南陽(yáng)地區(qū)2025年秋季高二年級(jí)12月階段考試卷

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在

答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版選擇性必修第一冊(cè)第一章至第三章。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.在空間四邊形ABCD中，AB+BC-AD=

A.CDB.BDc.D?D.DB

2.已知向量a=(0,2,—1),b=(2,1,1),若(a+mb)⊥b,則m=

ABCD

3.下列直線中，傾斜角最大的是

A.x+2y-3=0B.2x+y-3=0

C.x=-4D.y=1

4.若直線l的一個(gè)方向向量為u=(1,√2,—1),平面a的一個(gè)法向量為n=(0,0,3),則l與α

所成的角為

A.B.

C或

5.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(1,1,—1),B(0,0,1),C(-1,0,3),則點(diǎn)A到直線BC的

距離為

A.1B.√2C.√5D.2

6.如圖，在三棱錐P-ABC中，△PAC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，AB=2,

∠BAC=90°,二面角P-AC-B的大小為90°,則BP在平面PAC內(nèi)的投

影向量的模長(zhǎng)為

A.1B.√3

C.2D.√2

【高二數(shù)學(xué)第1頁(yè)(共4頁(yè))】

7.如圖，一個(gè)正四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)是下底邊長(zhǎng)的一半，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,B?,

D?的平面與直線AA?交于點(diǎn)M,則

AB

CD

8.已知A是y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B(2,0),若圓C:x2+y2—4x-4y+7=0上存在點(diǎn)P,使得

∠ABP=90°,則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍為

A.[0,1]BC.[0,√3]D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若{a,b,c}構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列選項(xiàng)中的向量不可以作為基底的是

A.a—b,b+c,c+aB.a—c,2b—c,a—2b

C.b—2c,a+b—c,a+cD.a,b+a,c+b

10.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，E,F,G分別為棱A?A,BC,C?D?的中點(diǎn)，

A?C?∩B?D?=P,Q∈平面EFG,則下列結(jié)論正確的是

A.AP//平面EFGB.B?D⊥平面EFG

C.點(diǎn)P到平面EFG的距離D.若PQ=1,則點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度

11.已知橢圓(C1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F?,F?,A,B分別是C的左、右頂

點(diǎn)，P為C上不與A,B重合的動(dòng)點(diǎn).設(shè)C的離心率為e,I為△PF?F?的內(nèi)心，r為

△PF?F?內(nèi)切圓的半徑，延長(zhǎng)PI交線段F?F?于點(diǎn)Q,則

A.直線PA和PB斜率的乘積為e2—1B.直線PF?和PF?斜率的乘積為e2—1

C.點(diǎn)P到x軸的距離為D.|IQ|=e|PI|

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(4,3,2)到x軸的距離為▲_.

13.若直線y=k(x-4)與曲線x=√9+3y2只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍是▲_.

14.已知M,N是圓C:x2+y2=2與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，直線y=x與圓C交于A,B兩點(diǎn)，將平

面xOy沿x軸向上折疊，使得二面角A-MN-B的平面角為,則折疊后|AB|=

▲_.

【高二數(shù)學(xué)第2頁(yè)(共4頁(yè))】

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(13分)

如圖，在三棱柱ABC-A?B?C?中，∠A?AB=∠A?AC=60°,,AA?=AB=

AC=1.

(1)用AC,AB,AA?表示BC?,并求|BC?I;

(2)求異面直線A?C與BC?所成角的余弦值.

16.(15分)

已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，點(diǎn)(0,1)為C的一個(gè)焦點(diǎn)，且C的離心率

為

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知M為C的左頂點(diǎn)，直線l:2x-y-2=0與C交于A,B兩點(diǎn)，求△MAB的面積.

17.(15分)

如圖，圓臺(tái)O?O?的軸截面A?ACC?為等腰梯形，AC=2AA?=2A?C?=4,B為底面圓周上

的點(diǎn)，且AB=BC,P是線段BC的中點(diǎn).

(1)證明：C?P//平面A?AB.

(2)求點(diǎn)P到平面A?AB的距離.

【高二數(shù)學(xué)第3頁(yè)(共4頁(yè))】

18.(17分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD=2DC=2,AB=

AC,BC=√10,△PAD是以PD為斜邊的等腰直角三角形.

(1)證明：AB⊥PC.

(2)在棱PC上是否存在點(diǎn)M,使得平面ADM與平面ABCD夾角的余弦值為?若存

在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)N,使得三棱錐N-BCD外接球的球心在平面ABCD內(nèi)?若存

在，求出AN的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.(17分)

已知F為拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，l是E的準(zhǔn)線，M是l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)F到l

的距離為2.

(1)求E的方程.

(2)已知過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A,B兩點(diǎn).

(i)證明：

(ji),求|AB|.

【高二數(shù)學(xué)第4頁(yè)(共4頁(yè))】

南陽(yáng)地區(qū)2025年秋季高二年級(jí)12月階段考試卷

數(shù)學(xué)參考答案

1.CAB+BC-AD=AC-AD=D.

2.B因?yàn)?a+mb)⊥b,所以(a+mb)·b=0,則a·b+mb2=0,即2-1+m(4+1+1)=0,

解得

3.AA,B選項(xiàng)對(duì)應(yīng)直線的斜率分別,—2,C,D選項(xiàng)對(duì)應(yīng)直線的傾斜角分別為90°和0°,

則傾斜角最大的直線是x+2y-3=0,故選A.

4.A由題意可知l與α所成角的正弦值為,又l與α所成角的取值范圍為

,所以所求角

5.A因?yàn)锽A=(1,1,-2),BC=(-1,0,2),所以|BC|=√(-1)2+02+22=√5,|BA|=

√12+12+(-2)2=√6,則點(diǎn)A到BC的距離為

6.C因?yàn)槎娼荘-AC-B的大小為90°,且∠BAC=90°,所以AB⊥平面PAC,則BP在平面

PAC內(nèi)的投影向量為AP,即所求向量的模長(zhǎng)為2.

7.A設(shè)AM=λAAj.因?yàn)锳C=2(AB?+AD?-2AA),所以

因?yàn)镃,B?,D?,M四點(diǎn)共面，所以,解得

8.Dx2+y2—4x-4y+7=0可化為(x—2)2+(y-2)2=1,圓心C

的坐標(biāo)為(2,2),半徑為1.如圖，過(guò)點(diǎn)B作圓C的切線，切點(diǎn)分別為

M,N,易得∠MBN=60°.因?yàn)閳AC上存在點(diǎn)P,使得∠ABP=

90°,所以∠ABM≥30°.因?yàn)锽C⊥x軸，所以∠ABO≤30°,故點(diǎn)A

的縱坐標(biāo)的取值范圍為

9.ABC因?yàn)閍—b=—(b+c)+(c+a),a—c=(2b—c)+(a-2b),b—2c=(a+b—c)—(a

+c),所以A,B,C中的向量不能作為基底；因?yàn)椴淮嬖趚,y,使得a=x(b+a)+y(c+b),

所以a,b+a,c+b不共面，可以作為基底.

【高二數(shù)學(xué)·參考答案第1頁(yè)(共6頁(yè))】

10.BCD如圖，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0),A(2,0,0),B?(2,2,2),

P(1,1,2),E(2,0,1),F(1,2,0),G(0,1,2).

設(shè)平面EFG的法向量為n=(x,y,z).

因?yàn)镋F=(-1,2,-1),EG=(-2,1,1),

所以令x=1,得n=(1,1,1).

因?yàn)锳P=(-1,1,2),所以AP·n=2≠0,所以A錯(cuò)誤.

因?yàn)镈B?=(2,2,2)=2n,所以B正確.

y

因?yàn)镻G=(-1,0,0),所以點(diǎn)P到平面EFG的距離d=

,C正確

因?yàn)镻Q=1,所以點(diǎn)Q在以P為球心，1為半徑的球上，

所以以P為球心，1為半徑的球被平面EFG截得的截面圓的半徑為

所以點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度,故D正確.

11.ACD設(shè)P(xo,yo),則.因?yàn)锳(-a,O),B(a,0),所以。

,A正確。

當(dāng)P為上頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)P(0,6b),則，

B錯(cuò)誤.

△PF?F?的面

clypl,所以正確。

在△PF?F?中，連接F?I,F?I(圖略).因?yàn)镮是△PF?F2的內(nèi)心，所以F?I,F?I分別平分

∠PF?F2和∠PF?F?.由角平分線分線段成比例定理，得,則

.因?yàn)閨PF?I+|PF?|=2a,|F?Ql+|F?Q|=|F?F?|=2c,所以

.又C的離心率,所以|IQ|=e|PI|,D正確.

12.√13因?yàn)锳(4,3,2),所以點(diǎn)A到x軸的距離為√32+22=√13.

13.z=√9+32即(x≥3),表示雙曲的右支.

【高二數(shù)學(xué)·參考答案第2頁(yè)(共6頁(yè))】

直線y=k(x—4)過(guò)定點(diǎn)(4,0),直線與雙曲線的圖象如圖所示.又雙曲

的漸近線方程為.,且直線y=k(x-4)與雙曲

的右支只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以由圖可知，k的取值范圍為

14.√5由可得x=±1.不妨令A(yù)(1,1),B(-1,-1).過(guò)點(diǎn)A作AE⊥MN,垂足

為E,過(guò)點(diǎn)B作BF⊥MN,垂足為F(圖略),則|AE|=1,|EF|=2,|FB|=1,<AE,FB>=

又AB=AE+EE+FB,所以AB2=(AE+EF+FB2=AE2+E2+FB2+2AE·

,故|AB|=√5.

15.解：(1)BC?=BC+BB?=AC-AB+AA?,…3分

BC?I=√AC-AB+AA?2

=√AC2+AB2+AA2-2AC·AB+2AC·AA?-2AB·AAI

……………………6分

(2)因?yàn)锳??=AC-AA?,IA?C|=1,……8分

所以BC?·A??=(AC-AB+AA?)·(AC-AA?)=AC2-AB·AC+AA?·AC-

,……·11分

故異面直線A?C與BC?所成角的余弦值為.………13分

16.解：(1)由題可設(shè)橢圓C的方程,焦距為2c.………1分

由題可知c=1,………………2分

離心率,則a=2,………3分

b2=a2—c2=3,…………………4分

所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程…………………6分

【高二數(shù)學(xué)·參考答案第3頁(yè)(共6頁(yè))】

(2)由題可知M(一√3,0).…………7分

設(shè)A(x1,y1),B(x?,y2).

可得y2+y-2=0,解得y=1或-2.…………11分

記直線l:2x-y-2=0與x軸交于點(diǎn)H(1,0),…………………12分

所以△MAB的面積…15分

17.(1)證明：取AB的中點(diǎn)H,連接A?H,PH,如圖1所示.

因?yàn)镻為BC的中點(diǎn)，所以PH//AC,………2分

在等腰梯形A?ACC?中，A?C?//AC,A?

所以HP//A?C?,HP=A?C?,所以四邊形A?C?PH為平行四邊圖1

形，…………………………3分

所以C?P//A?H.又A?HC平面A?AB,C?P平面A?AB,4分

所以C?P//平面A?AB.……………6分

(2)解：連接O?B,O?O?.因?yàn)锳B=BC,所以O(shè)?B⊥AC.以O(shè)?

為坐標(biāo)原點(diǎn)，O?A,O?B,O?O?所在直線分別為x,y,z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示.

在等腰梯形A?ACC?中，AC=2AA?=2A?C?=4,此梯形的高h(yuǎn)

圖2

因?yàn)?A?C?//AC,所以A(2,0,0),A?(1,0,√3),B(O,2,0),P(-1,1,0),

則PB=(1,1,0),AB=(-2,2,0),A?B=(-1,2,—√3).……9分

設(shè)平面A?AB的法向量為m=(x,y,z),則

令y=√3,得m=(√3,√3,1),………………11分

所以點(diǎn)P到平面A?AB的距離為…15分

18.(1)證明：因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,

PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD.………1分

因?yàn)锳BC平面ABCD,所以PA⊥AB.…………2分

易得AC=√5,所以AC2+AB2=BC2,則AC⊥AB3分

又PA∩AC=A,所以AB⊥平面PAC.……4分

【高二數(shù)學(xué)·參考答案第4頁(yè)(共6頁(yè))】

因?yàn)镻CC平面PAC,所以AB⊥PC5分

(2)解：作AE//DC,交BC于點(diǎn)E.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE,AD,

AP所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，

則A(0,0,0),D(0,2,0),C(1,2,0),P(0,0,2),

所以AP=(0,0,2),PC=(1,2,-2),AD=(0,2,0).……6分

設(shè)PM=λPC=(λ,2λ,—2λ),λ∈[0,1],

則AM=AP+PM=(A,2λ,2-2λ).………7分

設(shè)平面ADM的法向量為m=(xo,yo,z0),

取m=(2λ—2,0,λ)8分

易知平面ABCD的一個(gè)法向量為AP=(0,0,2).………9分

設(shè)平面ADM與平面ABCD的夾角為α,

,……………10分

解得，或λ=-1(舍去),所以……11分

(3)解：假設(shè)三棱錐N-BCD外接球的球心在平面ABCD內(nèi).設(shè)N(0,0,t),t∈[0,2],三棱

錐N-BCD外接球的球心為O(x,y,0),半徑為r.

過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AD,垂足為F(圖略).易得BF=2,FA=1,則B(2,—1,0),………13分