第01講平面向量的概念及線性運(yùn)算【考試要求】理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.3.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小稱為向量的長度(或模)．(2)零向量：長度為0的向量，記作0．(3)單位向量：長度等于1個(gè)單位長度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量平行．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法a－b＝a＋(－b)數(shù)乘|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb①向量的三角形法則適用于任意兩個(gè)向量的加法，并且可以推廣到兩個(gè)以上的非零向量相加，稱為多邊形法則．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量．即．②特別地：或當(dāng)且僅當(dāng)至少有一個(gè)為時(shí)或者兩向量共線時(shí)，向量不等式的等號(hào)成立．③若F為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.①若A、B、C三點(diǎn)共線存在唯一的實(shí)數(shù)，使得存在唯一的實(shí)數(shù)，使得存在唯一的實(shí)數(shù)，使得存在，使得．1．(多選)下列命題正確的是()A．零向量是唯一沒有方向的向量B．零向量的長度等于0C．若a，b都為非零向量，則使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的條件是a與b反向共線D．若a＝b，b＝c，則a＝c【答案】BCD【解析】A項(xiàng)，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，由零向量的定義知，零向量的長度為0，故B正確；C項(xiàng)，因?yàn)閑q\f(a,|a|)與eq\f(b,|b|)都是單位向量，所以只有當(dāng)eq\f(a,|a|)與eq\f(b,|b|)是相反向量，即a與b是反向共線時(shí)才成立，故C正確；D項(xiàng)，由向量相等的定義知D正確．2．下列各式化簡結(jié)果正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))【答案】B3．已知a與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________.【答案】－eq\f(1,3)【解析】由題意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，,1＝3k，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))考點(diǎn)一平面向量的基本概念例1(1)(多選)下列說法中正確的是()A．單位向量都相等B．任一向量與它的相反向量不相等C．若|a|＝|b|，則a與b的長度相等，與方向無關(guān)D．若a與b是相反向量，則|a|＝|b|【答案】CD【解析】對(duì)于A，單位向量方向不同時(shí)并不相等，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，0的相反向量為0，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，|a|＝|b|，則a與b的長度相等，與方向無關(guān)，C正確；對(duì)于D，相反向量是長度相等，方向相反的向量，D正確．【對(duì)點(diǎn)演練1】（多選題）下列說法正確的是（

）A．向量的長度與向量的長度相等 B．零向量與任意非零向量平行C．長度相等方向相反的向量共線 D．方向相反的向量可能相等【答案】ABC【分析】根據(jù)向量的有關(guān)概念進(jìn)行判定即可.【詳解】A.向量與向量的方向相反，長度相等，故A正確；B.規(guī)定零向量與任意非零向量平行，故B正確；C.能平移到同一條直線的向量是共線向量，所以長度相等，方向相反的向量是共線向量，故C正確；D.長度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正確.故選：ABC.【對(duì)點(diǎn)演練2】下列命題中正確的是（

）A．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同B．兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量C．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量，其終點(diǎn)必相同D．若與是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上【答案】A【詳解】兩個(gè)相等的向量方向相同且長度相等，因此起點(diǎn)相同時(shí)終點(diǎn)必相同，故A正確；兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，可能方向不同，也可能模長不同，故B錯(cuò)誤；兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量可能方向不同，也可能模長不同，終點(diǎn)未必相同，故C錯(cuò)誤；與是共線向量，也可能是AB平行于CD，故D錯(cuò)誤.故選：A【對(duì)點(diǎn)演練3】判斷下列命題：①兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的非零向量，其終點(diǎn)必相同；②若，則與的方向相同或相反；③若，且，則；④若，則．其中，正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】對(duì)于①，兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的非零向量，其終點(diǎn)一定相同，故正確；對(duì)于②，當(dāng)是零向量時(shí)，不能說與方向相同或相反，故錯(cuò)；對(duì)于③，如果，則與可以不共線，所以不正確；對(duì)于④，向量不能比較大小，故不正確；故選：B．例2（2023·北京大興·?？既＃┰O(shè)，是非零向量，“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性定義即知答案.【詳解】由表示單位向量相等，則同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出，由表示同向且模相等，則，所以“”是“”的必要而不充分條件.故選：B平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.【對(duì)點(diǎn)演練1】下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．單位向量都相等 B．對(duì)于任意向量，，必有C．平行向量不一定是共線向量 D．若，滿足且與同向，則【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，單位向量模都為1，方向不一定相同，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若方向相同，則，若方向相反，則，若不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及兩邊之和大于第三邊可知.綜上可知對(duì)于任意向量，必有，故B正確；對(duì)于C，平行向量就是共線向量，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，兩個(gè)向量不能比較大小，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.【對(duì)點(diǎn)演練2】（2023·廣東揭陽·?？级＃┰O(shè)是單位向量，，，，則四邊形是（

）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】B【分析】由題知，進(jìn)而得，，再根據(jù)菱形的定義即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，即，，所以四邊形是平行四邊形，因?yàn)椋?，所以四邊形是菱?故選：B考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算角度1向量加、減法的幾何意義例2(2022·濟(jì)南模擬)已知單位向量e1，e2，…，e2023，則|e1＋e2＋…＋e2023|的最大值是________，最小值是________．【答案】20230【解析】當(dāng)單位向量e1，e2，…，e2023方向相同時(shí)，|e1＋e2＋…＋e2023|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2023|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2023|＝2023；當(dāng)單位向量e1，e2，…，e2023首尾相連時(shí)，e1＋e2＋…＋e2023＝0，所以|e1＋e2＋…＋e2023|的最小值為0.角度2線性運(yùn)算例3(2023·蕪湖調(diào)研)如圖，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，點(diǎn)E為線段CD上靠近C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，則eq\o(FE,\s\up6(→))＝()A.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,18)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(11,9)eq\o(AC,\s\up6(→))C.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→))【答案】A【解析】由題圖，得eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,18)eq\o(AC,\s\up6(→)).故選A.【對(duì)點(diǎn)演練1】設(shè)為對(duì)角線的交點(diǎn)，為任意一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：在OAC中，因?yàn)槭瞧叫兴倪呅蜛BCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，所以，即．在OBD中，因?yàn)槭瞧叫兴倪呅蜛BCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，所以，即．所以．故選：D．【對(duì)點(diǎn)演練2】在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bB.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC.eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)bD.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b【答案】A【解析】如圖，過點(diǎn)D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形AEDF為平行四邊形，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)).因?yàn)閑q\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.【對(duì)點(diǎn)演練3】(2022·新高考全國Ⅰ)在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA.記eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CD,\s\up6(→))＝n，則eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3n【答案】B【解析】因?yàn)锽D＝2DA，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋3eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋3(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝－2eq\o(CA,\s\up6(→))＋3eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2m＋3n.故選B.【對(duì)點(diǎn)演練4】（2023?天津）在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若設(shè)，，則可用，表示為．【答案】．【解析】在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，則角度3根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)例4(2023·大連模擬)在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，P為線段DE上的動(dòng)點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，λ，μ∈R，則λ＋μ等于()A．1B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2)D．2【答案】B【解析】如圖所示，由題意知，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，設(shè)eq\o(DP,\s\up6(→))＝xeq\o(DE,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋xeq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋x(eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)xeq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(1－x)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以μ＝eq\f(2,3)x，λ＝eq\f(2,3)(1－x)，所以λ＋μ＝eq\f(2,3)x＋eq\f(2,3)(1－x)＝eq\f(2,3).平面向量線性運(yùn)算的常見類型及解題策略(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義．(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值．【對(duì)點(diǎn)演練1】在△ABC中，P是BC上一點(diǎn)，若eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則2λ＋μ＝________.【答案】eq\f(4,3)【解析】在△ABC中，eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共線，則λ＝eq\f(1,3)，μ＝eq\f(2,3)，所以2λ＋μ＝eq\f(4,3).【對(duì)點(diǎn)演練2】在△ABC中，AB＝2，BC＝3eq\r(3)，∠ABC＝30°，AD為BC邊上的高.若eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ－μ＝________.【答案】eq\f(1,3)【解析】如圖.∵AD為BC邊上的高，∴AD⊥BC.∵AB＝2，∠ABC＝30°，∴BD＝eq\r(3)＝eq\f(1,3)BC，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).又∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(2,3)，μ＝eq\f(1,3)，故λ－μ＝eq\f(1,3).考點(diǎn)三共線定理及其應(yīng)用例5已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m＋n＝1.【證明】(1)若m＋n＝1，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝[m＋(1－m)]eq\o(OP,\s\up6(→))，故meq\o(OP,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))，即m(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝(1－m)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，meq\o(AP,\s\up6(→))＝(1－m)eq\o(PB,\s\up6(→))，即eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))共線，又eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))有公共點(diǎn)P，則A，P，B三點(diǎn)共線．(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))，變形得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，即(1＋λ)eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(λ\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OA,\s\up6(→)),1＋λ)＝eq\f(λ\o(OB,\s\up6(→)),1＋λ)＋eq\f(\o(OA,\s\up6(→)),1＋λ)，又eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，eq\f(λ,1＋λ)＋eq\f(1,1＋λ)＝1，故m＋n＝1.利用共線向量定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù)．(2)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(3)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1.【對(duì)點(diǎn)演練1】已知平面向量a，b不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，則()A.A，B，D三點(diǎn)共線 B.A，B，C三點(diǎn)共線C.B，C，D三點(diǎn)共線 D.A，C，D三點(diǎn)共線【答案】D【解析】對(duì)于A，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－a＋3b＋(a＋3b)＝6b，與eq\o(AB,\s\up6(→))不共線，A不正確；對(duì)于B，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))不共線，B不正確；對(duì)于C，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，則eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))不共線，C不正確；對(duì)于D，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝4a＋6b＋(－a＋3b)＝3a＋9b＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，即eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，又線段AC與CD有公共點(diǎn)C，所以A，C，D三點(diǎn)共線，D正確.故選D.【對(duì)點(diǎn)演練2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，若M、P、Q三點(diǎn)共線，則（

）A．1 B．2 C．4 D．－1【答案】A【分析】根據(jù)平面向量共線定理，列方程組即可求解.【詳解】解：∵M(jìn)、P、Q三點(diǎn)共線，則與共線，∴，即，得，解得.故選：A.【對(duì)點(diǎn)演練3】若a，b是兩個(gè)不共線的向量，已知eq\o(MN,\s\up6(→))＝a－2b，eq\o(PN,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝3a－b，若M，N，Q三點(diǎn)共線，則k等于()A．－1B．1C.eq\f(3,2)D．2【答案】B【解析】由題意知，eq\o(NQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＝a－(k＋1)b，因?yàn)镸，N，Q三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(MN,\s\up6(→))＝λeq\o(NQ,\s\up6(→))，即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，整理得(1－λ)a＝[2－λ(k＋1)]b，因?yàn)橄蛄縜，b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λ＝0，,2－λk＋1＝0，))解得λ＝1，k＝1.【對(duì)點(diǎn)演練4】(2023·山西大學(xué)附中診斷)如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)xeq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))，yeq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的值為()A.3 B.4C.5 D.6【答案】A【解析】延長AG交BC于點(diǎn)H(圖略)，則H為BC的中點(diǎn)，∵G為△ABC的重心，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3x)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(1,3y)eq\o(AN,\s\up6(→)).∵M(jìn)，G，N三點(diǎn)共線，∴eq\f(1,3x)＋eq\f(1,3y)＝1，即eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝3.故選A.【對(duì)點(diǎn)演練5】P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，△ABC的面積是S1，△PAB的面積是S2，則()A．S1＝4S2 B．S1＝3S2C．S1＝2S2 D．S1＝S2【答案】B【解析】∵eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))＝2(eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))，∴3eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))并且方向一樣，設(shè)AP與BC的距離為h，∵S△PAB＝eq\f(1,2)|eq\o(AP,\s\up6(→))|·h，S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|·h，又∵|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝3|eq\o(AP,\s\up6(→))|，∴S△PAB＝eq\f(1,3)S△ABC，S1＝3S2.【對(duì)點(diǎn)演練6】（2023春·湖南長沙·高一雅禮中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交射線于不同的兩點(diǎn).設(shè)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】由圖象可知，因?yàn)?，且三點(diǎn)共線，所以，即，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，D錯(cuò)誤，故選：BC考點(diǎn)四與平面向量有關(guān)的數(shù)學(xué)文化題例6（2023·全國·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形）.類比“趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，且，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)P是內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，且，則的最大值為__________.【答案】2【詳解】由得：，又M為的中點(diǎn)，所以，所以，過A作的平行線交于點(diǎn)Q，當(dāng)P與Q重合時(shí)，的值最大.因?yàn)镸為的中點(diǎn)，且，所以D為的中點(diǎn)，此時(shí)，所以的最大值為2.故答案為：2【對(duì)點(diǎn)演練】五角星是指有五只尖角、并以五條直線畫成的星星圖形，有許多國家的國旗設(shè)計(jì)都包含五角星，如中華人民共和國國旗．如圖，在正五角星中，每個(gè)角的角尖為36°，則下列說法正確的是()A.eq\o(CH,\s\up6(→))＋eq\o(ID,\s\up6(→))＝0 B.eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(FE,\s\up6(→))C.eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＝2eq\o(HG,\s\up6(→)) D.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AJ,\s\up6(→))【答案】D【解析】A項(xiàng)，由圖可知CH與ID相交，所以eq\o(CH,\s\up6(→))與eq\o(ID,\s\up6(→))不是相反向量，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(DE,\s\up6(→))共線，eq\o(DE,\s\up6(→))與eq\o(FE,\s\up6(→))不共線，所以eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(FE,\s\up6(→))不共線，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))≠2eq\o(HG,\s\up6(→))，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，連接BF，JF，由五角星的性質(zhì)可得四邊形ABFJ為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形法則可得eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AJ,\s\up6(→))，故D正確．等和(高)線定理(1)由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理：如圖，由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝1，由△OAB與△OA′B′相似，必存在一個(gè)常數(shù)k，k∈R，使得eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))，則eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))＝kλeq\o(OA,\s\up6(→))＋kμeq\o(OB,\s\up6(→))，又eq\o(OP′,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立.(2)平面內(nèi)一組基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(→))，eq\o(OP′,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若點(diǎn)P′在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線.例給定兩個(gè)長度為1的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它們的夾角為120°，如圖，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上運(yùn)動(dòng)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是________.答案2解析法一由已知可設(shè)OA為x軸的正半軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系(圖略).其中A(1，0)，B，C(cosθ，sinθ)，則有eq\o(OC,\s\up6(→))＝(cosθ，sinθ)＝x(1，0)＋y，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,2)＝cosθ，,\f(\r(3),2)y＝sinθ，))得x＝eq\f(\r(3),3)sinθ＋cosθ，y＝eq\f(2\r(3),3)sinθ，x＋y＝eq\f(\r(3),3)sinθ＋cosθ＋eq\f(2\r(3),3)sinθ＝eq\r(3)sinθ＋cosθ＝2sin，其中0≤θ≤eq\f(2π,3)，所以(x＋y)max＝2，當(dāng)且僅當(dāng)θ＝eq\f(π,3)時(shí)取得.法二如圖，連接AB交OC于點(diǎn)D，設(shè)eq\o(OD,\s\up6(→))＝teq\o(OC,\s\up6(→))，由于eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝t(xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))).因?yàn)镈，A，B三點(diǎn)在同一直線上，所以tx＋ty＝1，x＋y＝eq\f(1,t)，由于|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝t|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝t，當(dāng)OD⊥AB時(shí)t取到最小值eq\f(1,2)，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí)t取到最大值1，故1≤x＋y≤2.故x＋y的最大值為2.法三(等和線法)連接AB，過C作直線l∥AB，則直線l為以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))為基底的平面向量基本定理系數(shù)的等和線，顯然當(dāng)l與圓弧相切于C1時(shí)，定值最大，因?yàn)椤螦OB＝120°，所以eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＋y的最大值為2.1、有下列命題：①單位向量一定相等；②起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；③相等的非零向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同；④方向相反的兩個(gè)單位向量互為相反向量；⑤起點(diǎn)相同且模相等的向量的終點(diǎn)的軌跡是圓．其中正確的命題的個(gè)數(shù)為______．A1B2C3D4【答案】C【分析】由相等向量、相反向量的知識(shí)依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于①，兩個(gè)單位向量方向不同時(shí)不相等，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，方向相同且模長相等的向量為相等向量，與起點(diǎn)無關(guān)，②正確；對(duì)于③，相等的非零向量方向相同且模長相等，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)不同，③正確；對(duì)于④，單位向量模長相等，又方向相反，則這兩個(gè)向量為相反向量，④正確；對(duì)于⑤，若兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，且模長相等且不為零，則終點(diǎn)的軌跡為球面，⑤錯(cuò)誤；則正確的命題個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：.選C2、化簡2(a－3b)－3(a＋b)的結(jié)果為()A．a(chǎn)＋4b B．－a－9bC．2a＋b D．a(chǎn)－3b【答案】B【解析】2(a－3b)－3(a＋b)＝2a－6b－3a－3b＝－a－9b.3．設(shè)a，b是平面內(nèi)兩個(gè)向量，“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)a＝－eq\f(1,2)b時(shí)，|a＋b|＝＝eq\f(1,2)|b|＝|a|，推不出|b|＝0；當(dāng)|b|＝0時(shí)，b＝0，則|a＋b|＝|a＋0|＝|a|，故“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的必要不充分條件．4．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的線性表示和加減法運(yùn)算即可求解.【詳解】如圖，因?yàn)?，所以是線段的四等分點(diǎn)，且,所以,故A,B錯(cuò)誤；由，可得，故C正確，D錯(cuò)誤，故選:C.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，不共線，若向量與向量共線，則的值為（

）A． B．0或 C．0或1 D．0或3【答案】A【分析】根據(jù)向量共線的條件,代入化簡,對(duì)應(yīng)系數(shù)相等【詳解】因?yàn)榕c共線，可設(shè)，即，因?yàn)?，不共線，所以所以.故選:A.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若，其中λ∈R，則點(diǎn)P一定在（）A．AC邊所在的直線上 B．BC邊所在的直線上C．AB邊所在的直線上 D．△ABC的內(nèi)部【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算整理可得，再結(jié)合向量共線分析即可.【詳解】∵，∴，則，則∴∴P點(diǎn)在AC邊所在直線上．故選：A．7．在邊長為1的正方形ABCD中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則|a－b＋c|等于()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長為1的正方形，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，所以a－b＋c＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，所以|a－b＋c|＝|2eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2.8．如圖，BC，DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，且eq\o(FC,\s\up6(→))＝λeq\o(FD,\s\up6(→))＋μeq\o(FE,\s\up6(→))，則λ＋μ等于()A．1 B．2C．3 D．4【答案】D【解析】∵eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝4eq\o(FO,\s\up6(→))＝4×eq\f(1,2)(eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→)))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))＋2eq\o(FE,\s\up6(→))，∴λ＝μ＝2，∴λ＋μ＝4.二、多選題9．(多選)下列命題中，正確的是()A．若a∥b，b∥c，則a∥cB．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C．若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等或相反D．如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向與a，b之一的方向一定相同【答案】BC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，0平行于任何向量，若b＝0，滿足a∥b，b∥c，但不一定滿足a∥c，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，首尾順次相接，正確；對(duì)于C選項(xiàng)，兩個(gè)單位向量互相平行，這兩個(gè)單位向量相等或相反(大小相等，方向相反)，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)a＋b＝0時(shí)，零向量的方向是任意的，故D錯(cuò)誤．10、若是直線l上的一個(gè)單位向量，這條直線上的向量，，則下列說法正確的是（

）A． B． C．與的夾角為 D．【答案】BC【分析】根據(jù)條件可得，進(jìn)而可判斷ABC，然后利用向量數(shù)量積的概念可判斷D.【詳解】因?yàn)?，，所以，故A錯(cuò)誤，B正確，C正確；所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．對(duì)于兩個(gè)向量和，下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．若，滿足，且與同向，則 B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，逐項(xiàng)運(yùn)算，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，向量是既有大小，又有方向的量，所以向量不能比較大小，所以A不正確；對(duì)于B中，由，又由，因?yàn)?，所以成立，所以B正確；對(duì)于C中，，所以C不正確；對(duì)于D中，，所以，所以D不正確.故選：ACD.12、設(shè)點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的是()A．若eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))B．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AC,\s\up6(→))－3eq\o(AB,\s\up6(→))，則點(diǎn)M，B，C三點(diǎn)共線C．若點(diǎn)M是△ABC的重心，則eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋y