分后再計(jì)算。兩個(gè)重要極限考察函數(shù)

在

x=0附近的一些函數(shù)值，如下表所示：x-1-0.5-0.1-0.01……0.010.10.510.841470.958850.998330.99998……0.999980.998330.958850.84147由此可以得到第一個(gè)重要極限：對(duì)于第一個(gè)重要極限，其一般形式為：例2-25求解例2-26求解例2-27求解例2-28求解由第一個(gè)重要極限，以及上面幾個(gè)例子，可以得到一些常用的等價(jià)無窮小：（x→0）（x→0）（x→0）例2-29求解由于當(dāng)x→0

時(shí)，sin4x~4x，tan6x~6x，所以例2-30求解由于當(dāng)x→0

時(shí)，sin3x~3x，tanx~x，所以下表列出了函數(shù)

當(dāng)

x

取正值或負(fù)值且絕對(duì)值無限增大時(shí)的一些函數(shù)值：x2310100100010000100000……2.252.370372.593742.704812.716922.718142.71827……x-2-3-10-100-1000-10000-100000……43.3752.867972.7322.719642.718422.7183……由此可以得到第二個(gè)重要極限：無理數(shù)e的值為2.71828182845904523536……利用變量代換，令，則當(dāng)x→∞

時(shí)，z→0，于是可得對(duì)于第二個(gè)重要極限，其一般形式為：例2-31求解例2-32求解例2-33求解例2-34求解例2-35求解例2-36求解令

u=ex–1，即x=ln(1+u)，則當(dāng)x→0

時(shí)，u→0，于是由上面兩例，我們又得到了常用的等價(jià)無窮?。海▁→0），（x→0）例2-36（銀行連續(xù)復(fù)利）銀行存款年利率為

r，本金為

A，按年計(jì)算復(fù)利，則

t

年后本利和為

，求：（1）若每月計(jì)息一次，t

年后本利和為多少？（2）若采用連續(xù)復(fù)利（即每時(shí)每刻都在計(jì)息），t

年后本利和為多少？解（1）若每月計(jì)息一次，則月利率為

，

t年共計(jì)息12t

次，則

t年后本利和為（2）若每年計(jì)息

n

次，則每次利率為

，

t年共計(jì)息nt

次，則

t年后本利和為當(dāng)

n→∞時(shí)，即得連續(xù)復(fù)利時(shí)

t年后本利和為函數(shù)的連續(xù)性自然界中有許多現(xiàn)象都是連續(xù)變化的，如氣溫的變化，行星的運(yùn)動(dòng)，植物的生長(zhǎng)等，都是連續(xù)變化的。這種現(xiàn)象反映在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的連續(xù)性。我們先引入改變量的概念，設(shè)變量u從初值u1

改變到終值u2，終值與初值的差u2

–u1就叫做變量u的改變量（也叫增量），記作注意：?u是一個(gè)整體記號(hào)，是變量u的改變量，它可以是正的，也可以是負(fù)的。但自變量的改變量不能為零。下面討論函數(shù)的連續(xù)性。定義

設(shè)函數(shù)y=

f(x)

在點(diǎn)

x0

的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的增量?x=x–x0趨于零時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)的增量?y=f(x0+?x)

–f(x0)也趨于零，即則稱函數(shù)y=

f(x)

在點(diǎn)

x0

處連續(xù)。如果記x=x0+?x，則f(x0+?x)

=f(x)，而?x→0

等價(jià)于x→x0，?y→0（即f(x)

–f(x0)

→0）等價(jià)于f(x)

→f(x0)

，因此函數(shù)y=

f(x)

在點(diǎn)

x0

處連續(xù)的定義也可敘述如下：或則稱函數(shù)y=

f(x)

在點(diǎn)

x0

處連續(xù)。定義

設(shè)函數(shù)y=

f(x)

在點(diǎn)

x0

的某鄰域內(nèi)有定義，若函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0

時(shí)的極限存在，且此極限值等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值，即由定義可知，函數(shù)f(x)

在點(diǎn)

x0

處連續(xù)則f(x)

在點(diǎn)

x0

處必有極限，但f(x)

在點(diǎn)

x0

處有極限時(shí)不一定在點(diǎn)

x0

處連續(xù)，甚至f(x)

在點(diǎn)

x0

處可能沒有定義。相應(yīng)于函數(shù)左、右極限的概念，給出函數(shù)左、右連續(xù)的概念。則稱函數(shù)y=

f(x)

在點(diǎn)

x0

處左（右）連續(xù)。如果函數(shù)f(x)

在點(diǎn)

x0處及其左（右）側(cè)附近有定義，且滿足顯然可見，函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的充要條件為函數(shù)在該點(diǎn)既是左連續(xù)的，又是右連續(xù)的。在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，叫做該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。如果區(qū)間包括端點(diǎn)，則函數(shù)在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)，在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線?，F(xiàn)在此結(jié)論可以表述為：在前面我們?cè)赋?，基本初等函?shù)f(x)

在其定義域內(nèi)的任何一點(diǎn)

x0處都滿足基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的每點(diǎn)處都是連續(xù)的。也就是說，基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。如果函數(shù)在一點(diǎn)不連續(xù)，那么該點(diǎn)也叫做間斷點(diǎn)。定義

如果函數(shù)f(x)

在點(diǎn)

x0不連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0間斷。相應(yīng)的點(diǎn)x0稱為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)。由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的概念可知，設(shè)函數(shù)f(x)

在點(diǎn)

x0的某鄰域內(nèi)（至多除了點(diǎn)x0本身）有定義，如果f(x)

在點(diǎn)

x0處有下列情形之一，則點(diǎn)x0是f(x)的一個(gè)間斷點(diǎn)。（1）在點(diǎn)

x0處沒有定義，即f(x0)不存在；通常把f(x)

在點(diǎn)

x0的左、右極限都存在的間斷點(diǎn)稱為第一類間斷點(diǎn)，除第一類間斷點(diǎn)以外的間斷點(diǎn)稱為第二類間斷點(diǎn)。（2）不存在；（3）在點(diǎn)

x0處有定義，且存在，但是。定理

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。例2-38求解例2-39求解