任意角的三角函數(shù)課前必備知識(shí)課標(biāo)要求1.了解任意角的概念．了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度制與角度制的互化．2.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義，掌握三角函數(shù)的象限符號(hào)規(guī)律及三角函數(shù)的定義域.3.掌握扇形的弧長(zhǎng)公式及面積公式．知識(shí)梳理1．角的概念(1)任意角：角可以看成一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形．旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線OA叫做角的__始邊__，射線的端點(diǎn)O叫做角的__頂點(diǎn)__．一條射線繞其端點(diǎn)按__逆__時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角，按__順__時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角．如果一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個(gè)__零__角．(2)象限角：把角置于直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與__原點(diǎn)__重合，角的始邊與__x軸的非負(fù)半軸__重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角．(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合__S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}__或__S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}__，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．2．弧度制(1)定義：把長(zhǎng)度等于__半徑__長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的__圓心角__叫1弧度的角．以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制，叫做__弧度制__．正角的弧度數(shù)是一個(gè)__正數(shù)__，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)__負(fù)數(shù)__，零角的弧度數(shù)是__0__．(2)角度與弧度的換算：180°＝__π__rad，1°＝__eq\f(π,180)__rad，1rad＝__(eq\f(180,π))°__．(3)扇形的弧長(zhǎng)和面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，面積為S，圓心角為α(0<α<2π)，則l＝__αR__，S＝__eq\f(1,2)lR__．3．任意角的三角函數(shù)設(shè)α是任意一個(gè)角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)，那么，sinα＝__y__；cosα＝__x__；tanα＝__eq\f(y,x)__(x≠0).常用結(jié)論1．任意角的三角函數(shù)(推廣)設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn)，它到原點(diǎn)的距離為r(r>0)，那么，sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0).2．三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律三角函數(shù)第一象限第二象限第三象限第四象限sinα＋＋－－cosα＋－－＋tanα＋－＋－可概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦．課前訓(xùn)練1．將－885°化為α＋k·360°(k∈Z，α∈[0°，360°))的形式是()A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°解析：B由α∈[0°，360°]知－885°＝195°－1080°＝195°＋(－3)×360°.故選B.2．已知角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第二象限的點(diǎn)P，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為eq\f(1,2)，則cosα＝()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)解析：D依題意，得P(－eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，根據(jù)三角函數(shù)的定義，得cosα＝－eq\f(\r(3),2).故選D.3．(教材母題必修5.2.1練習(xí)T4)已知點(diǎn)P(tanα，cosα)在第四象限，則角α的終邊在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：C因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα>0，,cosα<0，))由此可判斷角α的終邊在第三象限．故選C.4．已知角α的終邊在如圖陰影表示的范圍內(nèi)(不包含邊界)，那么角α的集合是________．解析：{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}觀察圖形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}．5．(教材母題必修習(xí)題5.1T9)已知扇形的圓心角為eq\f(2π,3)，圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為eq\f(8π,3)，則該扇形的面積為________．解析：eq\f(16π,3)設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，圓心角為α，半徑為r，面積為S.由弧長(zhǎng)公式l＝αr，可知eq\f(8π,3)＝eq\f(2π,3)r，解得r＝4，所以扇形的面積S＝eq\f(1,2)×eq\f(8π,3)×4＝eq\f(16π,3).

課堂核心考點(diǎn)考點(diǎn)1任意角及其表示【例1】(1)(多選)下列條件中，能使α和β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱的是()A．α＋β＝180°B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)C．α＋β＝k·360°(k∈Z)D．α＋β＝(2k＋1)180°(k∈Z)(2)設(shè)角α是第三象限角，且|sineq\f(α,2)|＝－sineq\f(α,2)，則角eq\f(α,2)是第________象限角．解析：(1)AD假設(shè)α，β為0°～180°內(nèi)的角，如圖所示．因?yàn)棣?，β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，所以α＋β＝180°，所以A滿足條件；結(jié)合終邊相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)180°(k∈Z)，所以D滿足條件，B、C都不滿足條件．故選AD.(2)四由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，則kπ＋eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)，所以eq\f(α,2)是第二或第四象限角．再由|sineq\f(α,2)|＝－sineq\f(α,2)知sineq\f(α,2)<0，所以eq\f(α,2)只能是第四象限角．(1)正確理解任意角的概念，既要考慮大小，還要考慮方向．(2)正確理解象限角的概念，特別注意當(dāng)終邊落在坐標(biāo)軸上時(shí)，這樣的角是非象限角．(3)α所在象限與eq\f(α,2)所在象限的關(guān)系：當(dāng)α屬于第一、第二象限時(shí)，eq\f(α,2)屬于第一或第三象限；當(dāng)α屬于第三、第四象限時(shí)，eq\f(α,2)屬于第二或第四象限．變式探究1．已知角α的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，試指出角α的取值范圍．解析：{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}30°角的終邊所在直線上的角的集合為S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，180°－75°＝105°角的終邊所在直線上的角的集合為S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，終邊在圖中陰影部分內(nèi)的角α的取值范圍為{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．2．(2025·廣東佛山一模)若點(diǎn)A(cosθ，sinθ)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為B(cos(eq\f(π,6)－θ)，sin(eq\f(π,6)－θ))，則θ的一個(gè)取值為__________．解析：eq\f(7π,12)(答案不唯一，θ＝eq\f(7π,12)＋kπ，k∈Z均可)因?yàn)锳(cosθ，sinθ)和B(cos(eq\f(π,6)－θ)，sin(eq\f(π,6)－θ))關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．所以θ與eq\f(π,6)－θ的終邊在一條直線上．即θ＝eq\f(π,6)－θ＋(2k＋1)π，k∈Z，所以θ＝eq\f(7π,12)＋kπ，k∈Z.令k＝0得θ＝eq\f(7π,12).考點(diǎn)2弧度制的應(yīng)用【例2】(1)(2024·湖南一模)出土于魯國(guó)故城遺址的“戰(zhàn)國(guó)出廓雙龍勾云紋玉璜”(圖1)的璜身雕刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀．出廓透身外耬雕“S”型雙龍，造型精美．現(xiàn)要計(jì)算璜身面積(厚度忽略不計(jì))，測(cè)得各項(xiàng)數(shù)據(jù)(圖2)：AB≈8cm，AD≈2cm，AO≈5cm.若sin37°≈eq\f(3,5)，π≈3.14，則璜身(即曲邊四邊形ABCD)面積近似為()A．6.8cm2 B．9.8cm2C．14.8cm2 D．22.4cm2(2)(2025·上海寶山模擬)如圖所示，圓心為原點(diǎn)O的單位圓的上半圓周上，有一動(dòng)點(diǎn)P(x，y)(y>0).設(shè)A(1，0)，點(diǎn)B是P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，分別連接PA，PB，AB，如此形成了三個(gè)區(qū)域，標(biāo)記如圖所示．使區(qū)域Ⅰ的面積等于區(qū)域Ⅱ、Ⅲ面積之和的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3解析：(1)C顯然△AOB為等腰三角形，OA＝OB＝5cm，AB＝8cm，則cos∠OAB＝eq\f(\f(1,2)AB,OA)＝eq\f(4,5)，sin∠OAB＝eq\f(3,5)，又sin37°≈eq\f(3,5)，所以∠OAB≈37°，于是∠AOB＝180°－2×37°＝106°＝eq\f(53π,90)，所以璜身的面積近似為eq\f(1,2)∠AOB·(OA2－OD2)＝eq\f(1,2)×eq\f(53π,90)×(52－32)≈14.8(cm2).故選C.(2)C設(shè)射線OP對(duì)應(yīng)的角為θ且θ∈(0，π)，故區(qū)域Ⅰ的面積為2×eq\f(1,2)×1×1×sinθ＝sinθ，區(qū)域Ⅱ的面積為eq\f(1,2)×θ×12－eq\f(1,2)×1×1×sinθ＝eq\f(θ,2)－eq\f(1,2)sinθ，區(qū)域Ⅲ的面積為eq\f(1,2)×(π－θ)×12－eq\f(1,2)×1×1×sin(π－θ)＝eq\f(π－θ,2)－eq\f(1,2)sinθ.由題設(shè)有sinθ＝eq\f(π－θ,2)－eq\f(1,2)sinθ＋eq\f(θ,2)－eq\f(1,2)sinθ，整理得sinθ＝eq\f(π,4)，因?yàn)棣取?0，π)，故此時(shí)θ僅有兩解，故選C.在解決扇形問(wèn)題時(shí)要注意：(1)扇形的圓心角α、弧長(zhǎng)l、半徑r之間的關(guān)系：|α|＝eq\f(l,r).(2)扇形的面積S與圓心角α、弧長(zhǎng)l、半徑r之間的關(guān)系：S＝eq\f(|α|,2π)πr2＝eq\f(1,2)lr.(3)扇形的周長(zhǎng)為C＝2r＋l.變式探究3．已知扇形的圓心角是α(α>0)，半徑為R.若α＝60°，R＝10cm，則扇形的弧長(zhǎng)l為________cm.若扇形的周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為________弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大，最大面積是________cm2.解析：eq\f(10π,3)225因?yàn)棣粒?0°＝eq\f(π,3)rad，所以l＝αR＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm).由已知得，l＋2R＝20(cm)，所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以當(dāng)R＝5cm時(shí)，S取得最大值25cm2，此時(shí)l＝10cm，α＝2.4．設(shè)圓O的半徑為2，點(diǎn)P為圓周上給定一點(diǎn)，如圖，放置邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD(實(shí)線所示，正方形的頂點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，點(diǎn)B在圓周上).現(xiàn)將正方形ABCD沿圓周按順時(shí)針?lè)较蜻B續(xù)滾動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A首次回到點(diǎn)P的位置時(shí)，點(diǎn)A所走過(guò)的路徑的長(zhǎng)度為()A．(1－2eq\r(2))πB．(2＋eq\r(2))πC．4π D．(3＋eq\f(\r(2),2))π解析：B由圖可知，圓O的半徑為r＝2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a＝2，以正方形的邊為弦所對(duì)的圓心角為eq\f(π,3)，正方形在圓上滾動(dòng)時(shí)點(diǎn)的順序如圖所示，當(dāng)點(diǎn)A首次回到點(diǎn)P的位置時(shí)，正方形滾動(dòng)了3圈，共12次．設(shè)第i次滾動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A的路程為mi，則m1＝eq\f(π,6)×|AB|＝eq\f(π,3)，m2＝eq\f(π,6)×|AC|＝eq\f(\r(2),3)π，m3＝eq\f(π,6)×|AD|＝eq\f(π,3)，m4＝0，因此，點(diǎn)A所走過(guò)的路程為3(m1＋m2＋m3＋m4)＝(2＋eq\r(2))π.故選B.考點(diǎn)3任意角的三角函數(shù)【例3】(1)已知角α終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x，－eq\r(2))(x≠0)，且cosα＝eq\f(\r(3),6)x，則tanα＝_____________.(2)(2025·河南一模)以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為始邊的角α，其終邊落在直線y＝x上，則有()A．sinα＝－eq\f(\r(2),2)B．cosα＝eq\f(\r(2),2)C．sinα＋cosα＝±eq\r(2)D．tanα＝±1解析：(1)±eq\f(\r(5),5)因?yàn)镻(x，－eq\r(2))(x≠0)，所以點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r＝eq\r(x2＋2).又cosα＝eq\f(\r(3),6)x，所以cosα＝eq\f(x,\r(x2＋2))＝eq\f(\r(3),6)x.因?yàn)閤≠0，所以x＝±eq\r(10)，所以r＝2eq\r(3).當(dāng)x＝eq\r(10)時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\r(10)，－eq\r(2))，由三角函數(shù)的定義，有sinα＝－eq\f(\r(6),6)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(\r(5),5)；當(dāng)x＝－eq\r(10)時(shí)，同理可求得tanα＝eq\f(\r(5),5).(2)C因?yàn)榻铅恋慕K邊落在直線y＝x上，故α＝eq\f(π,4)＋2kπ或α＝eq\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z.對(duì)于A，當(dāng)α＝eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z時(shí)，sinα＝eq\f(\r(2),2)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)α＝eq\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z時(shí)，cosα＝－eq\f(\r(2),2)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)α＝eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z時(shí)，sinα＝eq\f(\r(2),2)，cosα＝eq\f(\r(2),2)，則sinα＋cosα＝eq\r(2)，當(dāng)α＝eq\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z時(shí)，sinα＝－eq\f(\r(2),2)，cosα＝－eq\f(\r(2),2)，則sinα＋cosα＝－eq\r(2)，C正確；對(duì)于D，當(dāng)α＝eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z時(shí)，tanα＝1；當(dāng)α＝eq\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z時(shí)，tanα＝1.D錯(cuò)誤．故選C.(1)三角函數(shù)的定義有兩種等價(jià)形式，其一是利用單位圓進(jìn)行定義，其二是利用角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行定義．(2)一個(gè)角的三角函數(shù)只與這個(gè)角的終邊位置有關(guān)，利用定義求三角函數(shù)值時(shí)，要注意角的終邊所在象限，當(dāng)終邊所在象限不定時(shí)，要注意根據(jù)終邊位置分類討論．(3)利用單位圓的三角函數(shù)定義時(shí)，要理解角α的意義，注意角的始邊及旋轉(zhuǎn)方向．變式探究5．已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(sineq\f(5π,6)，coseq\f(5π,6))，則角α的最小正值為()A．eq\f(π,6) B．eq\f(2π,3)C．eq\f