遼寧省部分重點(diǎn)高中2025~2026學(xué)年度上學(xué)期高一12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生注意：1.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷?草稿紙上作答無(wú)效.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則的取值構(gòu)成的集合為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由題設(shè)得到，接著分和求出B，結(jié)合分析求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，，則或，解得或，綜上所述，a的所有取值構(gòu)成的集合為.故選：D2.已知方程兩根分別為，，則（）A. B. C.7 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)所求式子，即可求解.【詳解】已知方程兩根分別為，，由韋達(dá)定理得：，故故選：B3.已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)在區(qū)間上的值域，再利用集合的包含關(guān)系列式求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則，因此函數(shù)在上的值域?yàn)?，函?shù)在上遞增，因此函數(shù)在上的值域?yàn)?，即，由，，使得，得函?shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集，即，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：C4.函數(shù)零點(diǎn)存在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理求解即可.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，的零點(diǎn)所在區(qū)間為，故選:B．5.，若關(guān)于的不等式的解集中有且只有2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由不等式分離參數(shù)，利用構(gòu)造函數(shù)法，對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以關(guān)于的不等式可化為，即，令，即．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，且．如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖象及取時(shí)的函數(shù)值可知，要使的解集中有且僅有個(gè)整數(shù)，這兩個(gè)整數(shù)解只能是和，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，即．故選：A6.已知函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且無(wú)限接近直線但又不與該直線相交.則的值為（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知得，且函數(shù)為偶函數(shù)，再由指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可求出的值即可.【詳解】由函數(shù)過(guò)原點(diǎn)可知，即可得，即；又函數(shù)定義域?yàn)椋覞M足，可知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，趨近于0，所以函數(shù)趨近于,因此可得，所以；即.故選：D7.已知函數(shù)為偶函數(shù)，若，則的值為（）A. B. C.2019 D.2025【答案】B【解析】【分析】由題意可得，利用定義法證明為奇函數(shù)，則，即可求解.【詳解】由，得，設(shè)，易知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則，所以，即為奇函數(shù).所以，即，所以，又，所以.故選：B8設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較即可.【詳解】因?yàn)槭荝上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以；因?yàn)槭荝上單調(diào)遞增函數(shù)，所以；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以；又因?yàn)?，即，又因?yàn)?，綜上，.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，z，下列命題是真命題的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.是“”的充要條件C.“”是不等式成立的充要條件D.“”是“”的充分不必要條件【答案】AD【解析】【分析】A根據(jù)集合之間的包含關(guān)系判斷；BD必要性舉反例；C解分式不等式.【詳解】，則“”是“”的必要不充分條件，故A正確；若則必有，但若，，則不成立，故B錯(cuò)誤；，則或，得，故C錯(cuò)誤；若，則；反之，若，則但，故“”是“”的充分不必要條件，故D正確.故選：AD10.已知正實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式判斷AB；特殊值法計(jì)算判斷C；變形給定等式，利用基本不等式求解判斷D.【詳解】正實(shí)數(shù)滿足，A，，則，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A正確；B，，則，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；C，由，得，而，則，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤；D，由，得，而，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由，解得，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，D正確.故選：ABD11.若實(shí)數(shù)，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，結(jié)合基本不等式、對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由得，，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，即，則，D錯(cuò)誤.故選：BC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則的取值集合是_____．【答案】【解析】【分析】利用判別式與韋達(dá)定理求解即可.【詳解】因?yàn)橛袃蓚€(gè)不等實(shí)根，故.,設(shè)兩個(gè)正實(shí)數(shù)根為,由題可知，有,整理得,解得,因此.故答案為：.13.若關(guān)于的方程組的解集中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．【答案】0或1【解析】【分析】消去整理可得，分和兩種情況討論，分別求出的取值．【詳解】由消去整理可得．當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)方程組的解為符合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)方程組的解為符合題意．綜上可得或．故答案為：0或1.14.已知函數(shù)，且存在實(shí)數(shù)且，使得成立.若正整數(shù)的最大值為5，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】先設(shè)，得到函數(shù)的值域，進(jìn)而得到函數(shù)的值域，再根據(jù)正整數(shù)的最大值為5，列不等式求解實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以，則.當(dāng)時(shí)，，所以.要使得正整數(shù)的最大值為5，則，解得.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程及演算步驟.15已知函數(shù).（1）若有兩個(gè)不相等的正數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若在上的最大值為4，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不相等的正數(shù)解，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，列出不等式組，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分和，兩種情況討論，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由有兩個(gè)不相等的正數(shù)解，即有兩個(gè)不相等的正數(shù)解，即方程有兩個(gè)不相等的正數(shù)解，設(shè)方程有兩個(gè)不相等的正數(shù)解分別為和，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈膱D象開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為，又因?yàn)樵谏系淖畲笾禐椋佼?dāng)時(shí)，即時(shí)，，解得，符合題意；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，解得，符合題意，綜上可得，或，即實(shí)數(shù)的值為或.16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域并判斷函數(shù)的奇偶性；（2）解不等式．【答案】（1），偶函數(shù)（2）當(dāng)時(shí)不等式解集為，，當(dāng)時(shí)不等式解集為.【解析】【分析】（1）定義域，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)大于$0$的性質(zhì)，列出不等式組求解；判斷奇偶性，通過(guò)計(jì)算并與比較，依據(jù)奇偶性定義得出結(jié)論；

（2）對(duì)于解不等式，先化簡(jiǎn)不等式，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性（分和兩種情況）求解.【小問(wèn)1詳解】由題意得解得：，函數(shù)的定義域是，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)是偶函數(shù)；【小問(wèn)2詳解】即，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，由題意得：，解得：，當(dāng)時(shí)，由題意得：，解得，綜上所述當(dāng)時(shí)不等式解集為，，當(dāng)時(shí)不等式解集為.17.為了充分挖掘鄉(xiāng)村發(fā)展優(yōu)勢(shì)，某新農(nóng)村打造“有機(jī)水果基地”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為元，其他成本投入為元.已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約為15元/千克，且銷售暢通，記該水果單株利潤(rùn)為（單位：元）.（1）求單株利潤(rùn)（單位：元）關(guān)于施用肥料（單位：千克）關(guān)系式；（2）當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果單株利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?【答案】（1）（2）當(dāng)施用肥料為4千克時(shí)，該水果單株利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是240元【解析】【分析】（1）利用該水果樹單株產(chǎn)量乘以市場(chǎng)售價(jià)減投入總成本即可得出利潤(rùn)表達(dá)式；（2）根據(jù)定義域求每段函數(shù)的利潤(rùn)最大值比較后可得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，即，整理得.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，為對(duì)稱軸開(kāi)口向上的拋物線，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即取等號(hào)，所以，即，綜上所述，當(dāng)時(shí)，該水果單株利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是240元．18.已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，若.（1）求的值；（2）若函數(shù)①當(dāng)時(shí)，求的最大值；②是否存在，使得關(guān)于的不等式的解集為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）①答案見(jiàn)解析，②，，【解析】【分析】（1）利用函數(shù)的奇偶性定義求出值，根據(jù)定義在上的奇函數(shù)的性質(zhì),求出值后檢驗(yàn)即可；（2）①在求出的表達(dá)式后，設(shè)，得，函數(shù)化成，利用二次函數(shù)在給定區(qū)間上的圖象性質(zhì)即可求得其最大值,②依題意，的解集為等價(jià)于關(guān)于的不等式的解集為，利用一元二次不等式的解與二次方程的根之間的關(guān)系建立方程組，求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則恒成立，即，即，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)閷?duì)所有都成立，所以；因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，且定義域?yàn)?，所以，即，所以，即，因?yàn)?，所以符合題意；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，則，令，則，①因?yàn)?，且是關(guān)于增函數(shù)，所以，的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，所以.②因?yàn)椋瑒t，所以若的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為，則是方程的兩根，且需，由，解得，，滿足，即恒成立，所以當(dāng)，時(shí)，不等式的解集為．19.對(duì)在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)的任意兩點(diǎn)作如下定義：若，那么稱點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”.同時(shí)點(diǎn)是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”；（1）試寫出點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”坐標(biāo)和一個(gè)“下位點(diǎn)”坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，判斷點(diǎn)是否既是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，又是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”，證明你的結(jié)論；（3）設(shè)正整數(shù)滿足以下條件：對(duì)集合內(nèi)的任意元素，總存在正整數(shù)，使得點(diǎn)既是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”，又是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，求正整數(shù)的最小值.【答案】（1），（2）是，證明見(jiàn)解析（3）4039【解析】【分析】（1）由已知中“上位點(diǎn)”和“下位點(diǎn)”的定義，可得出點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”的坐標(biāo)為，一個(gè)“下位點(diǎn)”的坐標(biāo)為；（2）由點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”得出，然后利用作差法得出與、的大小關(guān)系，結(jié)合“下位點(diǎn)”和“上位點(diǎn)”的定義可得出結(jié)論；（3）先由推導(dǎo)出，結(jié)合（2）中的結(jié)論，可得，，滿足條件，可得