第01講平面向量的概念及線性運算目錄考情探究 2知識梳理 2探究核心考點 4考點一平面向量基本概念的綜合考查 4考點二相等向量及其應(yīng)用 7考點三平面向量線性運算的綜合考查 8考點四平面向量共線定理與點共線問題 10考點五平行向量（共線向量）求參數(shù) 12三階突破訓(xùn)練 14基礎(chǔ)過關(guān) 14能力提升 17真題感知 20一、5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2025年全國一卷，第6題,5分向量坐標(biāo)的線性運算解決幾何問題坐標(biāo)計算向量的模平面向量線性運算的坐標(biāo)表示2024年新I卷，第3題,5分平面向量線性運算的坐標(biāo)表示向量垂直的坐標(biāo)表示2023年新I卷，第3題,5分平面向量線性運算的坐標(biāo)表示向量垂直的坐標(biāo)表示利用向量垂直求參數(shù)2022年新Ⅱ卷，第4題,5分平面向量線性運算的坐標(biāo)表示數(shù)量積及向量夾角的坐標(biāo)表示二、命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分【備考策略】1了解向量的實際背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的幾何表示2掌握向量的加、減運算并理解其幾何意義3掌握向量的數(shù)乘運算并理解其幾何意義以及兩個向量共線的含義4理解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義【命題預(yù)測】本節(jié)一般考查平面向量的基本概念、線性運算及坐標(biāo)運算，易理解，易得分，需重點復(fù)習(xí)知識點1平面向量的定義與表示（1）向量：在數(shù)學(xué)中，我們把既有大小又有方向的量叫做向量．（2）向量的表示①表示工具——有向線段．有向線段包含三個要素：起點，方向，長度．②表示方法：向量可以用有向線段AB→表示，向量AB→的大小稱為向量AB→的長度(或稱模)，記作|AB→|.向量可以用字母a，b，c，…表示，也可以用有向線段的起點和終點字母表示，如：知識點2平面向量的有關(guān)概念(1)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．(2)單位向量：長度等于1個單位的向量．(3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量平行．(4)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(5)相反向量：長度相等且方向相反的向量．知識點3平面向量的線性運算向量運算定義法則（或幾何意義）加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則減法求a與b的相反向量?b三角形法則數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算（1）λa（2）當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ=0知識點4平面向量線性運算的運算律1.向量加法的運算律（1）交換律：a+b=（2）結(jié)合律：(a+b)+2.向量減法的運算律幾何意義：a?b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點定義：a?b=a+(?3.a?b與a，(1)對于任意向量a，b，都有a?b≤a?b(2)當(dāng)a，b共線，且同向時，有a?b=a?b或(3)當(dāng)a，b共線，且反向時，有a?b=4.數(shù)乘運算律一般地，設(shè)a，b是任意向量，x，y是任意實數(shù)，則如下運算律成立：（1）對實數(shù)加法的分配律：x+ya=x（2）對實數(shù)乘法的結(jié)合律：xya=(xy)（3）對向量加法的分配律：xa+b=知識點5平面向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ給定四點O,P,A,B，其中O,A,B為不共線的三點，且OP=xOA+yOB，則A,P,B三點共線的充要條件是考點一平面向量基本概念的綜合考查典例1．下列說法錯誤的是（

）A．B．，是單位向量，則C．若，則D．兩個相同的向量的模相等【答案】C【分析】由向量的模、單位向量、相等向量等概念對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，是單位向量，則，故B正確；對于C，若，有方向不能比較大小，故C錯誤；對于D，兩個相同的向量長度相等，方向相同，故D正確.故選：C.典例2．（2025·云南臨滄·模擬預(yù)測）關(guān)于非零向量，，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則，不是共線向量【答案】C【分析】由向量的模長，共線，相等的性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】對于A，向量不能比較大小，故A錯；對于B，向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B錯；對于C，若，由向量相等的條件可得，故C正確；對于D，不相等的向量也可能是共線向量，故D錯.故選：C．典例3．設(shè)和是兩個非零向量，定義向量，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運算法則和向量相等的定義即可判斷.【詳解】因為，所以，但向量的方向不確定，所以推不出；又根據(jù)，得到，所以可以推出，則“”是“”的必要不充分條件，故選：B．跟蹤訓(xùn)練1．下列命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)向量的概念逐一判斷.【詳解】對于A：若，則只是大小相同，并不能說方向相同，A錯誤；對于B：向量不能比較大小，B錯誤；對于C：若，則方向相同，C正確；對于D：若，如果為零向量，則不能推出平行，D錯誤.故選：C.跟蹤訓(xùn)練2．已知平面向量，，則“或”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)向量的基本概念，結(jié)合充分，必要條件，即可判斷選項.【詳解】若或，則，反過來，若，兩個向量的方向不確定，不能推出或，所以“或”是“”的充分不必要條件.故選：A跟蹤訓(xùn)練3．若向量與方向相反，則下列等式中必定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的加法法則計算可得結(jié)論.【詳解】因為向量與方向相反，所以，.故選：A.考點二相等向量及其應(yīng)用典例1．設(shè)都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是（

）A． B． C． D．且【答案】C【分析】根據(jù)題意，得到向量和的方向相同，結(jié)合選項，即可得到答案.【詳解】由都是非零向量，且，因為和分別表示與向量和同向的單位向量，所以向量和的方向相同，結(jié)合選項，可得成立的充分條件為.故選：C.典例2．若在四邊形中，滿足，且，則四邊形的形狀一定是（）A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形【答案】B【分析】根據(jù)平面向量加減法的運算及數(shù)量積的運算律即可求解．【詳解】由得，，即四邊形為平行四邊形，又，所以，整理得，即，所以四邊形為矩形，故選：B．典例3．已知向量，不共線，實數(shù)，滿足，則（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【分析】由已知結(jié)合平面向量基本定理可求，，進而求出答案.【詳解】由，不共線，實數(shù)，滿足，得，解得，，所以.故選：A跟蹤訓(xùn)練1．已知四邊形滿足條件，且，其形狀是（

）A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】B【分析】由，分析出四邊形一組對邊平行且相等，又由，分析出四邊形對角線相等，即可得到結(jié)果.【詳解】由，可知且，則四邊形為平行四邊形，又由，可知四邊形為矩形，故選:B.跟蹤訓(xùn)練2．平面直角坐標(biāo)系中，已知點A，B，C的坐標(biāo)分別為（0，1），（1，0），（4，2），且四邊形ABCD為平行四邊形，那么D點的坐標(biāo)為A．（3，3） B．（﹣5，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，3）【答案】A【分析】利用，求得點的坐標(biāo).【詳解】設(shè)D（x，y），∵點A，B，C的坐標(biāo)分別為（0，1），（1，0），（4，2），且四邊形ABCD為平行四邊形，∴，∴（x，y﹣1）=（3，2），解得x=3，y=3，∴D點的坐標(biāo)為（3，3）.故選：A.【點睛】本小題主要考查平面向量相等的知識，屬于基礎(chǔ)題.考點三平面向量線性運算的綜合考查典例1．（2025·河南安陽·一模）已知平行四邊形的對角線的交點為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量線性運算計算得解.【詳解】在中，.故選：C典例2．紙風(fēng)車體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，如圖是一個紙風(fēng)車示意圖，則（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)向量相等定義，向量數(shù)量積以及平行四邊形法則可得結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)，則，與方向不一致，所以，故A錯誤；由題干圖中所示，為鈍角，所以，故B錯誤；結(jié)合題干及圖，由向量的平行四邊形法則可知，故C正確；，故D錯誤.故選：C.跟蹤訓(xùn)練1．（2025·四川自貢·三模）在中，是邊上的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的線性運算求解即可.【詳解】因為是邊上的中點，所以，即.故選：A.跟蹤訓(xùn)練2．已知半徑為1的圓O的內(nèi)接正十二邊形的頂點依次為，，，…，，P為圓O內(nèi)的任意動點（不包含邊界），若，則（

）A．13 B．12 C．11 D．10【答案】B【分析】根據(jù)向量線性運算可得答案.【詳解】易知，由得，故．故選：B.考點四平面向量共線定理與點共線問題典例1．已知，，（和不共線），則三點共線（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運算與共線定理即可得出結(jié)論.【詳解】，所以共線，即三點共線，故A正確；，，，不共線，故B錯誤；，，，不共線，故C錯誤；，，，不共線，故D錯誤；故選：A典例2．若、是兩個不共線的向量，若，，，且、、三點共線，則實數(shù)的值等于．【答案】/【分析】求出向量，由題意可得，則存在實數(shù)，使得，利用平面向量的基本定理可得出關(guān)于、的方程組，即可解得的值.【詳解】由題意可得，因為、、三點共線，則，則存在實數(shù)，使得，即，因為、是兩個不共線的向量，所以，，解得.故答案為：.跟蹤訓(xùn)練1．）已知，，，則共線的三點為（

）A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D【答案】D【分析】A選項，設(shè)，則，無解，不滿足共線定理，A錯誤；BC選項，方法同A，得到BC錯誤；D選項，計算出，D正確.【詳解】A選項，，，令，則，無解，不滿足共線定理，A錯誤；B選項，，，令，則，無解，不滿足共線定理，B錯誤；C選項，，，令，則，無解，，不滿足共線定理，C錯誤；D選項，，故三點共線，D正確．故選：D跟蹤訓(xùn)練2．已知非零向量，不共線，若，，，且A，C，D三點共線，則．【答案】【分析】根據(jù)三點共線，則對應(yīng)向量共線，則存在非零實數(shù)x，使得，即可求得參數(shù).【詳解】因為A，C，D三點共線，故可得，則存在非零實數(shù)x，使得．又，，故可得．又非零向量，不共線，故可得，，解得，．故答案為：.跟蹤訓(xùn)練3．已知向量三點共線，則.【答案】/【分析】由點共線可得，再利用兩角和的正切公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為三點共線，所以，所以，可得故答案為：考點五平行向量（共線向量）求參數(shù)典例1．（2025·廣東廣州·三模）已知向量不共線，與共線，則實數(shù)的值為（

）A． B．2 C．6 D．【答案】A【分析】由向量共線得到，求解即可.【詳解】因為與共線，所以，解得：，故選：A典例2．若向量，不共線，且向量，同向共線，則（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】B【分析】由平面向量的基本定理及向量共線條件得求參數(shù)，再由向量同向共線求解.【詳解】因為向量，共線，所以，解得或，當(dāng)時，向量與方向相反，不滿足，當(dāng)時，向量與方向相同，滿足，故.故選：B跟蹤訓(xùn)練1．已知、不共線，向量，，且，則.【答案】【分析】設(shè)，其中，根據(jù)平面向量的基本定理可得出關(guān)于、的方程組，解之即可.【詳解】因為，所以，使得成立，即.因為、不共線，所以，所以，.故答案為：.跟蹤訓(xùn)練2．已知，為不共線向量，，，若，為共線向量，則（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的共線性質(zhì)建立方程，求解參數(shù)即可.【詳解】因為，為不共線向量，且，為共線向量，所以，而，，則，故，解得，故D正確.故選：D.一、單選題1．（2025·河南·三模）若點A在點O的正北方向，點B在點O的南偏西方向，且，則向量表示（

）A．從點O出發(fā)，朝北偏西方向移動B．從點O出發(fā)，朝北偏西方向移動C．從點O出發(fā)，朝北偏西方向移動2kmD．從點O出發(fā)，朝北偏西方向移動2km【答案】C【分析】以O(shè)為坐標(biāo)原點，正東方向為x軸的正方向，正北方向為y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，標(biāo)出題中所給信息，再利用向量加法的平行四邊形法則求出即可.【詳解】以O(shè)為坐標(biāo)原點，正東方向為x軸的正方向，正北方向為y軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，依題意可得，設(shè)，因為，所以四邊形OACB為菱形，則，則為正三角形，所以，故向量表示從點O出發(fā)，朝北偏西方向移動2km.故選：C2．（2025·吉林·二模）在中，點D為的中點，點O為的重心，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合重心性質(zhì)與向量運算化簡可得.【詳解】如圖，連接，因為點O為的重心，則為的三等分點，且，所以，故選：A.3．（2025·黑龍江·一模）如圖，在正六邊形中，點滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】應(yīng)用向量加減、數(shù)乘的幾何意義，用表示，即可得答案.【詳解】由題設(shè)及正六邊形的結(jié)構(gòu)特征知，，且，，又，所以.故選：B4．（2025·廣東惠州·三模）把函數(shù)的圖象按向量平移，得到的圖象，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由向量的概念確定函數(shù)圖象平移方向，進而寫出的解析式.【詳解】由題意.故選：A5．（2025·廣東茂名·二模）已知向量不共線，且，則實數(shù)（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量共線，可設(shè)，利用向量相等的條件求解即可．【詳解】因為向量不共線，且，設(shè)，即，所以，解得．故選：D．6．（2025·江蘇南通·三模）已知，為平面內(nèi)一組基底，，，，若A，B，D三點共線，則a的值為（

）A．2 B． C．0 D．1【答案】A【分析】根據(jù)向量的減法運算求出，再由共線向量定理求解即可.【詳解】，，因為與共線，，故選：A．7．（2025·湖南邵陽·三模）設(shè)為所在平面內(nèi)一點，．若，則的值為（

）A．4 B．5 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的線性運算，即可求解.【詳解】，所以，即，即,即.故選：D一、單選題8．（2025·廣東深圳·二模）在四邊形中，若，則“”是“四邊形是正方形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)，判斷出四邊形的形狀，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】在四邊形中，若，則四邊形為平行四邊形，若，則平行四邊形為菱形，但不一定為正方形，四邊形是正方形時，必有，即有，故“”是“四邊形是正方形”的必要不充分條件.故選：B.9．（2025·湖北·模擬預(yù)測）已知，，是同一個平面內(nèi)的三個向量，則“”是“”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】取特例可判斷充分性，利用共線向量的性質(zhì)及向量數(shù)量積的運算可判斷必要性.【詳解】當(dāng)時，，可以是任意向量，因此是不充分條件；當(dāng)時，若，顯然成立；當(dāng)，因為，所以，因此，，因此成立.故“”是“”的必要條件.故選：C10．（2025·湖北·模擬預(yù)測）在平行四邊形中，點是邊上的點，，點是線段的中點，若，則（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】由及即可求解.【詳解】因為點是線段的中點,所以，又，所以，所以，故選：C11．（2025·甘肅甘南·模擬預(yù)測）如圖，在中，為線段上一點，且，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用基底表示，再設(shè)，即可構(gòu)造關(guān)于的方程組.【詳解】因，則，故，因三點共線，故設(shè)，則，因，則，解得．故選：D．二、多選題12．（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）設(shè)是兩個非零向量，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．在方向上的投影向量的模為【答案】ACD【分析】對于A，根據(jù)條件，利用